多維空間中點的密度與近似連續(xù)函數(shù)

賀志明，姚春臨，劉 軍

（江漢大學 數(shù)學與計算機科學學院，湖北 武漢 430056）

多維空間中點的密度與近似連續(xù)函數(shù)

賀志明，姚春臨，劉 軍

（江漢大學 數(shù)學與計算機科學學院，湖北 武漢 430056）

給出可測集中點的密度的簡單性質(zhì)；推廣一元近似連續(xù)函數(shù)到多元情形，得到可測函數(shù)與近似連續(xù)函數(shù)之間的關(guān)系。

可測集；密度；可測函數(shù)；近似連續(xù)函數(shù)；n維空間

0 引言

從集合點的鄰近性質(zhì)可以刻畫可測集和可測函數(shù)。Lebesgue給出了可測集中點的密度的定義，可以看作是通常空間中點的密度概念的推廣，文獻［1］中給出了一維點集密度和一些性質(zhì)。文獻［2］給出了與密度相關(guān)的一元近似連續(xù)函數(shù)概念。文獻［3-4］提及可測函數(shù)的本性，實際上可測函數(shù)的本質(zhì)是近似連續(xù)函數(shù)；文獻［5］討論了函數(shù)可微性與可測性，并就多元函數(shù)也可廣泛討論廣義可微性的問題上進一步刻畫了近似連續(xù)函數(shù)。

本文將一元近似連續(xù)函數(shù)推廣到多維空間，給出多元近似連續(xù)函數(shù)的概念，得到可測函數(shù)與近似連續(xù)函數(shù)之間的關(guān)系，更進一步刻畫了Lebesgue可測函數(shù)。

1 密度

定義設(shè)E?Rn為可測集，x0∈E，稱為E在x0的上密度和下密度，分別記為d+(E,x0)和d+(E,x0)，其中U是x0鄰域U(x0,δ)，m為勒貝格測度。當d+(E,x0)=d+(E,x0)時，稱之為E在x0的密度，并記為d(E,x0)，當d(E,x0)=1時稱x0為E的全密點；當d(E,x0)=0時，稱x0為E的稀薄點。

文獻［6］中給出密度的各種形式和一系列結(jié)果，這里只舉出文中需要用到的一些結(jié)果并重新給出不同的證明。密度具有下列性質(zhì)：

定理1（Ⅰ）x0為E的全密點，當且僅當x0為Ec的稀薄點；

（Ⅱ）若x0為E和F的全密點（稀薄點），則x0也是E?F和E?F的全密點（稀薄點）。

定理A［1］（Lebesgue）若E為可測集，則E中點幾乎處處是E的全密點。

一般在可測集中也存在密度嚴格介于0和1之間的點［7-8］，稱之為例外點。

2 近似連續(xù)函數(shù)

（References）

［1］楊嵐.Lebesgue密度定理［D］.武漢：華中科技大學，2012.

［2］PETRUSKA G，LACZKOVICH M.A theorem on approximately continuous functions［J］.Acta Mathematica Hungarica，1973，24（3/4）：383-387.

［3］戚民駒.魯金定理與可測函數(shù)的本性定理［J］.上海電機學院學報，2009，12（3）：240-242.

［4］戚民駒.n-維可測函數(shù)的本性定理［J］.安徽大學學報：自然科學版，2009，33（3）：13-15.

［5］張永鋒.連續(xù)可微變換與可測集及可測函數(shù)［J］.咸陽師范學院學報，2012，27（6）：1-3.

［6］MACHERAS N D，STRAUSS W.Various products for Lebesgue densities［J］.Positivity，2010，14（4）：815-829.

［7］KVRKA O.Optimal quality of exceptional points for the Lebesque density theorem［J］.Acta Mathematica Hungarica，2012，134（3）：209-268.

［8］SZENES A.Exceptional points for Lebesgue′s density theorem on the real line［J］.Advances in Mathematics，2011，226（1）：764-778.

［9］嚴加安.測度論講義［M］.北京：科學出版社，2004.

（責任編輯：胡燕梅）

Density of Points of Multi-Dimensional Space and Approximate Continuous Function

HE Zhiming，YAO Chunlin，LIU Jun
（Schoole of Mathematics and Computer Science，Jianghan University，Wuhan 430056，Hubei，China）

The simple properties of the density of the points in measurable sets are given.The author gen?eralizes one element approximately continuous function to multivariate case，and the relations between the measurable functions and the approximate continuous functions are obtained.

measurable set；density；measurable function；approximate continuous function；ndimen?sional space

O174.12

：A

：1673-0143（2015）06-0501-04

10.16389/j.cnki.cn42-1737/n.2015.06.004

2015-10-25

賀志明（1963—），男，副教授，研究方向：應(yīng)用數(shù)學。