兩點(diǎn)支承結(jié)構(gòu)多點(diǎn)輸入地震響應(yīng)簡(jiǎn)化算法與精度分析

趙 博， 王元清， 陳志華， 石永久， 江 洋

(1. 天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院，天津 300072； 2. 清華大學(xué) 土木工程系 土木工程安全與耐久性教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084)

兩點(diǎn)支承結(jié)構(gòu)多點(diǎn)輸入地震響應(yīng)簡(jiǎn)化算法與精度分析

趙 博1， 王元清2， 陳志華1， 石永久2， 江 洋2

(1. 天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院，天津 300072； 2. 清華大學(xué) 土木工程系 土木工程安全與耐久性教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084)

多點(diǎn)輸入計(jì)算中，在考慮所有耦合項(xiàng)的完全二次項(xiàng)(CQC)組合法基礎(chǔ)上，給出忽略相關(guān)耦合項(xiàng)的平方和平方根(SRSS)近似算法，并針對(duì)兩點(diǎn)支承結(jié)構(gòu)的特殊性，提出該類型結(jié)構(gòu)擬靜力響應(yīng)的簡(jiǎn)化計(jì)算方法。以典型的兩種兩點(diǎn)支承結(jié)構(gòu)為算例，分析SRSS近似算法的精度。計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于兩點(diǎn)支承結(jié)構(gòu)而言，SRSS算法的誤差主要是因?yàn)楹雎詳M靜力和相對(duì)動(dòng)力耦合項(xiàng)所致，而忽略振型耦合項(xiàng)的誤差較??；行波效應(yīng)越強(qiáng)，近似算法的誤差越大；但從實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果來看，在常見的波速范圍內(nèi)，兩種近似算法的位移、內(nèi)力的計(jì)算誤差都分別在10%、15%以內(nèi)。因此采用SRSS近似方法用于此類結(jié)構(gòu)多點(diǎn)輸入地震響應(yīng)的計(jì)算是可行的。

地震響應(yīng)；多點(diǎn)輸入；兩點(diǎn)支承結(jié)構(gòu)；平方和平方根法

地震動(dòng)存在行波效應(yīng)、不相干效應(yīng)、衰減、局部場(chǎng)地效應(yīng)等空間效應(yīng)[1]，當(dāng)結(jié)構(gòu)的平面尺寸較大時(shí)，地震動(dòng)的空間變化效應(yīng)將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)不同支座運(yùn)動(dòng)不一致，由此引出了大跨結(jié)構(gòu)的多點(diǎn)輸入地震響應(yīng)問題。大跨度結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)形式和支承形式多種多樣，有周邊支承的雙向大跨度結(jié)構(gòu)，如大跨度網(wǎng)架、球面網(wǎng)殼等，也有單方向跨度較大的橋梁、拱、門式剛架等結(jié)構(gòu)類型?，F(xiàn)有研究結(jié)果表明，多點(diǎn)輸入下不同類型結(jié)構(gòu)的響應(yīng)規(guī)律有很大的區(qū)別，針對(duì)具體結(jié)構(gòu)類型開展多點(diǎn)輸入響應(yīng)研究是比較合理的[2]。兩點(diǎn)支承結(jié)構(gòu)是大跨度結(jié)構(gòu)中支承形式最為簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，計(jì)算多點(diǎn)輸入效應(yīng)時(shí)只需考慮兩個(gè)不一致的支座地震動(dòng)輸入，因此多點(diǎn)輸入結(jié)構(gòu)響應(yīng)規(guī)律也較簡(jiǎn)單，已有較多學(xué)者對(duì)不同結(jié)構(gòu)形式的兩點(diǎn)支承結(jié)構(gòu)多點(diǎn)輸入規(guī)律展開了研究[3-6]。

