星載微波輻射計的線性與非線性反演算法比較

王兆徽 劉宇昕，2 宋清濤,2 吳彬鋒

(1 國家衛(wèi)星海洋應(yīng)用中心, 北京 100081) (2 國家海洋局空間海洋遙感與應(yīng)用研究重點實驗室, 北京 100081)

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星載微波輻射計的線性與非線性反演算法比較

王兆徽1劉宇昕1，2宋清濤1,2吳彬鋒1

(1 國家衛(wèi)星海洋應(yīng)用中心, 北京 100081) (2 國家海洋局空間海洋遙感與應(yīng)用研究重點實驗室, 北京 100081)

針對星載微波輻射計反演海洋大氣參數(shù)的過程，分析了反演通道的選擇，比較了線性與非線性反演算法的區(qū)別。非線性反演算法逐步舍去低分辨率的低頻通道，能夠直接有效地提高反演產(chǎn)品的空間分辨率。對幾種反演算法的分析和實驗表明，非線性反演算法中的基于Nelder-Mead的最優(yōu)化反演算法相對于線性反演算法，其精度較高，具有一定的開發(fā)價值和應(yīng)用潛力。

星載微波輻射計； 反演算法； Nelder-Mead算法

1 引言

星載微波輻射計是測量地表或大氣通過熱輻射輻射出的電磁波的儀器，其應(yīng)用始于1962年美國發(fā)射的水手2號(Mariner-2)衛(wèi)星進(jìn)行金星飛行探測。從1972年開始，微波輻射計應(yīng)用于海洋方面的研究。美國1972年發(fā)射的雨云5號(Nimbus-5)衛(wèi)星和1975年發(fā)射的雨云6號(Nimbus-6)衛(wèi)星搭載了單通道電磁掃描微波輻射計(Electrically Scanning Microwave Radiometer，ESMR)，驗證了被動微波遙感反演海洋大氣參數(shù)的潛力。1978年發(fā)射的雨云7號(Nimbus-7)衛(wèi)星搭載了采用扇形機(jī)械掃描方式的掃描多通道微波輻射計(Scanning Multichannel Microwave Radiometer，SMMR)。1987年之后國防氣象衛(wèi)星計劃(Defense Meteorological Satellite Program，DMSP)搭載了專用遙感器微波成像儀(Special Sensor Microwave/Image，SSM/I)。SSM/I改進(jìn)了SMMR的許多儀器硬件問題，并為后續(xù)的“熱帶降雨測量任務(wù)”(Tropical Rainfall Measuring Mission，TRMM)衛(wèi)星搭載的熱帶微波成像儀(Tropical Microwave Imager,TMI)和先進(jìn)微波掃描輻射計(Advanced Microwave Scanning Radiometer,AMSR)的設(shè)計提供了基礎(chǔ)。AMSR[1]是日本宇宙航空研究開發(fā)機(jī)構(gòu)(JAXA)和美國航空航天局(NASA)聯(lián)合設(shè)計發(fā)射的星載微波掃描輻射計。包括搭載于地球觀測-水(EOS-Aqua)衛(wèi)星的AMSR-E，搭載于日本先進(jìn)地球觀測衛(wèi)星-2(ADEOS-II)的AMSR，以及搭載于全球環(huán)境變化觀測-W1(GCOM-W1)衛(wèi)星的AMSR-2。

中國的“風(fēng)云”系列衛(wèi)星和“海洋”系列衛(wèi)星均搭載了微波輻射計。2000年6月25日發(fā)射的風(fēng)云二號(FY-2B)是靜止軌道氣象衛(wèi)星，搭載了3通道的微波輻射計。風(fēng)云二號的后續(xù)衛(wèi)星和風(fēng)云三號都[2]增設(shè)了微波輻射計的通道數(shù)目。中國于2011年8月發(fā)射了首顆海洋動力環(huán)境衛(wèi)星——海洋二號(HY-2A)衛(wèi)星，首次實現(xiàn)集主被動傳感器于一身，其中掃描微波輻射計是該星的4個微波載荷之一，采用圓錐掃描方式[3]，主要用于測量全球海洋表面溫度、海面風(fēng)速、海洋上空水汽和降雨等參數(shù)。

