一種水下高速小目標(biāo)的多普勒頻率估計(jì)方法*

孫常存 邢國強(qiáng) 曲兆宇

(91439部隊(duì) 旅順 116041)

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一種水下高速小目標(biāo)的多普勒頻率估計(jì)方法*

孫常存 邢國強(qiáng) 曲兆宇

(91439部隊(duì) 旅順 116041)

針對(duì)近程主動(dòng)聲探測(cè)水下高速小目標(biāo)的回波多普勒頻率估計(jì)問題,根據(jù)ESPRIT算法原理,提出了一種改進(jìn)的ESPRIT頻率估計(jì)算法。該算法利用目標(biāo)回波信號(hào)的時(shí)延數(shù)據(jù),構(gòu)造兩組完全相同的子陣列,通過對(duì)兩組子陣列的互協(xié)方差矩陣構(gòu)造的矩陣束進(jìn)行廣義特征分解,實(shí)現(xiàn)了對(duì)水下高速小目標(biāo)回波信號(hào)的多普勒頻率估計(jì)。與標(biāo)準(zhǔn)ESPRIT算法相比,改進(jìn)的ESPRIT算法不需要進(jìn)行自協(xié)方差矩陣的特征分解,因而具有較低的計(jì)算復(fù)雜度。計(jì)算機(jī)仿真表明,該方法對(duì)水下高速小目標(biāo)的回波多普勒頻率估計(jì)是有效的。

高速小目標(biāo); 主動(dòng)探測(cè); ESPRIT; 特征分解; 多普勒頻率; 估計(jì)算法

Class Number TN911.7

1 引言

水下高速小目標(biāo)近程主動(dòng)聲探測(cè)技術(shù)是水聲技術(shù)的一個(gè)重要研究領(lǐng)域,文獻(xiàn)[1～3]圍繞該問題進(jìn)行了相關(guān)的研究,其中,目標(biāo)回波的多普勒頻率估計(jì)是實(shí)現(xiàn)目標(biāo)有效探測(cè)的前提條件。由于目標(biāo)速度高,近程探測(cè)的工作時(shí)間短,且頻率估計(jì)精度直接影響到目標(biāo)速度、距離等相關(guān)參數(shù)的估計(jì)精度,因此分辨力和實(shí)時(shí)性是水下高速小目標(biāo)多普勒頻率估計(jì)應(yīng)用中的兩項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)。因此,必須針對(duì)高速小目標(biāo)近程探測(cè)的特點(diǎn),研究目標(biāo)回波的多普勒頻率估計(jì)問題,實(shí)現(xiàn)對(duì)高速小目標(biāo)回波多普勒頻率的快速精確估計(jì)。

頻率估計(jì)的方法主要有經(jīng)典法和現(xiàn)代法兩大類[4],經(jīng)典法由于快速傅立葉變換(FFT)的提出而極大地減小了運(yùn)算量[5],但由于其分辨力低而在應(yīng)用中受到了限制;現(xiàn)代法中具有代表性的是基于特征分解的MUSIC法[6],理論上具有無限的分辨力,但該法需要進(jìn)行參數(shù)空間搜索,運(yùn)算量較大,實(shí)時(shí)性差制約了其在工程中的應(yīng)用。子空間旋轉(zhuǎn)不變法即ESPRIT法是80年代末Roy R提出的一種新方法[7],由于其不需作掃描處理,因而在保證精度的基礎(chǔ)上極大地減少了運(yùn)算量,增加了工程適用性。本文根據(jù)ESPRIT原理[8],提出一種改進(jìn)的ESPRIT算法,并通過仿真實(shí)驗(yàn)證明該方法應(yīng)用于水下高速小目標(biāo)回波多普勒頻率估計(jì)的有效性。

2 目標(biāo)回波數(shù)據(jù)模型

假定目標(biāo)回波信號(hào)與噪聲都是零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程,信號(hào)包含K個(gè)頻率分量,且信號(hào)之間互不相關(guān),加性噪聲是互不相關(guān)且獨(dú)立于源信號(hào)的高斯白噪聲,則接收傳感器輸出數(shù)據(jù)的離散形式為

(1)

式中,sk、fk分別為第k(k=1,2,…,K)個(gè)諧波信號(hào)的幅值和頻率;w(n)表示輸出的加性高斯白噪聲。構(gòu)造如下N維數(shù)據(jù)向量:

(2)

可表示為矩陣形式:

X(n)=BS(n)+W(n)

(3)

