基于高速攝影實驗的小提琴琴弦三維振動特性研究

張承忠, 葉邦彥, 梁立東, 胡習(xí)之, 趙學(xué)智

(1. 華南理工大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640; 2.華南師范大學(xué) 軟件學(xué)院，廣東 佛山 528225)

基于高速攝影實驗的小提琴琴弦三維振動特性研究

張承忠1，2, 葉邦彥1, 梁立東1, 胡習(xí)之1, 趙學(xué)智1

(1. 華南理工大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640; 2.華南師范大學(xué) 軟件學(xué)院，廣東 佛山 528225)

小提琴弓弦之間的相互作用機理非常復(fù)雜，由于粘滑摩擦作用形成一個復(fù)雜的振動系統(tǒng)。通過理論分析和實驗方法，對琴弦的振動特性進行了研究。為了測量琴弦的三維振動情況，設(shè)計一個基于高速攝影的非接觸式光學(xué)測量系統(tǒng)，通過在琴弦上設(shè)置一些顏色標(biāo)定點，拍攝拉、撥弦時琴弦的振動圖像，得到兩種不同機制的琴弦振動特征，包括振動位移、速度及弦上標(biāo)定點的空間運動軌跡等。對弦上不同位置點的位移曲線進行了比較，研究其振動鋸齒波的正、逆程時間比值變化和振動包絡(luò)線的形成過程，最后分析了影響弦振幅的因素。

弦振動；高速攝影；亥姆霍茲運動；粘滑摩擦；運動軌跡

小提琴弓弦之間的相互作用機理非常復(fù)雜，琴弦的振動特性直接影響其聲學(xué)品質(zhì)[1]。1862年，亥姆霍茲(Helmholtz)提出了琴弦“亥姆霍茲運動”；Raman[2]在1918年發(fā)表了弓拉弦振動力學(xué)理論專著，給出了一個簡化的弦振動模型。目前，很多學(xué)者都在探索建立小提琴弦振動的精確模型[3-6]，Vinod Kumar等[7]通過有限元方法研究了小提琴弦形狀函數(shù)，Guettler等[8]使用脈沖響應(yīng)分析弓弦多方面的聲學(xué)問題。Debut等[9]研究了在遠(yuǎn)程位置使用結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)來識別作用在弓弦的非線性激勵力。

弓弦經(jīng)典的物理模型是Coulomb摩擦模型，但是最近的研究表明這個經(jīng)典模型過于簡單，因此提出了一些改進模型，如熱摩擦模型[10]。

通過實驗直接測量琴弓與琴弦的相互作用而不干擾琴弦的運動非常困難[11]，文獻(xiàn)中鮮有這樣的研究報道。本研究設(shè)計了基于高速攝影的非接觸式三維振動測量系統(tǒng)，通過對視頻序列圖片進行計算機圖象處理，研究琴弦在琴弓的拉力和壓力產(chǎn)生周期振動的振動特性，包括位移、速度和弦上點的空間運動軌跡等。并對影響提琴音色的重要參數(shù)鋸齒波的回程時間與振動周期的比值進行了實驗分析和討論。實驗結(jié)果證實了琴弦的振動形態(tài)是由亥姆霍茲描述的鋸齒三角波形，其正、逆程時間變化的規(guī)律與亥姆霍茲預(yù)言的基本一致。

1 琴弦振動理論

1.1 亥姆霍茲運動

亥姆霍茲用振動顯微鏡觀察了琴弦的常規(guī)振動，他把琴弦的運動描述成一個尖角沿著拋物線包絡(luò)來回的周期運動，如圖1(a)所示。振動分為弓拉弦的正程和滑動返回的逆程兩個階段[12]。如圖1(b)所示，琴弦上的A點隨時間的位移曲線是鋸齒三角波，速度在時間Trt+期間保持正值Vrν+，而在t-TF期間保持負(fù)值ν-VF。亥姆霍茲的分析認(rèn)為：

TF/T=Xc/L

(1)

式中：TF是下降時間，T是振動周期，Xc是琴碼到觀察點的距離，L是弦的長度。

圖1 亥姆霍茲運動原理Fig.1 Movement principle of Helmholtz

1.2 弓弦摩擦模型

通常琴弓與琴弦之間的相互作用可以用“黏滑”摩擦模型來描述：在波形上升期間，由于靜摩擦力，琴弓與琴弦黏在一起做勻速運動；當(dāng)琴弦偏離中心位置后，由于弦的彈性恢復(fù)力增大，克服了靜摩擦力，琴弦就往相反的方向滑動，這時弓弦相對運動速度增加，摩擦力減少。

琴弦運動屬于摩擦振動模型，有一個依賴于速度的摩擦系數(shù)。設(shè)琴弓與琴弦之間的摩擦力為fB(t)處的摩擦力為：

(2)

