導(dǎo)數(shù)法巧證不等式

王中華

導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)、不等式等問題的一個利器，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性證明不等式是導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、不等式綜合的一個難點，也是近幾年高考的熱點.常用的證明技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵.

1. 直接利用題目所給函數(shù)證明

例1 已知函數(shù)[]，

求證：[f（x）]≤0.

分析 首先觀察函數(shù)式，求出其導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷其單調(diào)性，從而進一步判斷[f（x）]與0的大小關(guān)系.

證明 由[f（x）=xcosx-sinx]得，

[f（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx].

因為在區(qū)間[（0，π2）]上[f（x）=-xsinx<0]，

所以[f（x）]在區(qū)間[[0，π2]]上單調(diào)遞減.

從而[f（x）]≤[f（0）=0].

點撥 考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值的能力.在判斷函數(shù)單調(diào)性的過程中，可能需要對不能直接確定符號的部分構(gòu)造函數(shù).

2. 結(jié)合函數(shù)的圖象證明

例2 設(shè)函數(shù)[f（x）=aexlnx+bex-1x]，曲線[y=f（x）]在點（1，[f（1）]）處的切線為[y=e（x-1）+2].

（1）求[a，b]；

（2）證明：[f（x）>1].

分析 （1）對函數(shù)求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進行求解.（2）分類討論，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值問題.

解 （1）[a=1，b=2].

（2）由（1）知，[f（x）=exlnx+2ex-1x]，

從而[f（x）>1]等價于[xlnx>xe-x-2e.]

設(shè)函數(shù)[g（x）=xlnx]，則[g′（x）=x+lnx].

所以當(dāng)[x∈0，1e]時，[g′（x）<0]；當(dāng)[x∈1e，+∞]時，[g′（x）>0.]

故[g（x）]在[0，1e]上單調(diào)遞減，在[1e，+∞]上單調(diào)遞增.

從而[g（x）]在[0，+∞]上的最小值為[g（1e）=-1e].

設(shè)函數(shù)[h（x）=xe-x-2e]，則[h′（x）=e-x1-x].

所以當(dāng)[x∈0，1]時，[h′（x）>0]；當(dāng)[x∈1，+∞]時，[h′（x）<0].

故[h（x）]在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，+∞]上單調(diào)遞減，

從而[h（x）]在[0，+∞]上的最小值為[h（1）=-1e].

綜上，當(dāng)[x>0]時，[g（x）>h（x）]，即[f（x）>1].

點撥 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式的證明，考查分類討論思想，意在考查大家的邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力.函數(shù)導(dǎo)數(shù)解答題中貫穿始終的是數(shù)學(xué)思想方法，在含有參數(shù)的試題中分類與整合思想是必要的，解題時常把不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題、把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點等.

3. 直接作差構(gòu)造函數(shù)證明

例3 已知函數(shù)[f（x）=ex-ax]（[a]為常數(shù)）的圖象與[y]軸交于點[A]，曲線[y=f（x）]在點[A]處的切線斜率為-1.

（1）求[a]的值及函數(shù)[f（x）]的極值；

（2）證明：當(dāng)[x>0]時，[x2

（3）證明：對任意給定的正數(shù)[c]，總存在[x0]，使得當(dāng)[x∈（x0，+∞）]時，恒有[x2

分析 （1）求[f ′（x）]，依題設(shè)條件可得[f ′（0）=-1]，從而可得[a]的方程，即可求出[a]的值，然后再求方程[f ′（x）]=0的根，判斷在導(dǎo)數(shù)等于0的點的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)的符號，即可得結(jié)論.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式. （3）對[c]進行分類討論，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法來證明其單調(diào)性，進而可得到所求證的結(jié)果.

解 （1）由[f（x）=ex-ax]，得[f（x）=ex-a].

又[f（0）=1-a=-1]，得[a=2].

所以[f（x）=ex-2x，f（x）=ex-2].

令[f（x）=0]，得[x=ln2].

當(dāng)[x

當(dāng)[x>ln2]時，[f（x）>0，f（x）]單調(diào)遞增.

所以當(dāng)[x=ln2]時，[f（x）]取得極小值，

且極小值為[f（ln2）=eln2-2ln2=2-ln4]，

[f（x）]無極大值.

（2）證明：令[g（x）=ex-x2]，則[g（x）=ex-2x].