微波輻射計反演算法的研究為微波輻射計的應(yīng)用提供了技術(shù)支持。使用微波輻射計的觀測數(shù)據(jù)和可靠的反演算法能夠獲得海面溫度、海面風(fēng)速、大氣中的水汽含量，云液態(tài)水含量等特定信息，這些信息對全球水循環(huán)以及氣候變化等問題的研究提供了幫助。除此之外，對反演算法的深入研究還能夠為儀器的設(shè)計(例如觀測頻率、觀測天線位置等)提供合理的需求分析。在軌運(yùn)行的微波輻射計系統(tǒng)中，AMSR系列由于其連續(xù)穩(wěn)定的工作狀態(tài)和相對廣泛的應(yīng)用基礎(chǔ)，是目前研究最深入的星載微波輻射計。因此，基于AMSR-E開展的反演算法研究對于我國海洋動力環(huán)境衛(wèi)星的發(fā)展具有一定的參考價值。

本文參考AMSR-E的儀器參數(shù)和說明文件(Algorithm Theoretical Basis Document，ATBD)，對比了幾種線性反演算法和非線性反演算法。實驗結(jié)果表明，星載微波輻射計的非線性反演算法雖然計算效率低于線性反演算法，但其物理意義明確且準(zhǔn)確度更高，具有應(yīng)用的價值。

2 反演算法概述

目前國際最常用的星載微波輻射計反演算法由“遙感系統(tǒng)”(Remote Sensing System，RSS)開發(fā)完成，Wentz參考Goodberlet，Swift和Wilkerson等人為SSM/I開發(fā)的GSW算法[4]，為AMSR開發(fā)了多元線性回歸[5](Multiple Linear Regression，MLR)算法(該算法結(jié)構(gòu)簡單、計算快速)。RSS在2007年公布了與之類似的新的回歸模型[6]，并增加了插值技術(shù)的使用，由于新模型中的二次項可以視為單獨的一次項進(jìn)行回歸分析，因此這種新模型可以視為升級版多元線性回歸模型。除了線性模型的反演方法，國內(nèi)外的學(xué)者還研究了星載微波輻射計的非線性反演算法[7-8]。中國國家衛(wèi)星海洋應(yīng)用中心(National Satellite Ocean Application Services，NSOAS)的空間海洋遙感與應(yīng)用研究重點實驗室(Key Laboratory of Space Ocean Remote Sensing and Application，LORA)開發(fā)了基于Nelder-Mead的最優(yōu)化反演算法[9]。

反演算法的理論基礎(chǔ)是輻射傳輸模型(Radiative Transfer Model，RTM)。輻射傳輸模型建立了海面溫度(Ts，單位K)，海面風(fēng)速(W，單位m/s)，大氣垂直積分水汽含量(V，單位mm，以下簡稱水汽含量)，大氣垂直積分液水含量(L，單位mm，以下簡稱液水含量)等海洋大氣參數(shù)與遙感衛(wèi)星接收到的輻射亮溫之間的關(guān)系，是反演計算的理論依據(jù)。基本關(guān)系可以表達(dá)為

TB=TBU+τ[ETs+TBΩ]

(1)

式中：TB為星載傳感器接收到的總的輻射亮溫，TBU為上行有效溫度，τ為大氣透過率，E為海面發(fā)射率，TBΩ為大氣輻射的海面散射。此外，RTM還包括了觀測頻率、入射角等可以作為常數(shù)計算的儀器參數(shù)。輻射傳輸模型應(yīng)用于不同微波輻射計的反演工作還需要考慮儀器參數(shù)的差別。兩種典型的星載微波輻射計的主要參數(shù)如表1所示。

表1 在軌運(yùn)行的微波輻射計相關(guān)參數(shù)的比較

3 線性模型反演海洋大氣參數(shù)

3.1 多元線性回歸反演海洋大氣參數(shù)

