具有32pq階自同構(gòu)群的有限冪零群*

薛 雪，錢方生

(哈爾濱師范大學(xué))

0 引言

有限群G的結(jié)構(gòu)問題一直是群論研究的一個(gè)熱點(diǎn).給定正整數(shù)n，確定有限群G，使得|Aut(G)|=n，其中Aut(G)表示G的自同構(gòu)群，也是一個(gè)有意義的問題.1979年，Iyer在文獻(xiàn)［1］中證明了方程|Aut(G)|=n的解存在，并且至多有有限個(gè)G滿足上述方程.而后Machale和Flannery分別在文獻(xiàn)［2－3］中給出了|Aut(G)|=pn(1≤n≤4)及pq的有限群構(gòu)造，并證明了不存在自同構(gòu)群階是p5，p6，p7的交換群，其中p為奇素?cái)?shù).Curran在文獻(xiàn)［4］中證明了對于任意的奇素?cái)?shù)p，|Aut(G)|=pn(1≤n≤5)無解.國內(nèi)很多學(xué)者又分別對很多情況進(jìn)行了研究，其中文獻(xiàn)［5］研究了|Aut(G)|=4pq的情形，文獻(xiàn)［6］研究了具有8pq階自同構(gòu)群的有限群結(jié)構(gòu)，給出了滿足條件的冪零群完全分類.文獻(xiàn)［7］研究了自同構(gòu)群的階為16pq的有限冪零群結(jié)構(gòu).作為上述問題的繼續(xù)，該文研究具有32pq階自同構(gòu)群的有限冪零群結(jié)構(gòu).

該文中采用的術(shù)語和符號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的，且所考慮的群均為有限群.

1 預(yù)備知識(shí)

引理1［8］不存在自同構(gòu)群的階為奇數(shù)的有限群.

引理2［9］設(shè)n為整數(shù)且，為n的素因子分解式，記ω(n)，則不存在有限群G，使得|Aut(G)|為奇數(shù)且ω(|Aut(G)|)≤4.

引理3［10］設(shè)P是非循環(huán)群，|P|＞p2.若|P/Z(P)|≤p4，則|P|||Aut(P)|.

引理4［11］設(shè)G是有限冪零群，則G的所有Sylow子群都正規(guī)，進(jìn)而G是它的Sylow子群的直積，即G=P1×P2×…×Pn，其中Pi為G的Sylowpi－子群.

引理5［12］設(shè)G=G1×G2×…×Gn是G的直積分解，則存在單同態(tài)φ:Aut(G1)×Aut(G2)×…×Aut(Gn)→Aut(G)，且如果|G1|，…，|Gn|兩兩互素，則單同態(tài)φ是同構(gòu).即Aut(G)≌Aut(G1)×Aut(G2)×…×Aut(Gn).

引理6［13］設(shè)G是循環(huán)p－群，則(1)在p為奇素?cái)?shù)或n≤2時(shí)，Aut(Zpn)是φ(pn)階的循環(huán)群，且實(shí)際上是與模pn的既約剩余類成同構(gòu);(2)在p=2且又n≥3時(shí)，Aut(Zpn)與模2n的既約剩余類成同構(gòu)，因而為［n－2，1］及階2n－1的交換群.

引理7［13］pn階初等Abelp群G的自同構(gòu)群·kn，其中

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)G是有限循環(huán)群，則|Aut(G)|=32pq(p，q為不同奇素?cái)?shù))當(dāng)且僅當(dāng)G同構(gòu)于下列情形之一:

(1)G≌Z32pq+1、Z2(32pq+1)、Z(32p+1)2或Z2(32p+1)2，其中32pq+1，32p+1為素?cái)?shù).

(2)G≌Z3(16pq+1)、Z6(16pq+1)、Z4(16pq+1)、Z3(16p+1)2、Z6(16p+1)2或Z4(16p+1)2，其中16pq+1，16p+1為素?cái)?shù).

(3)G≌Z5(8pq+1)、Z10(8pq+1)、Z8(8pq+1)、Z5(8p+1)2、Z10(8p+1)2或Z8(8p+1)2，其中8pq+1，8p+1為素?cái)?shù).