式中

B=[b(f1),b(f2),…,b(fK)]N×K

b(fi)=[1,ej2πfi,…,ej2πfi(N-1)]T,i=1,2,…,K

S(n)=[s1ej2πnf1,s2ej2πnf2,…,sKej2πnfK]T

3 改進(jìn)的ESPRIT算法

ESPRIT算法原理可參閱文獻(xiàn)[9],由于要利用兩個(gè)對(duì)稱子陣的自協(xié)方差矩陣和互協(xié)方差矩陣的廣義特征分解來實(shí)現(xiàn)頻率估計(jì),因此標(biāo)準(zhǔn)ESPRIT算法的運(yùn)算復(fù)雜度較高,且其主要運(yùn)算量在于自協(xié)方差矩陣的特征分解,約占算法總運(yùn)算量的96%(階數(shù)為6,數(shù)據(jù)長度100)。為了進(jìn)一步降低標(biāo)準(zhǔn)ESPRIT算法的運(yùn)算復(fù)雜度,提出一種改進(jìn)的ESPRIT頻率估計(jì)算法,算法的基本原理是,利用目標(biāo)回波信號(hào)的時(shí)延數(shù)據(jù),構(gòu)造兩組完全相同的子陣列,通過對(duì)兩組子陣列的互協(xié)方差矩陣構(gòu)造的矩陣束進(jìn)行廣義特征分解直接估計(jì)出諧波頻率分量,具體算法如下:

1) 對(duì)信號(hào)進(jìn)行M=2N點(diǎn)采樣,由采樣數(shù)據(jù)x(n)構(gòu)造兩個(gè)N維對(duì)稱子陣X(n)和Y(n):

X(n)=[x(n),x(n+1),…,x(n+N-1)]T

(4)

為了獲得兩個(gè)相同的子陣,將X(n)延時(shí)NTs(Ts為抽樣間隔),得到Y(jié)(n):

Y(n)=[x(n+N),x(n+N+1),…,x(n+2N-1)]T

(5)

同樣可表示為矩陣形式:

X(n)=BS(n)+W(n)

(6)

Y(n)=X(n+N)=BΦS(n)+W(n+N)

(7)

式中,Φ=diag(ej2πf1N,ej2πf2N,…,ej2πfKN),即為旋轉(zhuǎn)不變對(duì)角陣,其每一個(gè)對(duì)角元素都與頻率有關(guān),稱為頻率因子。由于Φ為酉矩陣,所以X(n)和Y(n)具有相同的觀測(cè)空間(信號(hào)子空間和噪聲子空間)。

2) 計(jì)算p維的互協(xié)方差矩陣RXY和RYX

由式(6)和式(7)可得出X(n)和Y(n)的空間互協(xié)方差矩陣為RXY=E[X(n)Y(n)H]

=BSΦHBH+E[BS(n)W(n+N)H]

+E[W(n)S(n)HΦHBH]+E[W(n)W(n+N)H]

(8)

RXY=BSΦHBH

(9)

同理可得:

RYX=E[Y(n)X(n)H]=BΦSBH=RXYH

(10)

3) 構(gòu)造矩陣束(RYX,RXY),通過求其廣義特征值,估計(jì)出所有諧波頻率分量

由式(9)和式(10)構(gòu)造矩陣束(RYX,RXY)為

RYX-λRXY=BS(Φ-λΦH)BH

(11)

由于B列滿秩,對(duì)角陣S非奇異,當(dāng)λ≠ej4πfiN(i=1,2,…,K)時(shí),由矩陣的性質(zhì)知:

rank(RYX-λRXY)=rank(Φ-λΦH)=K

(12)

當(dāng)λ=ej4πfiN(i=1,2,…,K)時(shí),對(duì)角陣Φ-λΦH的第i行元素全部為零,同時(shí)矩陣RYX-λRXY的秩降為K-1,所以λ=ej4πfiN(i=1,2,…,K)是矩陣束(RYX,RXY)的廣義特征值?？梢?通過對(duì)矩陣束(RYX,RXY)進(jìn)行廣義特征分解,得到其廣義特征值ej4πfiN(i=1,2,…,K),即可估計(jì)出所有諧波頻率分量fi(i=1,2,…,K)。由于該方法避免了標(biāo)準(zhǔn)ESPRIT算法中自協(xié)方差矩陣的特征分解,因而運(yùn)算量大為減小。

4 計(jì)算機(jī)仿真

考慮式(1)的離散數(shù)據(jù)模型,仿真中,回波信號(hào)采用以下數(shù)學(xué)模型:

x(t)=Acos(2πfdt)+e(t)

(13)

式中,fd為多普勒頻率,根據(jù)近程主動(dòng)探測(cè)高速小目標(biāo)的實(shí)際情況,取為10kHz;e(t)為均值為0、方差σ2=1的高斯白噪聲,信噪比定義為SNR=10lg(A2/2σ2)。根據(jù)奈奎斯特采樣定理,取采樣頻率fs=200kHz,發(fā)射脈沖信號(hào)寬度T=1ms,則每個(gè)回波采樣點(diǎn)數(shù)M=2N=200。

仿真1:為了驗(yàn)證協(xié)方差矩陣維數(shù)p對(duì)頻率估計(jì)精度的影響,選取SNR=10dB,M=200,對(duì)回波信號(hào)進(jìn)行300次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn),頻率估計(jì)結(jié)果見表1。仿真結(jié)果表明,協(xié)方差矩陣維數(shù)p對(duì)頻率估計(jì)精度影響不大。隨著維數(shù)的增加,估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差略有減少,對(duì)于單頻信號(hào),p值可減至4。