式中:υC是弓弦的相對速度函數(shù)，F(xiàn)N是琴弓的壓力，在弓弦黏著期間，存在著靜摩擦系數(shù)μ0，而對于滑動期間有一個變化的摩擦系數(shù)μ(vc)，文獻(xiàn)[13]給出了滑動摩擦因數(shù)：

(3)

1.3 琴弦的振動方程

弦振動問題屬于自然界常見的振動問題之一。根據(jù)物理學(xué)描述，一條理想的長度為L、橫截面積為A的弦，弦兩端固定并且受軸向張力F而拉伸。描述弦振動主要特征是其橫向位移y(x,t)，可由下式來描述：

(4)

式中：ρ是琴弦的密度，f(x,t)是作用在弦線上且垂直于弦的初始位置的外部激勵力。

弦的橫向振動頻率f，即弦的基頻率為：

(5)

實際上小提琴有各種演奏技巧，琴弦可能同時受到弓的水平、垂直和軸向分力的作用。軸向分力引起的振動比橫振動的基音高幾個八度且振幅很小可以忽略。而琴弦受到的垂直方向與水平方向外力都作用在弦線上且垂直于弦的初始位置，所以都屬于橫向振動的范疇，應(yīng)該滿足振動方程(4)。因此如在f(x,t)激勵琴弦時，琴弦除產(chǎn)生水平方向位移y(x,t)外，還存在垂直方向位移z(x,t)，則描述琴弦在兩個方向外力作用下振動規(guī)律的微分方程為：

(6)

2 琴弦三維振動的高速攝影實驗

2.1 實驗裝置與實驗設(shè)計

為了測量小提琴撥弦和拉弦過程中弦的三維振動情況，在全息照相光學(xué)平臺上設(shè)計了一個琴弦的三維振動測量系統(tǒng)，如圖2所示。

圖2 小提琴琴弦三維振動高速攝影實驗平臺Fig.2 High-speed photography platform for 3D violin vibration

在小提琴琴弦上設(shè)置一些紅色標(biāo)定點，根據(jù)圖3的光路設(shè)計，攝影機可以直接拍攝到標(biāo)定點C在X-Z平面內(nèi)的振動(攝像頭中點c’)。 標(biāo)定點C在X-Y平面的振動則通過光路變化傳遞到攝像頭中的點c”而被同時記錄。通過調(diào)整平面鏡3的位置和方位，可以使攝像頭中的點c’與通過光路反射后的點c”分隔開來，從而可以同時拍攝得到C點在兩個平面內(nèi)的振動情況，然后通過對圖像進行數(shù)據(jù)處理，可以得到琴弦標(biāo)定點C的三維振動數(shù)據(jù)。

圖3 小提琴琴弦三維振動高速攝影光路設(shè)計Fig.3 Optical path design for violin 3D vibration photography

2.2 實驗過程與數(shù)據(jù)處理

實驗采用彼岸科儀有限公司的HiSpec LTR高速數(shù)位成像儀，其拍攝速度為18～30 000 幀/秒，拍攝畫面像素可達(dá)1280×1024，并能定義拍攝區(qū)域，通過軟件控制攝像及錄像回放。實驗采用德國Pirastro鋼絲琴弦進行實驗，其參數(shù)見表1。

實驗分全景錄像和顯微放大拍攝，在強度足夠的無頻閃光源照射下，通過調(diào)整攝像機的視野和放大倍數(shù)實現(xiàn)。圖的比例可通過在測試物上貼比例尺，再根據(jù)照片上比例尺長度進行標(biāo)定。

表1 琴弦參數(shù)

拍攝前先調(diào)整平面鏡片的位置，使鏡頭內(nèi)能同時出現(xiàn)標(biāo)記紅點的實像和經(jīng)過平面鏡反射而成的虛像，實驗獲取的圖片如圖4所示。其中全景拍攝選取拍攝速度為3 249 幀/秒，圖片分辨率為1 648×284，局部放大拍攝的速度為6 650 幀/秒，圖片分辨率為336×480。

對小提琴的G弦和E弦進行拉弦和撥弦實驗，拉弦實驗條件為：弓速=0.250～0.5 m/s，弓壓1-3N，弓弦接觸位置離琴馬約為30 mm，50 mm。

實驗中將高速攝像數(shù)據(jù)保存為圖片序列格式和視頻文件格式。應(yīng)用圖像和數(shù)據(jù)處理的方法[13-15]對高速攝影的圖片進行標(biāo)定點坐標(biāo)的提取，標(biāo)定點坐標(biāo)提取的圖像處理程序包括：① 裁剪圖像提取兩個感興趣的區(qū)域(ROI)，使每個ROI包括一個標(biāo)記。② 過濾裁剪的圖像。③ 使用圓形霍夫變換提取序列圖像標(biāo)定點的坐標(biāo)。④ 對數(shù)據(jù)奇異值作分解處理[13]。數(shù)據(jù)提取之后在MATLAB軟件中通過編程自動得到琴弦上標(biāo)定點在三個方向的運動軌跡數(shù)據(jù)。有了位移數(shù)據(jù)，由于時間間隔是已知的，就可計算出弦上點的運動速度。

