宋元數(shù)學著述序跋中的數(shù)學起源和功用論*

周 暢，段耀勇，段壘壘

（1.西安郵電大學理學院，陜西　西安　710121；

2.中國人民武裝警察部隊學院，河北　廊坊　065000；

3.濟南市長清第一中學初中部，山東　濟南　250000）

宋元數(shù)學著述序跋中的數(shù)學起源和功用論*

周 暢1，段耀勇2，段壘壘3

（1.西安郵電大學理學院，陜西西安710121；

2.中國人民武裝警察部隊學院，河北廊坊065000；

3.濟南市長清第一中學初中部，山東濟南250000）

宋元時期秦九韶、李冶和楊輝數(shù)學著作的序言中反映出，該時期的中算家認為數(shù)學知識源于生產(chǎn)實踐并由“圣人則之”.而數(shù)學功用則依次表現(xiàn)為三個遞進的層次：盡管數(shù)學是六藝之末，但在服務于生產(chǎn)實踐和社會生活活動中可經(jīng)世和類物；數(shù)學家們從事數(shù)學研究是為了“通神明，順性命”，數(shù)學家在數(shù)學創(chuàng)造過程中有強烈的美感體驗數(shù)學生于道，最終還要進于道，最后嘗試性地分析了中國數(shù)學起源觀形成的原因.

宋元；數(shù)學起源；數(shù)學功用

0　引言

宋元時期秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰是很有代表性的數(shù)學家，因為朱世杰的數(shù)學著作沒有自序，所以主要選取秦九韶所著《數(shù)書九章》、李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》以及楊輝所寫《詳解九章算法》、《續(xù)古摘奇算法》和《日用算法》的序言，來討論其中所反映出來的數(shù)學起源觀和數(shù)學功用論.當然僅以序言文本為依據(jù)得到的相關(guān)結(jié)論，還需其他更多文獻和更多論據(jù)支持，這需要后繼研究和討論.

從唐以前中算書中，特別是《算經(jīng)十書》的序言中，我們可以看出唐以前的數(shù)學家認為數(shù)學源于實踐并由圣人所制.數(shù)學的功用依次分為：算在六藝；從事數(shù)學研究可通神明之德，類萬物之情；以闡世術(shù)之美[1]三個依次遞進的層次.而且這個階段的數(shù)學思想與儒家思想水乳交融密不可分.

而宋元時期數(shù)學著作序言中反映出來的數(shù)學起源和功用論，基本承襲了唐以前的觀點，只是在表述上略有不同.即：數(shù)學知識源于生產(chǎn)實踐并由“圣人則之”.而該時期數(shù)學的功用分為三個層次：盡管數(shù)學是六藝之末，但在服務于生產(chǎn)實踐和社會生活活動中可經(jīng)世和類物；數(shù)學家們從事數(shù)學研究是為了“通神明，順性命”，數(shù)學家在數(shù)學創(chuàng)造過程中有強烈的美感體驗數(shù)學生于道，最終還要進于道.但與唐以前的數(shù)學思想多受儒家文化影響不同，宋元時期的數(shù)學思想多打上了道家文化的烙印.

1　從算書序言看秦九韶、李冶和楊輝的數(shù)學起源和功用論

1.1秦九韶的數(shù)學起源和功用論

秦九韶對數(shù)學起源的認識和觀點在他數(shù)學著作的序言，特別是《數(shù)書九章》序[2－3]中表露無遺[4－5].“圣有大衍，微寓于《易》”[2]35－44，他認為數(shù)學起源于周易.在“爰自河圖、洛書……圣人神之……要其歸.則數(shù)與道非二本也”[3]439中，他的這一觀點則更加具體和詳細.這一觀點與劉徽的“圣人則之”的看法基本一致，如“神禹奠之”，“周教六藝，數(shù)實成之”[3]439.但與劉徽不同的是，他的數(shù)學起源論中充斥著當時大語境“道”的影子，如他提到“道本虛一”故“述大衍第一”，又如：太虛生一，周流無窮.由此，他的思想必然受到了道家的影響，即他所謂“數(shù)與道非二本也”.