事實(shí)上，由于兩點(diǎn)支承結(jié)構(gòu)大多形式簡(jiǎn)單，動(dòng)力特征明顯，動(dòng)力計(jì)算中忽略部分耦合項(xiàng)對(duì)結(jié)果精度的影響可能較小。因此首先以考慮所有耦合項(xiàng)(包括擬靜力和相對(duì)動(dòng)力耦合項(xiàng)、相對(duì)動(dòng)力振型耦合項(xiàng))的完全二次項(xiàng)(CQC)組合法為基礎(chǔ)，給出不考慮或部分考慮耦合項(xiàng)的平方和平方根(SRSS)組合法的近似計(jì)算式，并根據(jù)兩點(diǎn)支承結(jié)構(gòu)支座位移產(chǎn)生的擬靜力響應(yīng)只與兩支承的相對(duì)位移有關(guān)這一特點(diǎn)提出適用于兩點(diǎn)支承結(jié)構(gòu)的擬靜力響應(yīng)簡(jiǎn)化計(jì)算方法，計(jì)算量?jī)H為原來的1/4，但并不影響計(jì)算精度。以兩個(gè)典型的兩點(diǎn)支承結(jié)構(gòu)(拱桁架和門式桁架)為例，驗(yàn)證所提出簡(jiǎn)化算法的計(jì)算精度。

1 多點(diǎn)輸入隨機(jī)響應(yīng)

1.1 CQC精確算法

假設(shè)結(jié)構(gòu)具有n個(gè)自由度和m個(gè)支座約束自由度，在地震多點(diǎn)輸入下，任意響應(yīng)z可以寫成擬靜力響應(yīng)zs和相對(duì)動(dòng)力響應(yīng)zd之和

z=zs+zd

(1)

(2)

(3)

式中：uk為第k個(gè)支座位移，ak為第k個(gè)支座單位位移引起的結(jié)構(gòu)靜力響應(yīng)；ski為第k個(gè)支座位移引起的第k階歸一化振型坐標(biāo)，bki為第k支座單位位移引起的第i階振型響應(yīng)。

Der Kiureghian等[7]基于隨機(jī)振動(dòng)理論推導(dǎo)出與式 (1)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)功率譜、均方差σz、極值期望值(以下簡(jiǎn)稱最大值)zmax等計(jì)算公式：

(1)響應(yīng)功率譜Szz

其中右端三項(xiàng)分別代表擬靜力響應(yīng)功率譜，擬靜力相對(duì)動(dòng)力耦合項(xiàng)的互功率譜，相對(duì)動(dòng)力響應(yīng)功率譜。

(4)

(5)

(2) 響應(yīng)均方差σz

式(4)在頻域內(nèi)積分，得到響應(yīng)均方差σ其中σuk、σski、σslj分別是相應(yīng)項(xiàng)的均方差，而ρukul、ρukslj、ρskislj表示各項(xiàng)相關(guān)系數(shù)，均由積分得到。

(3) 最大值z(mì)max

零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程的最大值z(mì)max可由峰值系數(shù)pz和均方差σz的乘積估計(jì)

zmax=pzσz

(6)

于是，可由式(5)和式(6)計(jì)算響應(yīng)最大值

(7)

其中:uk,max、slj,max等為各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的極值期望，puk、pslj為相應(yīng)的峰值系數(shù)。

1.2SRSS近似算法

前述精確計(jì)算公式由隨機(jī)振動(dòng)理論推導(dǎo)而來，考慮了所有項(xiàng)之間的耦合作用，精度較高，但計(jì)算量很大。事實(shí)上，在某些特殊情況下，也可作一定簡(jiǎn)化，本節(jié)引入兩個(gè)假定條件：

(Ⅰ) 結(jié)構(gòu)自振頻率大于0.5 Hz，即周期小于2 s。文獻(xiàn)[7]指出，對(duì)于此類結(jié)構(gòu)，式(5)、式(7)中擬靜力和相對(duì)動(dòng)力的耦合系數(shù)ρukslj很小，忽略該項(xiàng)帶來的誤差可能不大。