多元線性回歸算法可以表述為如下形式：

(2)

式中:Pj為反演所求的不同的海洋大氣參數(shù)，R、I為線性方程。下標(biāo)i為輻射計的通道(1=6.9V，2=6.9H，…)，下標(biāo)j為反演的海洋大氣參數(shù)(1=TS，2=W，3=V，4=L)，c為反演系數(shù)。反演系數(shù)可以采用模擬計算獲得，也可以采用實際觀測的微波輻射計亮溫和現(xiàn)場觀測的海洋大氣參數(shù)配對所得的數(shù)據(jù)獲得。

由于兩個低頻波段(6.9 GHz，10.7 GHz)與三個高頻波段(18.7 GHz,23.8 GHz，36.5 GHz)對空氣的吸收不同，因此回歸方程采用如下形式：

I(TB)=TB,v=6.9,10.7 GHz

I(TB)=-ln(290-TB),

v=18.7,23.8,36.5 GHz

(3)

R(X)=X

(4)

在反演計算之前，需要對觀測的輻射亮溫進(jìn)行關(guān)于入射角、海面風(fēng)方向和海面鹽度的修正。入射角和海面鹽度可以簡單地使用線性模型進(jìn)行修正，而海面風(fēng)方向在多元線性回歸模型中只能采用180°的模糊修正。

3.2 升級版多元線性回歸反演海洋大氣參數(shù)

升級版多元線性回歸算法的第一步是獲得反演初步結(jié)果。反演系數(shù)的獲取與多元線性回歸算法類似：

(5)

ti=TBi-150,v=6.9,10.7,18.7,36.5 GHz

ti=-ln(290-TBi),v=23.8 GHz

(6)

第二步，RSS以海面溫度和海面風(fēng)速為例進(jìn)行雙線性插值：

(7)

理論上對于4個待求的反演結(jié)果，可以推廣為希爾伯特空間的“四線性插值”，但這樣的方法具有極大的計算規(guī)模，并不一定具有實際應(yīng)用價值。式(7)的下標(biāo)k表示3～34℃，下標(biāo)l表示0～37m/s，以上插值范圍按照實際需求做等分處理，一個方便的方法是將插值節(jié)點間隔取為1。據(jù)此，式(5)反演的初步結(jié)果將位于由等分間隔的海面溫度和海面風(fēng)速構(gòu)造的插值格網(wǎng)。最終的反演結(jié)果可以寫為這樣的插值形式：

(8)

式中：權(quán)重系數(shù)w的計算與式(5)反演的初步結(jié)果距插值節(jié)點的距離相關(guān)。

考慮到海面鹽度、入射角和海面風(fēng)向的影響，最終反演的回歸系數(shù)需要進(jìn)行修正。鹽度校正可以簡單地使用線性模型進(jìn)行修正，與多元線性回歸模型相同。入射角和海面風(fēng)向的校正采用雙線性插值方法直接修正反演系數(shù)。入射角插值節(jié)點選為55°±1°，間隔0.5°；海面風(fēng)向插值節(jié)點選為0°～180°，間隔20°。這種方法需要逐一計算每個反演時的溫度和風(fēng)速的插值節(jié)點處(38×38=1444個節(jié)點)的不同入射角和海面風(fēng)向構(gòu)成的另外一個維度上的插值節(jié)點(5×10=50個節(jié)點)，共需要計算72 200(1444×50)組反演系數(shù)。

這種升級的反演算法，其實質(zhì)是使用局部的線性關(guān)系描述整體空間內(nèi)的函數(shù)關(guān)系。式(7)和式(8)聯(lián)立，可以看出對局部反演結(jié)果的插值同樣等同于對反演系數(shù)進(jìn)行插值。這與反演系數(shù)關(guān)于入射角和海面風(fēng)向的校正的本質(zhì)是一致的。值得一提的是，當(dāng)這種方法在插值間隔上趨于無窮小(格網(wǎng)無窮密)，維度拓展到包含所有RTM的參量(一般情況，包括海面溫度、海面風(fēng)速、水汽含量、液水含量、海面鹽度、入射角、海面風(fēng)向等)的希爾伯特空間時，就與LORA開發(fā)的最優(yōu)化方法反演海洋大氣參數(shù)的算法核心相一致了。

