體面積分方程(VSIE)分析任意復(fù)雜頻率選擇結(jié)構(gòu)

蘇建勛，李增瑞

(中國傳媒大學(xué)信息工程學(xué)院，北京 100024)

1 引言

自從20世紀(jì)60年代頻率選擇表面(FSS)出現(xiàn)后，很多學(xué)者都致力研究FSS在電磁系統(tǒng)中的性能。近年來，超材料(Metamaterial)這類特殊的FSS也引起了人們的關(guān)注并得到了較深入的研究［1，2］。FSS在微波系統(tǒng)里有廣泛的用途，如反射器、天線罩和極化器。隨著超材料概念的出現(xiàn)與發(fā)展，頻率選擇表面作為一種平面的超材料，因具有一些神奇的特性，已被應(yīng)用到一些新的方面，如平面吸收器［4，5］和人造磁導(dǎo)體［6］。

頻率選擇結(jié)構(gòu)是一種平面周期結(jié)構(gòu)，對電磁能量起濾波的作用。頻率選擇表面、電子帶隙(EBG)/光子帶隙(PBG)結(jié)構(gòu)，超材料等，都可統(tǒng)稱為頻率選擇結(jié)構(gòu)。由于其越來越受到廣泛的應(yīng)用，故而對它的仿真技術(shù)也提出了更高的要求。有限元法(FEM)和時域有限差分法(FDTD)［7］能對周期結(jié)構(gòu)進(jìn)行三維(3D)建模，并且可以處理非均勻介質(zhì)的情形。但計算散射場時［8］需要利用吸收邊界(ABC)或完全匹配層(PML)等特殊的手段來截斷無限大求解區(qū)域。

一般地，頻率選擇結(jié)構(gòu)電磁特性滿足工程指標(biāo)，一是要進(jìn)行貼片形狀的設(shè)計，二是利用介質(zhì)層復(fù)合。以往，設(shè)計工作主要集中在第一點(diǎn)上，而近些年來，大力開拓了介質(zhì)層的復(fù)合設(shè)計。在FSS里引入周期性的非均勻介質(zhì)材料，可以研究介質(zhì)層復(fù)合特性的設(shè)計。例如，在介質(zhì)板上鉆孔［9］或者填充其他材料，改變介質(zhì)基板的有效介常數(shù)或磁導(dǎo)率［10］。但是對于非均勻的介質(zhì)層設(shè)計，無法提取分層媒質(zhì)格林函數(shù)，從而很難單純利用表面積分方程(SIE)進(jìn)行建模分析。基于此，采用體面積分方程(VSIE)可以克服這些困難［11］。

本文提出了一種空域體面積分方程法用于分析頻率選擇結(jié)構(gòu)(FSS)。其中利用Ewald變換加速周期格林函數(shù)的收斂［12，13］，利用體面積分方程分析任意復(fù)雜頻率選擇結(jié)構(gòu)，包括非均勻的介質(zhì)結(jié)構(gòu)或金屬介質(zhì)復(fù)合結(jié)構(gòu)。另外，設(shè)計了一種簡單有效的插值方法，能快速準(zhǔn)確地對周期格林函數(shù)插值。

2 積分方程

2.1 體面積分方程

在所有的金屬面S(S是閉合體或開放體)，邊界條件要求總電場的切向分量為零，即:

上述為電場積分方程(EFIE)。在介質(zhì)區(qū)域，總電場是入射場和散射場之和。因此，體積分方程如下:

方程(6a)和(6b)結(jié)合(1)—(5)，便可構(gòu)建體面積分方程，其中金屬面的電流為，介質(zhì)區(qū)域的電通量為?；旌戏e分方程(6)可以用伽略金矩量法精確地求解。

2.2 PGF的線性插值技術(shù)

本文的插值問題由2D變?yōu)?D，增加了一個維度，二次插值法計算效率下降。由于自由空間周期格林函數(shù)比較平滑，故而易于精確插值，因此設(shè)計了一種針對自由空間周期格林函數(shù)的精確快速插值方法。