(Ⅱ) 結(jié)構(gòu)自振頻率分散。當(dāng)結(jié)構(gòu)頻率分散時(shí)，振型耦合程度也較低，式中ρskislj(當(dāng)i≠j時(shí))也可忽略。

由此可定義兩種近似計(jì)算方法：

(1) 近似方法一

假設(shè)僅滿足假定條件(Ⅰ)，忽略擬靜力和相對(duì)動(dòng)力的耦合項(xiàng)，此時(shí)式(4)、式(5)、式(7)分別簡(jiǎn)化為

(8)

(9)

(10)

其中式(9)、式(10)可以理解為：分別求解擬靜力響應(yīng)和相對(duì)動(dòng)力響應(yīng)，總響應(yīng)由兩者的平方和平方根(SRSS)組合方法得到。

(2) 近似方法二

假設(shè)同時(shí)滿足上述假定條件(Ⅰ)和(Ⅱ)，忽略相對(duì)動(dòng)力響應(yīng)中的振型耦合項(xiàng)，上述各式進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(11)

(12)

(13)

式(12)、式(13)的計(jì)算步驟為：分別求解擬靜力響應(yīng)和各階振型坐標(biāo)的相對(duì)動(dòng)力響應(yīng)值，再將所有項(xiàng)采用SRSS方法組合得到總響應(yīng)。

2 兩點(diǎn)支承結(jié)構(gòu)擬靜力響應(yīng)簡(jiǎn)化計(jì)算

對(duì)于兩點(diǎn)支承結(jié)構(gòu)而言，支座位移產(chǎn)生的擬靜力響應(yīng)只與兩支承的相對(duì)位移有關(guān)，前文各式中擬靜力響應(yīng)還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化。觀察式(4)右端第一項(xiàng)，即擬靜力功率譜Szszs表達(dá)式

(14)

對(duì)于兩點(diǎn)支承結(jié)構(gòu)，式中:a2= -a1。展開式(14)

(15)

其中右端括號(hào)內(nèi)為兩支承處地面相對(duì)位移Δu的功率譜

SΔu=Su1u1(ω)-Su1u2(iω)-Su2u1(iω)+Su2u2(ω) (16)

對(duì)于同時(shí)考慮行波效應(yīng)和不相干效應(yīng)的情況，式(16)可由以下解析式快速計(jì)算得到

(17)

式中:d為兩點(diǎn)間距，Su為地面位移功率譜，ρ(ω)和vapp分別為兩點(diǎn)間相干函數(shù)和地震波視波速。

因此，擬靜力響應(yīng)可由地面相對(duì)位移計(jì)算

(18)

(19)

(20)

采用簡(jiǎn)化計(jì)算方法后的式(18)的計(jì)算量?jī)H為式(14)的1/4。

根據(jù)前述推導(dǎo)過程，概括出兩點(diǎn)支承結(jié)構(gòu)同時(shí)采用擬靜力響應(yīng)簡(jiǎn)化計(jì)算法和SRSS組合法的計(jì)算步驟：

(1)根據(jù)結(jié)構(gòu)跨度和多點(diǎn)地震動(dòng)參數(shù)計(jì)算兩點(diǎn)支座處地面相對(duì)位移功率譜SΔu(式(17))，積分求得相對(duì)位移均方差σΔu、最大值Δumax。

(2) 固定一個(gè)支座，在另一支座處施加與步驟(1)得到的相對(duì)位移值相等的位移，靜力求解，計(jì)算結(jié)構(gòu)擬靜力響應(yīng)(式(18)～(20))。

(3) 計(jì)算結(jié)構(gòu)相對(duì)動(dòng)力響應(yīng)，可以選擇是否考慮振型耦合項(xiàng)。

(4) 采用SRSS法組合擬靜力響應(yīng)和相對(duì)動(dòng)力響應(yīng)，計(jì)算結(jié)構(gòu)總響應(yīng)。

3 算例分析

3.1 多點(diǎn)地震動(dòng)參數(shù)