秦九韶把中算分為“內(nèi)、外”兩種算學，即《九章算術(shù)》類的公開流傳的大眾算學為外算，秦九韶稱之為小數(shù)術(shù)，而其中隱秘不傳的部分是大數(shù)術(shù)即外算.顯然秦九韶也持數(shù)學的易學起源說，內(nèi)外算的劃分標準則源于其對數(shù)學功用論的認識.“經(jīng)萬事，類萬物”是數(shù)學“外算”的功用，而“通神明，順性命”的功能只有在算學中的內(nèi)算中才能實現(xiàn).而且他自鳴得意的數(shù)學成就“大衍之數(shù)”就源自《周易》的“大衍之數(shù)”.當時的“外算”即現(xiàn)在我們理解的數(shù)學范疇，盡管“內(nèi)算”具有神秘色彩的功用，就其“算”的本質(zhì)而言，“內(nèi)外算”的邊界非常模糊.同時，秦九韶也指出“外算”只是相對“內(nèi)算”而言存在的，二者功用相同，不分彼此，“其用相同，不可岐二”.[6]

秦九韶的數(shù)學實用論思想認為數(shù)學具有“類物”和“通神”兩大功能.顯然，他認為數(shù)學的主要功用是實用，這從《數(shù)書九章》的“目曰大衍，曰天時，曰田域，曰測望，曰賦役，曰錢谷，曰營處，曰軍旅，曰市易”[5]332中不難看出.再者，秦九韶的“內(nèi)外算”定義的分野決定了其兩個遞進的數(shù)學功用論認知，同時這兩個層次的功用也是他劃分“內(nèi)算”和“外算”界限的標準.顯然，秦九韶“外算”的功用論“經(jīng)世務，類萬物”來自劉徽的“昔在包犧氏始畫八卦……以類萬物之情……雖天圓穹之象猶曰可度.”[7]秦九韶“內(nèi)算”的功用論“通神明，順性命”，說明數(shù)學在摹寫自然的同時，實在與自然界的內(nèi)在固有的“規(guī)律”和“序”進行交流和對話，這與劉徽所論“包犧氏始畫八卦，以通神明之德”一脈相承.

1.2李冶的數(shù)學起源和功用論

《測圓海鏡》序[8]、敬齋先生《測圓海鏡》后序[9]、《益古演段》序[10]和《益古演段》自序中包含了李冶的“皆以九章為祖，而劉徽李淳風又加注釋，而此道益明”[10]875的數(shù)學《九章》流變觀.但談到數(shù)學的起源時，他認為“數(shù)出于自然”即數(shù)學是自然的固有屬性，但是即使是“軒轅、隸首”再生也很難真正窮盡自然之妙.從李冶的序中看出，他的數(shù)學“起源觀”多因循舊說，也認為數(shù)學是自然的固有，但數(shù)學仍有圣人“軒轅、隸首”首創(chuàng).這都未超出劉徽所論.與秦九韶強調(diào)特別是“內(nèi)算”的易學起源不同，李冶強調(diào)的不多.

李冶、秦九韶的數(shù)學“功用論”基本一致，首先認為數(shù)學最基本的功用是六藝之一，“數(shù)學在六藝為末，求之人最為切要”，是社會生活和生產(chǎn)實踐的“切要”，這是數(shù)學最實用的物質(zhì)需求部分.而“茍能推自然之理，以明自然之數(shù)”[8]51，就是數(shù)學功用論中的較低層次的精神需要了，即數(shù)學研究就是顯化自然固有的“理”和“數(shù)”，從而實現(xiàn)人與自然的深層次的對話.這與前文提到的劉徽和秦九韶的看法一致，只是表述不同而已.