(4)G≌Z16(4pq+1)或Z16(4p+1)2，其中4pq+1，4p+1為素?cái)?shù).

(5)G≌Z17(2pq+1)、Z2·17(2pq+1)、Z17(2p+1)2或Z2·17(2p+1)2，其中2pq+1，2p+1為素?cái)?shù).

(6)G≌Z3·4(8pq+1)或Z3·4(8p+1)2，其中8pq+1，8p+1為素?cái)?shù).

(7)G≌Z3·5(4pq+1)、Z2·3·5(4pq+1)、Z3·5(4p+1)2、Z2·3·5(4p+1)2、Z3·8(4pq+1)、Z4·5(4pq+1)或Z3·8(4p+1)2，其中4pq+1，4p+1為素?cái)?shù).

(8)G≌Z3·16(2pq+1)或Z3·16(2p+1)2，其中2pq+1，2p+1為素?cái)?shù).

(9)G≌Z5·8(2pq+1)或Z5·8(2p+1)2，其中2pq+1，2p+1為素?cái)?shù).

(10)G≌Z3·4·5(2pq+1)或Z3·4·5(2p+1)2，其中2pq+1，2p+1為素?cái)?shù).

(11)G≌Z(16p+1)(2q+1)、Z2(16p+1)(2q+1)、Z32(16p+1)、Z2·32(16p+1)、Z172(2q+1)、Z2·172(2q+1)、Z32·172或Z2·32·172，其中16p+1，2q+1為素?cái)?shù).

(12)G≌Z(8p+1)(4q+1)、Z2(8p+1)(4q+1)、Z52(8p+1)或Z2·52(8p+1)，其中8p+1，4q+1為素?cái)?shù).

(13)G≌Z3·52(4p+1)、Z2·3·52(4p+1)、Z3(4p+1)(4q+1)、Z6(4p+1)(4q+1)、Z3·52(4q+1)、Z2·3·52(4q+1)、Z4·52(4p+1)、Z4·52(4q+1)或Z4(4p+1)(4q+1)，其中4p+1，4q+1為素?cái)?shù).

(14)G≌Z3(2p+1)(8q+1)、Z6(2p+1)(8q+1)、Z4(2p+1)(8q+1)、Z4·32(8q+1)、Z3·52(4q+1)、Z2·3·52(4q+1)或Z4·52(4q+1)，其中2p+1，8q+1為素?cái)?shù).

(15)G≌Z16·32(2p+1)、Z16·32(2q+1)或Z16(2p+1)(2q+1)，其中2p+1，2q+1為素?cái)?shù).

(16)G≌Z5(2p+1)(4q+1)、Z10(2p+1)(4q+1)、Z5·32(4q+1)、Z10·32(4q+1)、Z8(2p+1)(4q+1)、Z8·52(2p+1)、Z8·32·52、Z8·32(4q+1)，其中2p+1，4q+1 為素?cái)?shù).

(17)G≌Z3·5(2p+1)(2q+1)、Z2·3·5(2p+1)(2q+1)、Z3·8(2p+1)(2q+1)、Z4·5·32(2p+1)、Z4·5·32(2q+1)或Z4·5(2p+1)(2q+1)，其中2p+1，2q+1為素?cái)?shù).

(18)G≌Z3·4·52(2p+1)或Z3·4(2p+1)(4q+1)，其中2p+1，4q+1為素?cái)?shù).

證明 由于循環(huán)群可以分解成循環(huán)p－群的直積，則有G=P1×P2×…×Pr，其中Pi循環(huán)且Pi∈Sylpi(G)，i=1，2，…，r，p1，p2，…，pr是整除|G|的所有互異素因子．進(jìn)一步有Aut(G)=Aut(P1)×Aut(P2)×…×Aut(Pr)，由假設(shè)知32pq即|Aut(Pr)||32pq．設(shè)則有|根據(jù)引理2，可以分以下21種情形討論:

(1)|Aut(P1)|=32pq

(2)|Aut(P1)|=16pq，|Aut(P2)|=2.