假定地震波傳播和振動(dòng)方向均沿結(jié)構(gòu)跨度方向，考慮多點(diǎn)輸入效應(yīng)中的行波效應(yīng)和不相干效應(yīng)：

(1) 行波效應(yīng)。在100～1 600 m/s范圍內(nèi)取10個(gè)視波速vapp進(jìn)行計(jì)算：100、125、150、175、200、250、300、400、800、1 600。

(2) 不相干效應(yīng)。采用常用的Luco-Wong[8]

(21)

圖1 地震動(dòng)功率譜密度函數(shù)曲線Fig.1 PSD curve of ground motion

一致地震動(dòng)加速度功率譜Sa(ω)采用Clough-Penzien譜[9]

(22)

其中:譜參數(shù)ωg= 13.96 rad/s，ζg= 0.8，ωf=1.396 rad/s，ζf= 0.8，S0=7.123 cm2/s3[10]。地震動(dòng)加速度和位移功率譜曲線如圖1所示。

3.2 拱桁架

選取鋼管拱桁架模型如圖2所示?？缍?00 m，矢高25 m，兩端鉸支；采用倒三角形截面，截面寬度均為2 m，縱向節(jié)間長(zhǎng)度約為2.8 m；上下弦選用Φ236×12圓鋼管，腹桿選用Φ130×5圓鋼管；重力荷載以構(gòu)件自重和節(jié)點(diǎn)集中質(zhì)量的形式施加，每個(gè)節(jié)點(diǎn)上定義500 kg的集中質(zhì)量；結(jié)構(gòu)阻尼比0.035。

圖2 拱桁架模型Fig.2 Model of arch truss

圖3是視波速vapp=400 m/s時(shí)，分別采用精確算法和兩種近似算法計(jì)算得到的上弦桿節(jié)點(diǎn)相對(duì)位移(相對(duì)左柱腳)和上弦桿軸力在跨度方向的分布情況。圖4的誤差圖進(jìn)一步給出了兩種近似計(jì)算方法的誤差。

圖3 結(jié)構(gòu)響應(yīng)最大值，vapp=400 m/sFig.3 Expected extreme value of response，vapp=400 m/s

圖4 近似方法計(jì)算誤差，vapp=400 m/sFig.4 Error of SRSS methods，vapp=400 m/s

很顯然，忽略了擬靜力和相對(duì)動(dòng)力耦合項(xiàng)的近似算法一的計(jì)算結(jié)果普遍小于精確值，而進(jìn)一步忽略振型耦合項(xiàng)的算法二的計(jì)算結(jié)果更?。粌煞N近似算法的位移計(jì)算誤差相當(dāng)，內(nèi)力計(jì)算誤差相差較大。

圖5給出了兩種近似算法得到的各種結(jié)構(gòu)響應(yīng)誤差絕對(duì)值的最大值隨跨度與波速的比值(d/vapp)的變化情況。橫坐標(biāo)d/vapp越大則行波效應(yīng)越強(qiáng)，而橫坐標(biāo)0處為波速無窮大、不考慮行波效應(yīng)的計(jì)算結(jié)果。各圖表明

(1) 兩種算法的位移誤差曲線吻合得較好，內(nèi)力結(jié)果也較接近。這說明對(duì)于本算例的結(jié)構(gòu)而言，近似算法導(dǎo)致的誤差主要是因?yàn)楹雎詳M靜力和相對(duì)動(dòng)力耦合項(xiàng)所致，忽略振型耦合項(xiàng)的誤差較小。

(2) 不同響應(yīng)量的誤差隨波速的變化情況各不相同。位移誤差隨d/vapp增大出現(xiàn)波動(dòng)情況，而結(jié)構(gòu)內(nèi)力響應(yīng)誤差總體呈增大趨勢(shì)。

(3) 在常見的波速范圍內(nèi)(100～1 600 m/s)，兩種算法的位移誤差都在10%以內(nèi)，而內(nèi)力誤差均控制在15%以內(nèi)。