4 非線性方法反演海洋大氣參數(shù)

輻射計觀測的輻射亮溫可以表達(dá)為海面溫度(Ts)、海面風(fēng)速(W)、水汽含量(V)和液水含量(L)的函數(shù)：

TBi=fi(Ts,W,V,L)+ei

(9)

ei=eobsi+emi

(10)

式中：ei為觀測亮溫和RTM模擬亮溫之間的誤差，該誤差的來源包括儀器產(chǎn)生的觀測誤差eobsi和模型誤差emi。模型誤差emi包括RTM與真實環(huán)境的誤差ertmi和反演模型與RTM之間的誤差erei。

4.1 牛頓法反演海洋大氣參數(shù)

牛頓法是最常用的求解方程及方程組的方法。

牛頓方法中，式(9)被寫為多元一階泰勒展開的形式：

(11)

在不考慮觀測亮溫和RTM模擬亮溫之間的誤差(AMSR-E的ATBD所述，按照最小二乘法，這一項忽略與否并不關(guān)鍵)以及忽略高階無窮小量時，式(11)可以寫成如下形式：

AΔP+ΔT=0

(12)

式中：A為雅克比矩陣，有

(13)

(14)

已知x*是Ax=b的最小二乘解的充要條件為[10]，x*是ATAx=ATb的解。因此式(12)的最小二乘解為

ΔP=-(ATA)-1ATΔT

(15)

即

Pj=Pj(0)-(A(0)TA(0))-1A(0)TΔT(0)

(16)

因此有

Pj(k+1)=Pj(k)-(A(k)TA(k))-1A(k)TΔT(k)

(17)

式(17)就是牛頓法反演的迭代公式。迭代計算中，計算量最大的步驟在于雅克比矩陣的計算。這主要是由于fi的偏導(dǎo)數(shù)不方便獲得解析式，只能使用數(shù)值微分來計算。這是十分不易進(jìn)行的，因為無法準(zhǔn)確地在一定的計算精度下找到合適的差商步長[11]：步長過大結(jié)果必然不準(zhǔn)確；步長過小會導(dǎo)致切線和割線無法分別，造成計算錯誤。一個有用的方法是變步長差商。但由于計算量的原因，這顯然不實用。除了這種情況，雅克比矩陣和(14)這兩者都導(dǎo)致需要大量的計算fi。

4.2 最優(yōu)化方法反演海洋大氣參數(shù)

已知在式(9)中，TBi表示輻射計的第i個通道觀測亮溫，fi表示第i個通道的RTM。n個通道的亮溫數(shù)據(jù)就可以構(gòu)建一個n元非線性超定方程組。于是，得到一個關(guān)于觀測亮溫和均方誤差(Mean Square Error，MSE)E的表達(dá)式：

TBi=fi(Ts,W,V,L)+ei

(18)

(19)

式中：ki是權(quán)重系數(shù)，表示各個觀測通道的貢獻(xiàn)程度。絕大多數(shù)情況，令ki為1或0是比較方便且合適的。

顯然，當(dāng)E取得最小值時，對應(yīng)的(Ts，W，V，L)為這個非線性超定方程組的最優(yōu)解。固定步長牛頓法是解決這類問題的一種常用的、基礎(chǔ)的方法：

對于最優(yōu)化問題minf(X)，k次迭代后得到Xk。將X=Xk在f(X)處二階泰勒展開，有

(20)

令

Q(X)=f(Xk)+2f(Xk)(X-Xk)=0

(21)

解(21)可得

Xk+1=Xk-[2f(Xk)]-1f(Xk)

(22)