圖4 高速攝影部分圖片F(xiàn)ig.4 Several pictures obtained by high-speed photography

3 實驗結(jié)果與分析

3.1 撥弦實驗結(jié)果分析

圖5 撥G弦時標(biāo)定點的振動曲線Fig.5 Vibration curves of mark point by plucking G string

提琴撥弦的位移數(shù)據(jù)是從上萬張連續(xù)圖像使用上述圖像處理算法提取出來的，結(jié)果如圖5所示。當(dāng)撥弦后，琴弦標(biāo)定點的衰減振動過程如圖5(a)所示。垂直方向的振動出現(xiàn)延時。弦運動產(chǎn)生的水平位移和垂直位移曲線如圖5(b)所示，兩個方向的波形都類似簡諧振動的波形，其正、逆程時間相等。圖5(b)下面的圖是標(biāo)定點的空間運動軌跡，為近似的橢圓，隨著振動的衰減，橢圓越來越小直至為零。該軌跡證明通常撥弦時，琴弦是作三維空間振動的，因此僅用弦振動式(4)來研究其振動是不夠的，有必要用式(6)來描述琴弦的振動特性。此外，從圖5(c)的速度曲線可以看到，撥弦振動的速度上升比較緩慢，與拉弦的(見后)不同。

3.2 拉弦實驗結(jié)果分析

圖6是從拉弦實驗記錄的7 101幅序列圖像采用計算機圖像處理方法得到的。從標(biāo)定點Y方向的位移曲線(圖6(a))可看出，小提琴琴弦的橫向運動是一個近似的鋸齒三角波形，其正程上升時間較長，這是因為正程時琴弦受較慢弓速的制約，逆程則由于受弦的回彈力和較小的弓弦滑動摩擦力，所以快速返回。

從圖6(a)的空間軌跡可以知道，拉弦時由于弓的壓力，弦基本保持在運弓平面內(nèi)振動。所以通常研究時可采用攝像頭與運弓平面垂直進行測量，但實際上由于調(diào)整困難和拉弓的不穩(wěn)定性，加上四條弦處在不同方位，實驗中很難保證攝像頭與運弓平面垂直。本實驗的特點在于，通過兩個方向的測量數(shù)據(jù)，可以繪出弦振動的空間軌跡，有助于分析弦振動的機理，同時還可根據(jù)運弓軌跡線的傾斜程度補償因攝像頭與運弓平面不垂直產(chǎn)生的幅度誤差。

圖6 拉G弦時標(biāo)定點的振動曲線Fig.6 Vibration curves of mark point by bowing G string

3.3 琴弦上不同位置點位移波形分析

根據(jù)式(1)，距離XC和L改變時弦振動的正逆時間會改變。實驗通過在按壓琴弦縮短弦長獲得的G弦標(biāo)定點的橫向振動波形如圖7所示，可見由于弦長縮短，鋸齒波的逆程時間相對圖6變長。

圖7 縮短弦長拉G弦的振動情況Fig.7 Vibrationcurves of mark on shortened G string

圖8 G弦上不同標(biāo)定點的振動波形比較Fig.8 Comparing of vibration curves for mark points

在全景視頻的圖片序列測量到的琴弦不同位置點的橫向位移如圖8所示。從圖可看出弦中部的點(5、6)的位移值較大，這是由于兩端固定的弦振動時弦中部的變形撓度較大。弦上各點位移曲線的正、逆程時間如表2所示，靠近琴馬的點逆程時間較短，到弦的中部，正、逆程時間趨向相等。這一結(jié)論與式(1)和一些文獻(xiàn)給出的結(jié)論相同[3]。

表2 弦上各標(biāo)定點位移曲線周期變化

在圖8各曲線上取同一瞬時琴弦上不同位置的位移值，可描繪出某一瞬時弦的振動軌跡，在一個周期內(nèi)取多個瞬時的數(shù)據(jù)，就可得到弦振動一個周期的形態(tài)，圖9(a)的包絡(luò)線接近拋物線，是由各曲線的最大正負(fù)位移值繪出，它們出現(xiàn)在不同的瞬時，即我們看到的包絡(luò)線實際是由弦上不同點持續(xù)形成的。這說明弦的運動非常復(fù)雜，特別在靠近弓弦接觸處的地方，會疊加有各種類型的振動。