圖5 近似方法誤差最大值Fig.5 Maximum error of SRSS methods

3.3 門式桁架

選取鋼管門式桁架模型如圖6所示?？缍?2.4 m，兩端鉸支；采用三角形截面，截面高2.8 m，寬2.2 m；根據(jù)設(shè)計(jì)要求，采用多種截面尺寸的圓鋼管；重力荷載以構(gòu)件自重和節(jié)點(diǎn)集中質(zhì)量的形式施加，屋蓋下弦節(jié)點(diǎn)上定義730 kg的集中質(zhì)量；結(jié)構(gòu)阻尼比0.035。

圖7給出了各類響應(yīng)誤差最大值隨波速的變化情況。計(jì)算結(jié)果與此前拱桁架的計(jì)算結(jié)果類似：

(1) 兩種算法的位移誤差曲線吻合得較好，內(nèi)力結(jié)果有一定差別。

圖6 鋼管門式桁架模型Fig.6 Model of portal truss

(2) 總的來看，誤差隨d/vapp增大呈增大趨勢(shì)。

(3)常見的波速范圍內(nèi)，兩種算法的位移和腹桿軸力誤差都在10%以內(nèi)，而弦桿軸力誤差在15%以內(nèi)。

圖7 近似方法誤差最大值Fig.7 Maximum error of SRSS methods

4 結(jié) 論

(1) 簡(jiǎn)化的擬靜力響應(yīng)算法適用于兩點(diǎn)支承結(jié)構(gòu)，計(jì)算量減少為1/4。

(2) 對(duì)于兩點(diǎn)支承結(jié)構(gòu)而言，SRSS近似算法導(dǎo)致的誤差主要是因?yàn)楹雎詳M靜力和相對(duì)動(dòng)力耦合項(xiàng)所致，忽略振型耦合項(xiàng)的誤差相對(duì)較小。

(3) 行波效應(yīng)越強(qiáng)，近似算法的誤差越大。但從典型的拱桁架和門式桁架的計(jì)算結(jié)果來看，在常見的波速范圍內(nèi)，兩種近似算法的位移、內(nèi)力的計(jì)算誤差都分別在10%、15%以內(nèi)。因此采用SRSS近似方法用于此類結(jié)構(gòu)多點(diǎn)輸入地震響應(yīng)的計(jì)算是可行的。

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Accuracy analysis of a simplified algorithm for seismic response analysis of two supports structures under multi-support excitation

ZHAO Bo1, WANG Yuan-qing2, CHEN Zhi-hua1, SHI Yong-jiu2, JIANG Yang2

(1. School of Civil Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2. Key Laboratory of Structural Engineering and Vibration of Education Ministry, Department of Civil Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

On the base of response spectrum CQC method considering all the coupling items, an approximate SRSS algorithm ignoring relevant coupling terms was given. Due to the specialty of structures with two supports, a simplified algorithm for analysing quasi-static response of this type of structures was put forward. Taking a typical two supports structure as example, the accuracy of the approximate algorithm of SRSS was analyzed. The results show that the error of SRSS method mainly comes from ignoring quasi-static and relative dynamic coupling terms, but not modal coupling terms. The stronger the traveling-wave effect is, the bigger the error of the approximate algorithm will be. But according to the calculation results of actual engineering structures, within the range of the common wave velocity, the computation errors of displacement and internal force of the two approximate algorithms keep within 10% and 15% respectively. So it is feasible to use approximate algorithm of SRSS for seismic response analysis of two supports structures under multi-support excitation.

seismic response; multi-support excitation; two supports structures; sum of squares and square root (SRSS) method

國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(51038006); 高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)基金資助課題(20090002110045)

2013-12-05 修改稿收到日期：2014-05-09

趙博 男，博士生，1987年生

陳志華 男，博士，教授，1966年10月生

TU311.3; O327

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.09.004