然而，這種方法有顯而易見的缺陷。首先，由RTM和觀測亮溫構(gòu)成的方程組的黑塞矩陣的局部正定在數(shù)學(xué)上是不容易嚴(yán)格證明的，通常只能夠從物理意義上說明它的正定性。其次，與式(13)類似，式(19)的二階偏微分方便的計算方法仍然是使用數(shù)值微分技術(shù)，這種技術(shù)的缺點就是計算量大且依賴于差商計算中兩點距離趨于無窮小的程度。

需要提出的是：式(19)中ki的設(shè)置是十分必要的。最優(yōu)化方法與牛頓法，即傳統(tǒng)的最小二乘法，最大的區(qū)別，就是最優(yōu)化方法區(qū)分了觀測誤差的貢獻(xiàn)程度。顯然，最小二乘法可以認(rèn)為是ki=1的最優(yōu)化方法的解法。另一個實際的例子是，當(dāng)某一通道的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是錯誤時，式(13)的雅克比矩陣顯然會因此降低規(guī)模。與之對應(yīng)，最優(yōu)化方法中這一通道的k=0。因此，如果各個通道觀測數(shù)據(jù)的測量誤差分布不同以及對反演某一參數(shù)的貢獻(xiàn)不同時，采用合理的方法推算ki的值將會是一件很有意義的工作。

基于以上分析，LORA的研究團(tuán)隊提出了使用Nelder-Mead(NM)算法的最優(yōu)化方法反演大氣海洋參數(shù)的方法，力求解決上述各種方法在反演時的缺陷。NM算法的最優(yōu)化反演能夠方便地求得式(19)中的最小值。NM算法[12-13]是一種直接搜索方法，借用了幾何學(xué)中單純形的概念。單純形是一種N維空間中具有N+1個頂點的特殊多面體。常見的單純形有1維空間中的直線，2維空間中三角形，3維空間中的四面體等。NM算法通過使用反射(reflection)，擴(kuò)展(expansion)，收縮(contraction)和緊縮(shrink)四種運(yùn)算技巧，不斷調(diào)整N維空間的單純形頂點使之逼近最優(yōu)解。

5 仿真實驗

基于AMSR的ATBD提供的參數(shù)化的RTM，建立了仿真數(shù)據(jù)庫。通過這些仿真數(shù)據(jù)，使用參數(shù)化的RTM計算出模擬亮溫。仿真數(shù)據(jù)庫包含400 000組仿真數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)包含的物理量及分布范圍如下：海面風(fēng)向(0°～180°)，觀測角(54.7°～55.3°)，海面鹽度(32‰～37‰)，海面溫度(0～30 ℃)，海面風(fēng)速(0～20 m/s)，水汽含量(0～75 mm)，液水含量(0～0.3 mm)。數(shù)據(jù)分布采用平均分布的分布形式。

相對于多元線性回歸反演每個參數(shù)使用全部10個通道的數(shù)據(jù)，基于NM算法的最優(yōu)化方法反演不同的海洋大氣參數(shù)時使用了不同的通道組合[14-15]。這樣的處理方法在提高反演結(jié)果分辨率的同時，還能有效地減少計算量、提高計算效率。表2記錄了反演不同參數(shù)的反演通道組合。

表2 非線性反演的通道選擇

5.1 線性方法和非線性方法的反演結(jié)果比較

使用400 000組仿真數(shù)據(jù)、2000×243組真實數(shù)據(jù)和3種反演算法進(jìn)行了實驗，分析了多種反演算法的反演精確度及計算效率。表3是采用NM算法、多元線性回歸算法、升級版多元線性回歸算法分別對仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行反演實驗的結(jié)果?？梢?，升級版的多元線性回歸算法的反演精度優(yōu)于多元線性回歸算法，NM算法的反演精度優(yōu)于升級版的多元線性回歸算法。這幾種反演算法的反演結(jié)果與目標(biāo)數(shù)據(jù)之間的偏差(Bias)都很小，在1×10-4的數(shù)量級左右。NM方法反演的2010年5月1日升軌數(shù)據(jù)的海面溫度結(jié)果如圖1所示，反演結(jié)果的分布合理。和線性回歸模型相比，非線性反演沒有引入新的誤差，因此,這種高精度的反演方法除了能提高反演產(chǎn)品的質(zhì)量，還能夠為在軌儀器定標(biāo)提供準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。