根據(jù)引理6知P2≌Z3或Z4．由16pq知，若p1=16pq+1，則n1=1，G≌Z3(16pq+1)、Z6(16pq+1)或Z4(16pq+1)．當(dāng)p1≠16pq+1時(shí)，則有p1=q=16p+1，n1=2，所以G≌Z3(16p+1)2、Z6(16p+1)2或Z4(16p+1)2．

(3)|Aut(P1)|=8pq，|Aut(P2)|=4．

(4)|Aut(P1)|=4pq，|Aut(P2)|=8．

(5)|Aut(P1)|=2pq，|Aut(P2)|=16．

當(dāng)p1=2pq+1時(shí)，則P1≌Z2pq+1．當(dāng)p1≠2pq+1時(shí)，則p1=q=2p+1，n1=2，即P1≌Z(2p+1)2，P2≌Z17，所以G≌Z17(2pq+1)、Z2·17(2pq+1)、Z17(2p+1)2或Z2·17(2p+1)2．

(6)|Aut(P1)|=8pq，|Aut(P2)|=2，|Aut(P3)|=2．

由上得P1≌Z8pq+1或Z(8p+1)2，P2≌Z3或Z4，P3≌Z3或Z4．所以G≌Z3·4(8pq+1)或Z3·4(8p+1)2．

(7)|Aut(P1)|=4pq，|Aut(P2)|=4，|Aut(P3)|=2．

由上得P1≌Z4pq+1或Z(4p+1)2，P2≌Z5或Z8，P3≌Z3或Z4．所以G≌Z3·5(4pq+1)、Z2·3·5(4pq+1)、Z3·5(4p+1)2、Z2·3·5(4p+1)2、Z3·8(4pq+1)、Z3·8(4p+1)2、Z4·5(4pq+1)或Z4·5(4p+1)2．

(8)|Aut(P1)|=2pq，|Aut(P2)|=8，|Aut(P3)|=2．

P1≌Z2pq+1或Z(2p+1)2，P2≌Z16，P3≌Z3或Z4．所以G≌Z3·16(2pq+1)或Z3·16(2p+1)2．

(9)|Aut(P1)|=2pq，|Aut(P2)|=4，|Aut(P3)|=4．

P1≌Z2pq+1或Z(2p+1)2，P2≌Z5或Z8，P3≌Z5或Z8，所以G≌Z5·8(2pq+1)或Z5·8(2p+1)2．

(10)|Aut(P1)|=4pq，|Aut(P2)|=2，|Aut(P3)|=2，|Aut(P4)|=2．

P1≌Z4pq+1或Z(4p+1)2，P2≌Z3或Z4，P3≌Z3或Z4，P4≌Z3或Z4，此種情況不成立．

(11)|Aut(P1)|=2pq，|Aut(P2)|=4，|Aut(P3)|=2，|Aut(P4)|=2．

P1≌Z2pq+1或Z(2p+1)2，P2≌Z5或Z8，P3≌Z3或Z4，P4≌Z3或Z4，所以G≌Z3·4·5(2pq+1)或Z3·4·5(2p+1)2．

(12)|Aut(P1)|=2pq，|Aut(P2)|=2，|Aut(P3)|=2，|Aut(P4)|=2，|Aut(P5)|=2．

P1≌Z2pq+1或Z(2p+1)2，Pi≌Z3或Z4(i=2，3，4，5)，此種情況不成立．

(13)|Aut(P1)|=16p，|Aut(P2)|=2q

(14)|Aut(P1)|=8p，|Aut(P2)|=4q

P1≌Z8p+1，P2≌Z4q+1或Z52，所以G≌Z(8p+1)(4q+1)、Z2(8p+1)(4q+1)、Z52(8p+1)或Z2·52(8p+1)．

(15)|Aut(P1)|=4p，|Aut(P2)|=4q，|Aut(P3)|=2．

P1≌Z4p+1或Z52，P2≌Z4q+1或Z52，P3≌Z3或Z4，則G≌Z3·52(4p+1)、Z2·3·52(4p+1)、Z3(4p+1)(4q+1)、Z6(4p+1)(4q+1)、Z3·52(4q+1)、Z3·3·52(4q+1)、Z4·52(4p+1)、Z4·52(4q+1)或Z4(4p+1)(4q+1)．

(16)|Aut(P1)|=2p，|Aut(P2)|=8q，|Aut(P3)|=2．

P1≌Z2p+1或Z32，P2≌Z8q+1，P3≌Z3或Z4，則G≌Z3(2p+1)(8q+1)、Z6(2p+1)(8q+1)、Z4(2p+1)(8q+1) 或Z4·32(8q+1)．

