廣義Wick-型隨機(jī)遷移方程的一類顯式解

陳 彥，韋才敏

（1.汕頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院 自然科學(xué)系，廣東 汕頭 515078；2.汕頭大學(xué) 數(shù)學(xué)系，廣東 汕頭 515063）

廣義Wick-型隨機(jī)遷移方程的一類顯式解

陳 彥1，韋才敏2

（1.汕頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院 自然科學(xué)系，廣東 汕頭 515078；2.汕頭大學(xué) 數(shù)學(xué)系，廣東 汕頭 515063）

在隨機(jī)分布空間(S)-1上求解廣義Wick-型隨機(jī)遷移方程，并討論解的性質(zhì)。首先通過和式型泛函分離變量法，把求解方程約化為線性二階隨機(jī)常微分方程（SODE）；然后再對方程SODE依次取兩次積分又轉(zhuǎn)化為隨機(jī)維他里方程，從而獲得了一類用級數(shù)表示的顯式解，并論證此類解是存在的、唯一的和連續(xù)的。

泛函分離變量法；隨機(jī)遷移方程；線性二階隨機(jī)常微分方程；顯式解

0 引言

在運(yùn)動介質(zhì)中彌散的物質(zhì)遷移可以建模為隨機(jī)偏微分方程

式中，U(t，x)表示物質(zhì)在t時刻點(diǎn)x∈D處的集中量；常數(shù)表示彌散系數(shù)；V(t，x)∈Rd表示介質(zhì)的速度；K(t，x)∈R表示相對泄漏率；g(t，x)∈R表示物質(zhì)源比率；物質(zhì)初始集中量f(x)是已知的實(shí)函數(shù)［1］。若假設(shè)方程（1）的系數(shù)至少有一個是隨機(jī)的，則稱此方程為隨機(jī)遷移方程。近年來，研究者們對方程（1）的求解多以缺項形式或采用方程的某一項含有布朗運(yùn)動或白噪聲的形式來求解。當(dāng)K(t,x)=g(t,x)=0,V(t,x)=W(x)（d-維白噪聲）時，方程（1）叫做湍流介質(zhì)中物質(zhì)的遷移模型［2-4］；若d=1，可用Stratonvich積分和Hitsuda-Skorohod積分形式來解釋乘積W(x)·?U(x)［5］；而當(dāng)d為任意時，GJERDE等［6］取V(t,x)為d-維φ-光滑化白噪聲（φ∈S），把積Wφ(x)·?U(x)解釋為Wick積Wφ(x)??U(x)（仍取K(t,x)=g(t,x)=0），并給出該方程的顯式解。若在方程（1）中取V(t,x)=g(t,x)=0時，則變成含有隨機(jī)位勢的熱方程。NUALART等［3］在K(t,x)為白噪聲情況下，證明了該方程存在著廣義韋納（Wiener）泛函類型的解。而KALLIANPUR等［7］在研究方程（1）時，取V(t,x)、K(t,x)是確定的且g(t,x)是隨機(jī)的，將其作為污染彌散的模型。后來GJERDE合并了文獻(xiàn)［6］和文獻(xiàn)［7］研究的兩種情況，并把求解方程推廣為

式中，σ為常數(shù)，K(t,x)，g(t,x)和f(x)是給定的隨機(jī)分布過程，且添加了起點(diǎn)概率作為已知條件，從概率角度獲得方程（2）的所有解并給出顯解公式［8］。

由此可見，GJERDE的求解結(jié)果是目前在求解隨機(jī)遷移方程中較為完善的成果之一。但它仍然是方程（1）取V(t,x)=Wφ(x)時的特殊情況。而對于更一般的情況：即當(dāng)V(t,x)推廣為任意隨機(jī)過程時，尚未有更進(jìn)一步的研究。本研究擬在系數(shù)V(t,x),K(t,x),g(t,x)和f(x)都是隨機(jī)的、并添加另一個隨機(jī)初始值Ut(0,x)作為已知條件的情況下，來探討方程（1）在Wick積意義下的解。