另外就數(shù)學功用論而言，除了基本的社會生活和生產(chǎn)實踐的物質(zhì)方面的需求外，還有數(shù)學家們試圖通過數(shù)學描摹自然從而想與自然對話和交流的功能.在完成這兩個功能后，數(shù)學家在數(shù)學實踐和創(chuàng)造中必然會有相應的數(shù)學美學體驗.劉徽就說數(shù)學研究的目的或者說具有“以闡世術(shù)之美”功用，李冶也有明確的類似說法.李冶認為盡管數(shù)學是“九九賤技”，但“道”既是數(shù)學的根源，又是數(shù)學的歸宿“小數(shù)為大道所歸”.而且他說：“安知軒隸之秘不于是乎始？”即他認為傳說中的“軒轅”和“隸首”也是在數(shù)學創(chuàng)造中得“道”的.簡言之，他認為通過對數(shù)學的研究可以“近乎道”，同時在這個過程中也可以得到數(shù)學美的享受.這種數(shù)學審美的體驗不僅體現(xiàn)在他具體的數(shù)學工作中，“使粗知十百者便得入室啖其文，顧不快哉！”而且，一直伴隨他的終生，“老大以來，得洞淵九容之說，日夕玩繹，而向之病我者，使爆然落去……”[8]51臨終前的唯一的牽掛也是他數(shù)學研究的心血結(jié)晶，他在序中說道，《測圓海鏡》雖九九小數(shù)……后世必有知者.后來硯堅對此也說：“先生于六藝百家，靡不串貫，文集近數(shù)百卷，常謙謙不自伐.惟于此書，不忘稱異于易簣之間，想有玄妙內(nèi)得于心者.”[8]51從這些文字中，我們都能感覺到李冶在數(shù)學研究過程中體會到了強烈的美感體驗，其本質(zhì)力量通過數(shù)學研究和數(shù)學成就而具體地顯現(xiàn)出來.

1.3楊輝的數(shù)學起源和功用論

《詳解九章算法》榮棨序、楊輝《日用算法》序[11]和楊輝《續(xù)古摘奇算法》序[12]中都包含著楊輝的數(shù)學起源觀，楊輝認為圣人所制之數(shù)源于“道”，這一點與李冶很接近，其梳理的數(shù)學發(fā)展脈絡(luò)為：“昔黃帝時大夫‘隸首’創(chuàng)此藝，繼得周公著《九章》，戰(zhàn)國則有魏劉徽譔《海島》至漢甄鸞注《周髀》《五經(jīng)》，唐李淳風校正諸家算法”，那么數(shù)學的起源是什么呢？他說：“數(shù)學為‘隸首’首創(chuàng)，生于道，成于九.”最后，他強調(diào)數(shù)學是自然界固有的“道”是先天而存在的，他說：“萬物莫逃乎數(shù).是數(shù)也，先天地而已存，后天地而已立……”[11]1452

楊輝的數(shù)學功用論與歷史上其他的數(shù)學家也基本相同，但不同于以往說數(shù)學在“六藝”屬“六藝之末”不同，他說數(shù)學是六藝之一，這種細微變化說明數(shù)學在他心目中地位是與其他“五藝”并列，而無尊卑和順次關(guān)系，并強調(diào)數(shù)學是歷代名人賢士所重視的一項技藝.而且數(shù)學應用范圍極其廣泛：若施之于圭表，則穹窿之天可考，推日月之晦明，步五星之盈縮，驗晨昏晝夜不移，行氣候寒暑無忒……[10]950另外，他的數(shù)學實用論在他的教育思想中也有所體現(xiàn)，他主張數(shù)學教育貫徹“須責實用”的思想，他在《日用算法》中說：“以乘除加減為法，秤斗尺田為問；用法必載源流，命題須責實用.”[11]1452其書中多次引用臺州、黃巖圍量田圖等實例.另外，楊輝也認為“萬物莫逃乎數(shù).是數(shù)也，先天地而已存，后天地而已立……”[10]950即數(shù)學研究是在摹寫自然，可以通神類物.