(17)|Aut(P1)|=2p，|Aut(P2)|=2q，|Aut(P3)|=8．

P1≌Z2p+1或Z32，P2≌Z2q+1或Z32，P3≌Z16，則G≌Z16·32(2p+1)、Z16·32(2q+1)或Z16(2p+1)(2q+1)．

(18)|Aut(P1)|=2p，|Aut(P2)|=4q，|Aut(P3)|=4．

P1≌Z2p+1或Z32，P2≌Z4q+1或Z52，P3≌Z5或Z8，則G≌Z5(2p+1)(4q+1)、Z10·(2p+1)(4q+1)、Z5·32(4q+1)、Z10·32(4q+1)、Z8(2p+1)(4q+1)、Z8·52(2p+1)、Z8·32·52、Z8·32(4q+1)．

(19)|Aut(P1)|=2p，|Aut(P2)|=2q，|Aut(P3)|=4，|Aut(P4)|=2．

P1≌Z2p+1或Z32，P2≌Z2q+1或Z32，P3≌Z5或Z8，P4≌Z3或Z4．則G≌Z3·5(2p+1)(2q+1)、Z2·3·5(2p+1)(2q+1)、Z3·8(2p+1)(2q+1)、Z4·5·32(2p+1)、Z4·5·32(2q+1)或Z4·5(2p+1)(2q+1)．

(20)|Aut(P1)|=2p，|Aut(P2)|=2q，|Aut(P3)|=2，|Aut(P4)|=2，|Aut(P5)|=2．

P1≌Z2p+1或Z32，P2≌Z2q+1或Z32，Pi≌Z3或Z4，i=3，4，5．此種情況不成立．

(21)|Aut(P1)|=2p，|Aut(P2)|=4q，Aut(P3)|=2，|Aut(P4)|=2．

P1≌Z2p+1或Z32，P2≌Z4q+1或Z52，P3≌Z3或Z4，P4≌Z3或Z4．則G≌Z3·4·52(2p+1)或Z3·4(2p+1)(4q+1)．

證畢．

定理2 設(shè)G是一個(gè)非循環(huán)的冪零群，則當(dāng)G同構(gòu)于下列情形之一時(shí)，|Aut(G)|=32pq(p，q為不同奇素?cái)?shù))．

(1)G≌Z2×Z2×Z16q+1或Z2×Z2×Z172，其中16q+1為素?cái)?shù)．

(2)G≌Z2×Z2×Z8q+1×Z3或Z2×Z2×Z8q+1×Z4，其中8q+1為素?cái)?shù)．

(3)G≌Z2×Z2×Z4q+1×Z5、Z2×Z2×Z4q+1×Z8、Z2×Z2×Z52×Z5或Z2×Z2×Z52×Z8，其中4q+1為素?cái)?shù)．

(4)G≌Z2×Z2×Z2q+1×Z16或Z2×Z2×Z32×Z16，其中2q+1為素?cái)?shù)．

(5)G≌Z2×Z2×Z4q+1×Z3×Z3、Z2×Z2×Z4q+1×Z3×Z4、Z2×Z2×Z4q+1×Z4×Z4、Z2×Z2×Z52×Z3×Z3、Z2×Z2×Z52×Z3×Z4或Z2×Z2×Z52×Z4×Z4，其中4q+1為素?cái)?shù).

(6)G≌Z2×Z2×Z2q+1×Z5×Z3、Z2×Z2×Z2q+1×Z5×Z4、Z2×Z2×Z2q+1×Z8×Z3、Z2×Z2×Z2q+1×Z8×Z4、Z2×Z2×Z32×Z5×Z3Z2×Z2×Z32×Z5×Z4、Z2×Z2×Z32×Z8×Z3或Z2×Z2×Z32×Z8×Z4，其中2q+1為素?cái)?shù).