1 預(yù)備知識

2 廣義Wick-型隨機(jī)移遷方程的一類顯式解

3 結(jié)論

本文主要給出求解廣義Wick-型隨機(jī)遷移方程的方法途徑及解的結(jié)果。一開始，該方程除了系數(shù)σ為常數(shù)外，V(t,x),K(t,x),g(t,x)和f(x)都設(shè)為任何隨機(jī)過程，使求解能在更一般的情況下進(jìn)行，并添加一個初始數(shù)據(jù)Ut(0,x)作為已知條件。在求解過程中，主要使用和式型泛函分離變量法及積分法，促使方程進(jìn)行了兩次轉(zhuǎn)化，最終獲得了一類(S)-1上的顯式解，并論證此類解是存在的、唯一的和連續(xù)的；與此同時，又給出了一個確定的輔助函數(shù)W(x)，它具有一個很吸引人的性質(zhì)：即如果能找到若干個W(x)，那么廣義Wick-型隨機(jī)遷移方程就對應(yīng)有若干個解。但筆者認(rèn)為這些解應(yīng)該不是所有的解，而是其中一部分解。那么廣義Wick-型隨機(jī)遷移方程究竟能否導(dǎo)出其他類型的解，甚至所有解？此類問題有待于進(jìn)一步研究。

（References）

［1］ADOMIAN G，SERRANO S E.Stochastic contaminant transport equation in porous media［J］.Applied Mathematics Letters，1998，11（1）：53-55.

［2］CHOW P L.Generalized solution of some parabolic equations with a random drift［J］.Applied Mathmatics and Optimization 1989，20：81-96.

［3］NUALART D，ZAKAI M.Generalized Brownian functions and the solution to a stochastic partial differential equations［J］.Jour?nal of functional Analysis，1989，84：279-296.

［4］POTTHOFF J.White noise methods for stochastic partial equations［J］.Stochastic Partial Differential Equations and Their Appli?cations，1992，7：238-251.

［5］POTTHOFF J.White noise approach to parabolic stochastic partial differential equations［J］.Stochastic Analysis and Applica?tions in Physics，1994，11：307-327.

［6］GJERDE J，HOLDEN H，?KSENDALB，et al.An equation modelling transport of a substance in a stochastic medium［J］.Semi?nar on Stochastic Analysis，Random Fields and Application，1995，12：123-134.

［7］KALLIANPUR G，XIONG J.Stochastic models of environmental pollution［J］.Advances in Applied Probability，1994，266：377-403.

［8］HOLDEN H，?KSENDAL B，U VB?E J，et al.Stochastic partial differential equtions［M］.New York：Springer Science+Busi?ness Media LLC，2010：165-166，134-135，129.

［9］樓紅衛(wèi)，林偉.常微分方程［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2007：114.

［10］婁森岳，唐曉艷.非線性數(shù)學(xué)物理方法［M］.北京：科學(xué)出版社，2006：39.

（責(zé)任編輯：胡燕梅）

A Class of Explicit Solutions of Generalized Wick-Type Stochastic Transport Equation

CHEN Yan1，WEI Caimin2
（1.Department of Natural Sciences，Shantou Polytechnic，Shantou 515078，Guangdong，China；2.Department of Mathematics，Shantou University，Shantou 515063，Guangdong，China）

In this paper，we mainly solve the generalized Wick-type stochastic transport equation in the stochastic distributions spaces(S)-1and discuss properties of the solutions.By the sum-type functional separation of variables，the equation is reduced into a linear second-order stochastic ordinary differential equation（SODE），and then the SODE，integrated twice in order，converts to a stochastic Volterra equa?tion，so that we obtain a class of explicit solutions in series and argue that the class of solutions are exis?tent，unique and continuous.

functional separation of variable；stochastic transport equation；linear second-order stochas?tic ordinary differential equation；explicit solution

O175.23

：A

：1673-0143（2015）06-0505-08

10.16389/j.cnki.cn42-1737/n.2015.06.005

2015-07-05

2014年汕頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院科研課題（SZK2014Y23）

陳 彥（1962—），男，副教授，碩士，研究方向：隨機(jī)偏微分方程。