2　道家影響下的宋元數(shù)學思想及數(shù)學起源論

《周易》既是儒家也是道家的經(jīng)典之作，是你中有我我中有你不可分割的中華文化中的兩個方面.因此，討論數(shù)學與儒家和道家的關(guān)系時，都不可避免的提到易學.數(shù)學家劉徽博采先秦諸子和兩漢學者眾家之長，作為極具傳統(tǒng)文化素養(yǎng)的學者，必然會受到《周易》和《周禮》等儒家經(jīng)典著作的巨大影響，在論及數(shù)學早起發(fā)展時采用傳說的伏犧和黃帝“制數(shù)”說，劉徽的數(shù)學“起源觀”受到儒家思想的影響并不奇怪.宋元時期道教繁榮的語境下秦九韶、李冶和楊輝的數(shù)學思想受到道家影響也在情理之中.

道家特別是邵雍學派對秦九韶的影響很大，他很推崇并高度評價宋朝初年的道士陳拓，耳濡目染之下使“秦九韶成為兩宋道學的忠實信徒，并將道學的思想方法直接滲透到了他的數(shù)學成果之中”.[13]同樣，在他的序言里也能看到他受道家影響的痕跡，他認為“物莫不有數(shù)”，這里的“數(shù)”即為“道”，如其所言“道與數(shù)非二本”，最后他也指出，研究數(shù)學最終的歸宿是“曲藝可遂也，愿進之于道”.

郭書春先生最先明確指出李冶的工作受到了道家影響，“從推自然之數(shù)，以明自然之理的數(shù)學研究方法和接受洞淵九容的知識等方面來看，可以肯定地說，李冶深受道家思想的熏陶”.[14]另外，洪萬生和蓋建民也相關(guān)論述和結(jié)論，李冶的“立天元一”的代數(shù)思想直接源于道教，天元術(shù)則源于“洞淵九容”的內(nèi)容，[15]洪萬生則在全真教的學術(shù)環(huán)境中對李冶數(shù)學認識論和作為數(shù)學家的正當性進行了辯護和合理的解釋.[16]實際上可以說李冶的數(shù)學思想直接傳承于道門，他和元好問與全真教的高道們交往甚密，在全真提供的北方學術(shù)語境中，從事著自己摯愛的數(shù)學研究和數(shù)學實踐.

與秦九韶認為“數(shù)與道非二本”和“內(nèi)算目的論”不同，李冶認為由“技”即數(shù)學即可“進乎道”，而且他說：“彼其冥冥之中，固有昭昭者存.夫昭昭者其自然之數(shù)也.非自然之數(shù)其自然之理也.”[8]51所以他認為數(shù)學并不神秘，只是自然之理的摹寫而已.

“夫算者數(shù)也，數(shù)之所生，生于道……數(shù)之所成，成于九.”[10]950由此可知，楊輝也受到了道家的影響，楊輝與秦九韶相同，著作“內(nèi)算”內(nèi)容很多，比如還給出了構(gòu)造“洛書”的方法.

綜上，從算書的序言中，可以看出宋元時期的大數(shù)學家的數(shù)學起源和功用論都受到了道家文化和“象數(shù)學”的影響，具體的影響和影響的程度當然還需要更多直接論據(jù)的支持.