圖9 拉G弦時的振動形態(tài)Fig.9 Vibration configuration of bowing G string

本實驗的各種拉弓的實驗情況結(jié)果如表3所示，從實驗結(jié)果看到，運弓方法無論是拉弓還是推弓，弓速和弓弦接觸位置變化時，位移曲線都符合亥姆霍茲的鋸齒波形，且基本滿足式(1)。

表3 各種拉弦實驗情況比較

3.4 影響小提琴琴弦振幅的因素

通過改變弓速、弓壓和弓弦接觸點的位置，研究了影響弦振幅的因素。實驗通過在弓上添加重量提高弓壓，弦的最大振幅由拍攝照片的G弦振動包絡(luò)線測量，如圖9(b)所示，實驗結(jié)果歸納如下：

(1) 當(dāng)弓速度從0.25 m/s提高到0.5 m/s 時，G弦的最大振幅由6 mm增加到14 mm(弓壓保持為1.5 N)，這時提琴的聲音增大。

(2) 當(dāng)弓壓從1 N 增加到3 N時，G弦的最大振動幅度5 mm增加到9 mm(弓速保持為0.25 m/s)，這時聲音增大較明顯。

(3) 當(dāng)弓弦接觸點離琴馬的距離由30 mm增加到50 mm時，G弦的最大振幅由6 mm減少到4 mm，(保持弓速=0.25 m/s，弓壓=1.5 N)。這時提琴的聲音略為減小。

通過分析實驗結(jié)果可知，改變弓速對弦的振幅影響較大，而弓壓對聲音響度的影響較顯著。

4 結(jié) 論

本文設(shè)計了基于高速攝像的非接觸式光學(xué)測量系統(tǒng)，通過實驗，獲得了琴弦上標(biāo)定點的位移曲線和空間軌跡，并達(dá)到亞像素分辨率。因為琴弦振幅小，振動頻率高，本文采用圓形霍夫變換處理算法和奇異值分解算法，對記錄的大量序列圖像進行坐標(biāo)提取、特征識別和分析處理，研究了小提琴琴弦的振動特性，得到如下結(jié)論：

(1) 將高速攝影的二維平面拍攝擴展為三維檢測，可得到弦振動的三維空間軌跡和運動特征；實驗證實了撥弦和拉弦是兩種不同機制的弦振動方式：前者作三維空間振動，后者基本為平面振動；弓拉弦時弦上點的位移曲線是由亥姆霍茲預(yù)言的鋸齒三角波和由折角形成的拋物包絡(luò)線運動。本研究為建立弦振動的精確模型提供了實驗支持。

(2) 弓拉弦正程時，弦受到較大的靜摩擦力激勵，琴弦儲存了彈性勢能，逆程雖受到弓的阻礙，但由于滑動摩擦力較小，回程時間較短，所以系統(tǒng)總的來說是獲得正能量，琴弦能一直維持振動。

(3) 實驗結(jié)果證實，弓拉弦時弦上不同點的位移鋸齒波曲線的回程時間與振動周期的比值變化有如下特點：靠近弓弦作用點，其逆程時間相對較短；遠(yuǎn)離作用點逆程時間變長，到弦的中部，正、逆程時間趨向相等。對于撥弦，弦上所有點的振動位移曲線的正、逆程時間都相等。

(4) 弓拉弦時，增大弓速和弓壓及使弓弦接觸點靠近琴馬都能使弦的振幅增加和提琴聲音變響；由于靠近琴馬處弦的逆程波形變化較陡，通過琴馬和琴體的作用，使聲音的高頻成分較為豐富。

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Video photography experiment on string vibration of violin

ZHANG Cheng-zhong1,2, YE Bang-yan1, LIANG Li-dong1, HU Xi-zhi1, ZHAO Xue-zhi1

(1. School of Mechanical and automotive Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China;2. School of Software, South China Normal University, Foshan 528225, China)

The interaction mechanism between violin bow and string is very complicated due to the stick-slip friction action, and it forms a complex vibration system. The vibration characteristics of violin strings were studied through theoretical analysis and experimental method. In order to measure the three dimensional vibration configuration of strings, an optical noncontact measurement system based on high-speed photography was designed. Some color marks were set on string and then the vibration images were got when bowing or plucking the violin string. The string vibration characteristics of two different action mechanisms of plucking and bowing string were investigated, including vibration displacement, velocity and space trajectory of the mark points on string. By comparing the displacement curves of the different points on string, the variety of the ratio of positive process time to negative process time of vibration sawtooth waveform were studied, and the formation process of vibration enveloping curve was observed. The factors affecting the vibration amplitude of violin string were analyzed.

string vibration; high speed video photography; Helmholtz motion; stick-slip friction; motion track

國家自然科學(xué)基金資助項目(51375178)

2013-08-31 修改稿收到日期：2014-04-23

張承忠 女，博士生，1968年生

葉邦彥 男，教授，博士生導(dǎo)師，1949年生

TN911.7; TH165.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.09.032