(7)G≌Z2×Z2×Z2q+1×Z3×Z3×Z3、Z2×Z2×Z2q+1×Z3×Z3×Z4、Z2×Z2×Z2q+1×Z3×Z4×Z4、Z2×Z2×Z2q+1×Z4×Z4×Z4、Z2×Z2×Z32×Z3×Z3×Z3、Z2×Z2×Z32×Z3×Z3×Z4、Z2×Z2×Z32×Z3×Z4×Z4或Z2×Z2×Z32×Z4×Z4×Z4，其中2q+1為素?cái)?shù).

證明 因?yàn)镚是冪零群，則G可以表示為Sylowp－群的直積，即G=P1×P2×…×Pr，其中Pi∈Sylpi(G)，i=1，2，…，r.并且Aut(G)=Aut(P1)×Aut(P2)×…×Aut(Pr)，|Aut(Pi)||32pq(i=1…r).G非循環(huán)，則一定存在某個(gè)Pi非循環(huán)，可假設(shè)P1非循環(huán).假設(shè)P1≌Zp1×Zp1.此時(shí)，Aut(P1)≌GL(2，p1).故|Aut(P1)|=|GL(2，p1)|=p1(p1－1)(p21－1).當(dāng)p1=2時(shí)，即P1≌Z2×Z2時(shí)，有|Aut(P1)|=2·1·3=6.故可設(shè)p=3，則|Aut(Pi)|=16q.根據(jù)引理2，可分如下情況討論:

(1)|Aut(P2)|=16q

(2)|Aut(P2)|=8q，|Aut(P3)|=2.

P3≌Z3或Z4.由P2n2－1(p2－1)=8q知，若p2=8q+1，則n2=1，P2≌Z8q+1.若p2≠8q+1，則p2－1=8，p2=9不是素?cái)?shù)，矛盾.則G≌Z2×Z2×Z8q+1×Z3或Z2×Z2×Z8q+1×Z4.

(3)|Aut(P2)|=4q，|Aut(P3)|=4.

P2≌Z4q+1或Z52，P3≌Z5或Z8，G≌Z2×Z2×Z4q+1×Z5、Z2×Z2×Z4q+1×Z8、Z2×Z2×Z52×Z5或Z2×Z2×Z52×Z8.

(4)|Aut(P2)|=2q，|Aut(P3)|=8.

P2≌Z2q+1或Z32，P3≌Z16.則G≌Z2×Z2×Z2q+1×Z16或Z2×Z2×Z32×Z16.

(5)|Aut(P2)|=4q，|Aut(P3)|=2，|Aut(P4)|=2.

P2≌Z4q+1或Z52，P3≌Z3或Z4，P4≌Z3或Z4，G≌Z2×Z2×Z4q+1×Z3×Z3、Z2×Z2×Z4q+1×Z3×Z4、Z2×Z2×Z4q+1×Z4×Z4、Z2×Z2×Z52×Z3×Z3、Z2×Z2×Z52×Z3×Z4或Z2×Z2×Z52×Z4×Z4.

(6)|Aut(P2)|=2q，|Aut(P3)|=4，|Aut(P4)|=2.

P2≌Z2q+1或Z32，P3≌Z5或Z8，P4≌Z3或Z2，則G≌Z2×Z2×Z2q+1×Z5×Z3、Z2×Z2×Z2q+1×Z5×Z4、Z2×Z2×Z2q+1×Z8×Z3、Z2×Z2×Z2q+1×Z8×Z4、Z2×Z2×Z32×Z5×Z3、Z2×Z2×Z32×Z5×Z4、Z2×Z2×Z32×Z8×Z3或Z2×Z2×Z32×Z8×Z4.

(7)|Aut(P2)|=2q，|Aut(P3)|=2，|Aut(P4)|=2，|Aut(P5)|=2.

P2≌Z2q+1或Z32，P3≌Z3或Z4，P4≌Z3或Z4，P5≌Z3或Z4，則G≌Z2×Z2×Z2q+1×Z3×Z3×Z3、Z2×Z2×Z2q+1×Z3×Z3×Z4、Z2×Z2×Z2q+1×Z3×Z4×Z4、Z2×Z2×Z2q+1×Z4×Z4×Z4、Z2×Z2×Z32×Z3×Z3×Z3、Z2×Z2×Z32×Z3×Z3×Z4、Z2×Z2×Z32×Z3×Z4×Z4或Z2×Z2×Z32×Z4×Z4×Z4.

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