表3 3種反演算法的反演結(jié)果與仿真數(shù)據(jù)的比較

圖1 NM算法反演AMSR-E升軌數(shù)據(jù)反演海面溫度Fig.1 AMSR-E ascending SST by Nelder-Mead algorithm

5.2 線性方法和非線性方法的計算效率比較

圖2 NM的最優(yōu)化算法反演的反演效率Fig.2 Retrieval time of the non-linear Nelder-Mead algorithm

多元線性回歸由于采用簡單的線性計算方式，在業(yè)務(wù)化應(yīng)用中具有計算效率高的優(yōu)點。與之相比，非線性迭代方法由于算法本身的復(fù)雜性，其計算效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于多元線性回歸。統(tǒng)計了使用基于NM算法的最優(yōu)化反演400 000組數(shù)據(jù)時每一步的迭代次數(shù)以及反演AMSR-E的半軌2000×243組真實數(shù)據(jù)的反演耗時。對于4個不同的海洋大氣參數(shù)，反演的迭代次數(shù)按照海面溫度、海面風(fēng)速、水汽含量和液水含量的順序遞減。使用單臺HP-820Z圖形工作站，基于NM的最優(yōu)化方法反演2000×243組真實數(shù)據(jù)[16](見圖2)的耗時約為90 min；多元線性回歸反演這組數(shù)據(jù)的計算時間遠(yuǎn)小于非線性方法，約為0.5 min。因此，基于NM算法的最優(yōu)化方法應(yīng)用于業(yè)務(wù)化工作需要解決計算耗時的問題。

6 結(jié)束語

從線性算法和非線性算法兩方面對反演方法進(jìn)行了歸納討論，具體包括：多元線性回歸算法與升級版的多元線性回歸算法；牛頓迭代算法與最優(yōu)化算法。實驗表明，LORA開發(fā)的基于NM的最優(yōu)化反演算法與傳統(tǒng)的星載微波輻射計的線性反演算法相比，物理意義明確、精度高1個數(shù)量級。在解決了計算耗時問題之后，該方法具有一定的研究價值和應(yīng)用潛力。未來，隨著星載微波輻射計系統(tǒng)的完善與發(fā)展，我們計劃將計算快速的線性反演算法和具有明確物理意義的非線性反演算法相結(jié)合。預(yù)計新的聯(lián)合反演方法能夠為我國海洋系列衛(wèi)星產(chǎn)品的綜合應(yīng)用提供更好的技術(shù)保障，同時為在軌定標(biāo)等工作提供可靠的數(shù)據(jù)支持。

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(編輯：張小琳)

Comparison of Linear and Nonlinear Retrieval Algorithm for Spaceborne Microwave Radiometer

WANG Zhaohui1LIU Yuxin1,2SONG Qingtao1,2WU Binfeng1

(1 National Satellite Ocean Application Service, Beijing 100081, China) (2 Key Laboratory of Space Ocean Remote Sensing and Application, SOA, Beijing 100081, China)

The paper analyzes the channel choice of ocean retrieval algorithm and compares the differences between linear and nonlinear retrieval algorithm by spaceborne microwave radiometer data process. To discard the low-frequency channel in nonlinear retrieval algorithm gradually is a direct and effective way to improve the spatial resolution of retrieval products. Several analyses and experiments for retrieval algorithm indicate that compared with the linear retrieval algorithm, the optimization algorithms based on Nelder-Mead method has higher accuracy, application and development potential.

spaceborne microwave radiometer; retrieval algorithm; Nelder-Mead algorithm

2015-06-09；

2015-07-15

國家自然科學(xué)基金(41276019)；海洋公益性行業(yè)科研專項(201305032)；中法海洋衛(wèi)星預(yù)先研究項目

王兆徽，男，碩士，研究方向為微波海洋遙感。Email:wzh@mail.nsoas.org.cn。

V443

A

10.3969/j.issn.1673-8748.2015.04.021