3　余論

總體而言，算書序言中反映出來的宋元時期的數(shù)學起源和功用論，承襲了唐以前的傳統(tǒng)認識，并未超出劉徽所論范圍.數(shù)學源于自然由“圣人則之”的看法基本一致，只是表述上略有不同.與劉徽的數(shù)學起源論受到儒家思想（包含周易思想）的影響形成對比的是，宋元的數(shù)學起源論受到了道家文化和象數(shù)學的影響.宋元時期的數(shù)學功用論也沒有超出劉徽所論：數(shù)學源于實踐并由圣人所制.數(shù)學的功用依次分為算在六藝；從事數(shù)學研究可通神明之德，類萬物之情；“以闡世術(shù)之美”三個依次遞進的層次.秦九韶、李冶和楊輝都強調(diào)數(shù)學的實用功能，楊輝還把它使用到在數(shù)學教育中“須責實用”；三位數(shù)學家都認為數(shù)學摹寫于自然，可以通神類物，而李冶也有類似劉徽的數(shù)學美學觀.考慮到討論問題的歷史語境，宋、元道教總的特征是“圣”與“俗”的界限混融，宗教形態(tài)與社會生活更為深入、細致地融合.[17]在中國算學史中與道有淵源的數(shù)學家也為數(shù)不少，南朝宋的何承天，隋代的劉焯，唐朝的李淳風，元代的趙友欽以及明朝的朱載育等.另外，北周先“道”后“佛”的甄鸞也是一位頗有貢獻的數(shù)學家.道教對傳統(tǒng)數(shù)學思想發(fā)展的影響可以從《數(shù)術(shù)記遺》和天元術(shù)等典型案例中窺見一斑，我們還需在歷代道家典籍中發(fā)掘和整理其中蘊含的數(shù)學觀念和思想.因此，從算書的序言中，我們看出宋元時期的大數(shù)學家的數(shù)學起源和功用論或多或少都受到了道家文化的影響，這也在情理之中.

對于宋元數(shù)學起源和功用觀的成因進行分析發(fā)現(xiàn)，宋元的數(shù)學起源觀與唐以前的觀點差別不大，只是更多的附帶了社會語境的信息，特別是道家思想的影響較為突出.

數(shù)學起源于社會需求的“需求論”，即數(shù)學起源于人類社會生產(chǎn)和社會生活的需要，這在歷代數(shù)學家的數(shù)學功用論中均能見到，而且這是大家普遍接受的說法.如秦九韶就認為數(shù)學可以“經(jīng)世務，類萬物”；李冶則認為“術(shù)數(shù)雖居六藝之末，而施之人事則最為切務”；楊輝則說“算學居六藝之一”，“其為用也大矣”.由此數(shù)學功用論，我們不難推斷出，數(shù)學起源于社會需求的觀點.

數(shù)學起源“圣人則之”觀自有其合理性.首先，宋元數(shù)學家仍然認為數(shù)學是自然固有之道的摹寫，但是由伏犧和黃帝這樣的“圣人首創(chuàng)”而得.這種“圣人首創(chuàng)論”源于中國的“圣人史觀”，數(shù)學作為中國歷史文化的一部分也不能例外.其次，數(shù)學起源的“圣人則之”說也源自古代數(shù)學家自己的需要.數(shù)學家著述如其他文人著述相同，追述學科沿革是自然的做法，而中國著述多引經(jīng)據(jù)典，因此在古代典籍中尋找數(shù)學的起源也在情理之中.再次，中國的數(shù)學家自身內(nèi)心的自然需求，“圣人責之”的修辭是數(shù)學起源過程和數(shù)學初創(chuàng)者在歷史傳承過程中的殘存記憶.最后，中國古人好古和迷信也是原因之一，這數(shù)學著作序言里就體現(xiàn)為數(shù)學起源“圣人則之”的說法.

還有一個很重要的原因在于，宋元出現(xiàn)數(shù)學起源的“圣人則之”觀與當時的社會政治制度有關(guān)，圣人制數(shù)的思想在中國古代封建社會的意識形態(tài)中，是統(tǒng)治者君權(quán)神授的體現(xiàn).因此多數(shù)數(shù)學家在討論數(shù)學起源問題時，基本上都遵循“圣人則之”、圣人制數(shù)的說法也就不奇怪了.

[1]周暢，段耀勇.美學視角下劉徽的數(shù)學工作[J].西北大學學報：自然科學版，2012（1）：169－172.

[2]郭書春.秦九韶《數(shù)書九章序》注釋[J].湖州師范學院學報，2004，26（1）：35－44.