表1 不同協(xié)方差矩陣維數(shù)時(shí)頻率估計(jì)結(jié)果(SNR=10dB,M=200)

仿真2:為了說明改進(jìn)的ESPRIT算法在不同數(shù)據(jù)長度下的頻率估計(jì)性能,選取SNR=10dB,p=4,對(duì)不同數(shù)據(jù)長度下的回波信號(hào)進(jìn)行300次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn),頻率估計(jì)結(jié)果見表2。由文獻(xiàn)[10]知,實(shí)正弦信號(hào)無偏頻率估計(jì)的Cramer-Rao下界可表示為

(14)

即:

(15)

圖1給出了表2情況下,頻率估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation,SD)隨數(shù)據(jù)長度變化的曲線及其Cramer-Rao界。仿真結(jié)果表明,數(shù)據(jù)長度M對(duì)頻率估計(jì)精度及估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差均有影響,隨著M取值的增大,其標(biāo)準(zhǔn)差將逐漸接近CRB,當(dāng)M取200時(shí),頻率估計(jì)結(jié)果可以滿足要求。

表2 不同數(shù)據(jù)長度時(shí)頻率估計(jì)結(jié)果(SNR=10dB,p=4)

仿真3:為了說明本文方法在不同信噪比條件下的頻率估計(jì)性能,選取M=200,p=4,對(duì)不同信噪比條件下的回波信號(hào)進(jìn)行300次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn),頻率估計(jì)結(jié)果見表3。同樣給出頻率估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差隨信噪比的變化曲線及其Cramer-Rao界,如圖2所示。仿真結(jié)果表明,隨著信噪比的增加,頻率估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差逐漸接近CRB,表明算法對(duì)回波信號(hào)多普勒頻率估計(jì)是適用和有效的。特別是SNR>10dB時(shí),頻率估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差非常接近CRB。

圖1 頻率估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差隨數(shù)據(jù)長度變化曲線

SNR(dB)均值(kHz)標(biāo)準(zhǔn)差(kHz)09．960．668259．970．34191010．010．07111510．010．02522010．000．00952510．000．00223010．000．00153510．000．0009

由以上仿真結(jié)果得出:改進(jìn)的ESPRIT算法的頻率估計(jì)具有較好的無偏性,其頻率估計(jì)精度主要取決于信號(hào)的信噪比。通常情況下,高分辨率方法要求輸入信號(hào)信噪比較高,約為10dB～15dB。對(duì)于單頻信號(hào),由于不存在相鄰頻率分辨的問題,對(duì)其信噪比的要求有所降低。對(duì)于水下高速小目標(biāo)的主動(dòng)聲探測(cè),接收回波的信噪比SNR≈0dB。若聲探測(cè)系統(tǒng)為全向接收,其空間處理增益為零,系統(tǒng)檢測(cè)過程中的窄帶濾波濾除了噪聲從而增加了信噪比,加上系統(tǒng)的時(shí)間處理增益,接收系統(tǒng)輸出信號(hào)信噪比可達(dá)到10dB以上。因此,改進(jìn)的ESPRIT算法頻率估計(jì)具有較高的精度。

5 結(jié)語

本文針對(duì)近程主動(dòng)聲探測(cè)水下高速小目標(biāo)的回波多普勒頻率估計(jì)問題,提出了一種改進(jìn)的ESPRIT頻率估計(jì)算法。該方法與標(biāo)準(zhǔn)ESPRIT算法頻率估計(jì)的不同之處在于不需要對(duì)自協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解,因而在保證精度的基礎(chǔ)上運(yùn)算量大為減小,可以滿足實(shí)時(shí)性的要求。計(jì)算機(jī)仿真表明,改進(jìn)的ESPRIT算法的頻率估計(jì)具有較好的無偏性,其頻率估計(jì)精度主要取決于信號(hào)的信噪比。該算法對(duì)水下高速小目標(biāo)的回波多普勒頻率估計(jì)是有效的。

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Doppler Frequency Estimation Method of Underwater High-Speed Small Target

SUN Changcun XING Guoqiang QU Zhaoyu

(No. 91439 Troops of PLA, Lvshun 116041)

Aiming at the problem of estimating doppler frequency of underwater high-speed small target, based on the principle of ESPRIT algorithm, an improved ESPRIT algorithm is put forward. By the time delay data of target echo signal, two sub-arrays with the same array shape are constructed. A matrix pencil is constructed by the cross covariance matrix of the two sub-arrays. By means of generalized eigen-decomposition of the matrix pencil, the doppler frequency of underwater high-speed small target can be obtained. Compared with standard ESPRIT algorithm, the improved ESPRIT algorithm does not need to do eigen-decomposition of auto-covariance matrix, thus has lower computational complexity. The simulation results show that the proposed method is effective for estimating doppler frequency of underwater high-speed small target.

high-speed small target, active detection, ESPRIT, eigen-decomposition, doppler frequency, estimation algorithm

2015年4月20日,

2015年5月31日

孫常存,男,博士,工程師,研究方向:魚雷自導(dǎo)與引信技術(shù)。

TN911.7

10.3969/j.issn.1672-9730.2015.10.041