由（1）得， [g（x）=f（x）≥f（ln2）=2-ln4>0]，

故[g（x）]在R上單調(diào)遞增，又[g（0）=1>0]，

所以當(dāng)[x>0]時，[g（x）≥g（0）>0]，即[x2

（3）證明：①若[c≥1]，則[ex≤cex].

又由（2）知，當(dāng)[x>0]時，[x2

故當(dāng)[x>0]時，[x2

取[x0=0]，當(dāng)[x∈（x0，+∞）]時，恒有[x2

②若[01]，要使不等式[x2kx2]成立.

而要使[ex>kx2]成立，只要[x>ln（kx2）]，

只要[x>2lnx+lnk]成立.

令[h（x）=x-2lnx-lnk]，則[h（x）=1-2x=x-2x].

所以當(dāng)[x>2]時，[h（x）>0，h（x）]在[（2，+∞）]上單調(diào)遞增.

取[x0=16k>16]，所以[h（x）]在[（x0，+∞）]上單調(diào)遞增.

又[h（x0）=16k-2ln（16k）-lnk]

[=8（k-ln2）+3（k-lnk）+5k]，

易知[k>lnk，k>ln2，5k>0]，所以[h（x0）>0].

即存在[x0=16c]，當(dāng)[x∈（x0，+∞）]時，恒有[x2

綜上，對任意給定的正數(shù)[c]，總存在[x0]，當(dāng)[x∈（x0，+∞）]時，恒有[x2

點撥 作差法是一種最常用的構(gòu)造函數(shù)的方法，也是容易被我們掌握一種方法.只需要通過移項作差構(gòu)造新的函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明結(jié)論.

4. 觀察“結(jié)構(gòu)”通過換元構(gòu)造新函數(shù)

例4 設(shè)函數(shù)[f（x）=x2+bln（x+1）]，其中[b≠]0.

（1）當(dāng)[b>12]時，判斷[f（x）]在定義域上的單調(diào)性；

（2）求[f（x）]的極值點；

（3）證明：對任意的正整數(shù)[n]，不等式[ln（1n+1）][>1n2-1n3]都成立.

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負，可得函數(shù)[f（x）]在定義域上的單調(diào)性；（2）先求出函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)[f（x）]，在定義域內(nèi)按①當(dāng)[b≥1]時，②當(dāng)[b<1]時，③當(dāng)[00，[f（x）]<0，根據(jù)極值點的定義即可求得；

解析 （1）（2）略.

（3）常規(guī)方法將[ln（1n+1）>1n2-1n3]通過作差轉(zhuǎn)化為[1n3-1n2+ln（1n+1）>0]，

再構(gòu)造函數(shù)[f（x）]=[1x3-1x2+ln（1x+1）]，利用導(dǎo)數(shù)證明[f（x）]>0，獲證，但運算量較大.

若仔細觀察不等式的結(jié)構(gòu)，只需換元令[1n=x（x>0）]就可以構(gòu)造一個新的函數(shù)[h（x）=x2-f（x）][=x2-x2+ln（x+1）].

當(dāng)[b=-1]時，函數(shù)[f（x）=x2-ln（x+1）].

令函數(shù)[h（x）=x2-f（x）=x2-x2+ln（x+l）]，

則[h（x）=3x2-2x+1x+1=3x2+（x-1）2x+1].

∴當(dāng)[x∈[0，+∞）]時，[f（x）>0].

所以函數(shù)[h（x）]在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又[h（0）]=0，

∴[x∈（0，+∞）]時，恒有[h（x）>h（0）=0]，

即[x2>x3-ln（x+1）]恒成立.

故當(dāng)[x∈（0， +∞）]時，有[ln（x+1）>x2-x3].

點撥 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)在某點取得極值的條件，注意[f（x0）=0]是[x0]為可導(dǎo)數(shù)函數(shù)的極值點的必要不充分條件.我們知道，當(dāng)[F（x）]在[[a， b]]上單調(diào)遞增，則[x>a]時，有[F（x）>F（a）]. 如果[f（a）]=[φ（a）]，要證明當(dāng)[x>a]時，[f（x）]>[φ（x）]，那么只要令[F（x）=][f（x）-φ（x）]，就可以利用[F（x）]的單調(diào)性來推導(dǎo). 也就是說，在[F（x）]可導(dǎo)的前提下，證明[F（x）>0]即可.