將矩形3D框格等分為很多子格。圖1是一個邊長為的子格(方塊)。黃點(diǎn)是子格頂點(diǎn)處預(yù)先計算后存儲的PGF數(shù)值。周期格林函數(shù)可通過如下的線性插值法獲得

圖1 子格

其中 αx=dx/L，αy=dy/L，αz=dz/L。子框格的邊長范圍一般為0.015－0.03λ，插值可以獲得高的精度(ε ＞10－3)。

3 數(shù)值實(shí)例

3.1 耶路撒冷十字架

首先分析一個典型的耶路撒冷十字狀的頻率選擇結(jié)構(gòu)。像素化的單元結(jié)構(gòu)如圖2所示。介質(zhì)板的厚度為0.02cm，相對介電常數(shù)2－j0.1。FSS的周期為a=b=2.5cm。平面波垂直入射，電場沿X方向。圖3是Floquet TEM模的傳輸和反射系數(shù)。雙Ewald序列的求和項設(shè)為9。紅實(shí)線是本文方法的計算結(jié)果，黑實(shí)線是文獻(xiàn)［15］譜域法的計算結(jié)果。由圖可見，兩種方法的傳輸和反射系數(shù)計算結(jié)果吻合良好。

圖2 耶路撒冷十字FSS的單元結(jié)構(gòu)圖(單元尺寸是2.5cm ×2.5cm)

圖3 耶路撒冷十字FSS的反射和傳輸系數(shù)

3.2 光子帶隙結(jié)構(gòu)

現(xiàn)在考慮一個介質(zhì)材料頻率選擇結(jié)構(gòu)，介質(zhì)為非均勻的［10］。介質(zhì)板嵌入周期性的介質(zhì)塊，如圖4所示。這些柵格通常被稱為光子帶隙結(jié)構(gòu)。圖5為平面波垂直照射介質(zhì)板時的反射系數(shù)。反射系數(shù)曲線展示了光子帶隙材料的典型諧振特性。跟文獻(xiàn)［13］的有限元－邊界元法(FE－BI)和體積分法(VIE)的計算結(jié)果比較，本文方法計算結(jié)果的兩個諧振與FE－BI吻合的良好，而VIE計算結(jié)果的兩個諧振頻率偏高，尤其第二個諧振頻率。

3.3 基于超材料的雙帶通FSS

最后考慮一個基于超材料的小型化雙帶通FSS［16］。其中FSS為介質(zhì)板兩面印刷金屬層的結(jié)構(gòu)，介質(zhì)材料為 Arlon Di－ Clad 880(εr=2.2，tanδ=9E－4)。圖6為該FSS的兩個單元結(jié)構(gòu)圖。由圖看出，反面金屬層相對于正面金屬層平移了半個周期。圖7為平面波垂直入射時的仿真結(jié)果。由圖7可見，本文計算結(jié)果與文獻(xiàn)［16］中HFSS和ADS的仿真結(jié)果吻合良好。

圖4 電子帶隙結(jié)構(gòu)

圖5 TEMx模的反射系數(shù)幅度

圖6 基于超材料的雙帶通FSS的兩個周期單元

圖7 雙帶通FSS的反射系數(shù)

4 結(jié)語

本文提出了一種空域體面積分方程(VSIE)分析具有均勻或非均勻介質(zhì)層的頻率選擇結(jié)構(gòu)。其中利用Ewald變換和插值技術(shù)快速計算空域周期格林函數(shù)。仿真結(jié)果表明，在大多數(shù)情況下，兩重Ewald求和序列9項就能收斂。另外，設(shè)計了一種線性插值算法，能夠快速精確地對周期格林函數(shù)進(jìn)行插值，從而大大減少矩陣填充時間。數(shù)值實(shí)例結(jié)果證明了本方法的正確性和有效性。本文方法經(jīng)進(jìn)一步擴(kuò)展，如利用體面積分方程結(jié)合自適應(yīng)交叉逼近法(ACA)［17］，可更加快速和精確地分析任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)的頻率選擇結(jié)構(gòu)。

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