[3][南宋]秦九韶.數(shù)書九章.宜稼堂叢書本郭書春主編.中國科學技術(shù)典籍通匯·數(shù)學卷一[M].鄭州：河南教育出版社，1993：439.

[4]陸心源.儀顧堂題跋·卷八[M].北京：中華書局影印，1990：2－3.

[6]侯鋼.兩宋易學與數(shù)學關(guān)系初論[D].中國科學院博士論文，2006：1.

[7]劉徽.九章算術(shù)注序.算經(jīng)十書（一）[M].郭書春，劉鈍，校點.大連：遼寧教育出版社，1998：1.

[8]李冶.測圓海鏡序.孔國平著.測圓海鏡導讀[M].武漢：湖北教育出版社，1996：51.

[9]王德淵.敬齋先生《測圓海鏡》后序.孔國平著.測圓海鏡導讀[M].武漢：湖北教育出版社，1996：264.

[10]任繼愈.中國科學技術(shù)典籍通匯·數(shù)學卷一[M].鄭州：河南教育出版社，1993：874.

[11]南宋·楊輝.日用算法·自序.海島算經(jīng)后序.諸家算法及序記.任繼愈.中國科學技術(shù)典籍通匯·數(shù)學卷一[M].鄭州：河南教育出版社，，1993：1452.

[12]靖玉樹.中國歷代算學集成（上）[M].濟南：山東人民出版社，1994：924.

[13]雷興輝.道學思想方法與秦九韶的《數(shù)書九章》[J].西安文理學院學報：社科版，2010（8）：54.

[14]郭書春.中國科學技術(shù)史人物卷（盧嘉錫總主編）[M].北京：科學出版社，1998：426.

[15]蓋建民.道教科學思想發(fā)凡[M].北京：社會科學文獻出版社，2005：121－129.

[16]洪萬生.全真教與金元數(shù)學[A].金庸小說國際學術(shù)研討會.臺北國家圖書館，1998.

[17]劉敏.論宋元道教的社會化存在形態(tài)[J].社會科學研究，2008（1）：123－127.

[責任編輯 黃祖賓]

[責任校對 蘇 琴]

The Original and Function of Mathematics in the Prologues and Postcripts of the Chinese Mathematics Workes in Song and Yuan Dynasties

ZHOU Chang1，DUAN Yao-yong2，DUAN Lei-lei3
（1.Xi'an Institute of Posts.and Telecommunications，Xi'an 710121，China；2.The Chinese People's Armed Police Force Academy，Langfang 065000，China；3.The Department of Junior High School，Changqing No.1 Middle School，Jinan 250000，China）

Basing on the prologues and postcripts of mathematical works during Song and Yuan dynasties，it is concluded that the Chinese mathematicians concerning with QIN Jiushao，LI Ye and YANG Hui thohght that the resources and original knowledge of mathematics is from the production practice activities and is created by the sages such as Baoxi，Huangdi and Lishou etc..As for the function of mathematics which they held，there are three views（1）for solving the issues of in the production and the civilian practice activities especially for the constituting calendar，and though“mathematics is the last of the six arts，it can be used to deal with the civilian activities and counterdraw the world，（2）the subject of researching mathematics is to understand the universe and master the rule of the nature，and（3）more important，to study the mathematics is for tasting and representing the esthetics of mathematics.And the mathematical thoughts during this peroid are all affected by the Taoism.And，reasons of formation for origin of mathematics are discussed tentatively.

Song and Yuan dynasties；the original of mathematics；the function of mathematics

O119

A

1673－8462（2015）01－0028－04

2014-08-10.

教育部《中華大典·數(shù)學典·傳統(tǒng)算法分典》項目，陜西省教育廳專項基金（2013JK1182）；西安郵電大學青年教師科研基金資助項目（ZL2014－34）.

周暢（1979-），女（滿族），理學博士，河北廊坊人，西安郵電大學理學院講師；段耀勇（1969-），男，山東濟南人，理學博士，中國人民武裝警察部隊學院基礎(chǔ)部教授.