基于控制變量法的一維光子晶體態(tài)密度特性的研究

胡迎賓， 廖同慶， 吳 昇， 魏小龍

（1.安徽大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，安徽 合肥 230601；2.合肥師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽 合肥 230601）

光子晶體是一種介電常數(shù)周期性變化的人工微結(jié)構(gòu)材料，其具有特殊禁帶和導(dǎo)帶［1－2］，在禁帶處，相應(yīng)頻率的光子不能通過光子晶體，導(dǎo)帶處則可以通過。光子的這種行為類似于半導(dǎo)體能帶結(jié)構(gòu)所形成的禁帶和導(dǎo)帶中電子的行為。為了方便討論一維光子晶體的禁帶特性，引出了態(tài)密度（density of states，DOS）這一物理參考量，其表示的含義是光子在電磁特性下，單位體積內(nèi)特定頻率附近單位寬度上的光子電磁本征態(tài)的數(shù)量，間接反映了光子在光子晶體中的傳播特性［3－5］。

根據(jù)Fermi’s golden rule在原子微腔內(nèi)自發(fā)輻射幾率正比于DOS，因此可通過調(diào)制DOS的分布，改變電偶極子輻射幾率，如金屬腔、介質(zhì)腔、超晶格等，通過增強(qiáng)自發(fā)輻射制成光子帶邊激光器［6］。本文研究一維周期性光子晶體的DOS特性，以便控制光子在光子晶體中的傳播。

1 一維光子晶體DOS的計(jì)算

當(dāng)單位振幅光波穿過一層薄膜，由薄膜光學(xué)理論可知，薄膜兩側(cè)相位差δ1＝（2πn1dcos C1）／λ，C1為透射角（C1＝arcsin［（n0sin C0）／n1］，C0為入射 角 ），再 引 入 參 數(shù)cos2C1＝，則薄膜的傳輸矩陣M1［7］為：

同理，進(jìn)一步可以得到第2層的傳輸矩陣M2。

N周期一維光子晶體介質(zhì)參數(shù)分布示意圖如圖1所示，一維光子晶體由2層薄膜周期性組成，薄膜的傳輸矩陣分別為M1和M2，則N周期的光子晶體的傳輸矩陣MN為：

同理可得一維N周期的光子晶體的反射率rN和透射率tN為：

圖1 N周期一維光子晶體介質(zhì)參數(shù)分布示意圖

通過引入無限多個(gè)單個(gè)周期單元組成介質(zhì)材料的Bloch函數(shù)uB和Bloch位相β，可得到單個(gè)周期的（N＝1）透射系數(shù)t倒數(shù)的實(shí)部與Bloch位相β的關(guān)系［8］，即

用X、Y分別表示t的實(shí)部和虛部，XN、YN表示tN的實(shí)部和虛部，可得：

令T＝X2＋Y2，ξ＝X／T，η＝Y(jié)／T，則有：

一維N周期光子晶體的DOS［8］為：

其中，D＝Nd為N個(gè)周期一維光子晶體的總長度；ξ′和η′均表示對ω微分。

由上述公式推導(dǎo)可知，當(dāng)2種材料周期性構(gòu)成的一維光子晶體，周期數(shù)N一定時(shí)，影響態(tài)密度變化的變量是入射光的頻率ω，而λ＝2πc／ω，將ω用λ代入，可知ρN是關(guān)于波長λ的函數(shù)，從而可以繪制出DOS隨波長λ變化的波形。

2 一維光子晶體DOS特性

假設(shè)一維光子晶體是由折射率分別為n1和n2的2種薄膜材料周期性構(gòu)成，中心波長為λ0＝600nm，薄膜厚度滿足：其中，ω0為中心波長下對應(yīng)的頻率。

利用上述公式可以推導(dǎo)計(jì)算出透射率t的實(shí)部和虛部，從而計(jì)算出ξ和η及其導(dǎo)數(shù)的值，并代入（7）式計(jì)算出DOS隨波長λ的變化關(guān)系。

2.1 不同折射率比下光子晶體的DOS

分別選取4組折射率比值不同的薄膜構(gòu)成的一維周期性光子晶體，4組材料見表1所列，周期數(shù)N＝20，其DOS曲線如圖2所示。

表1 4組光子晶體的組成材料

圖2 不同折射率比下光子晶體的DOS曲線

由圖2可見，DOS受到光子晶體周期性結(jié)構(gòu)的調(diào)制作用，出現(xiàn)了極強(qiáng)的波動(dòng)性，可以看出通過調(diào)制DOS，也就控制了光子在光子晶體中的傳播。DOS波形明顯地顯示出了光子晶體所形成特有的禁帶特性，如4組DOS曲線在中心波長λ＝600nm附近，DOS接近于0，即此處的光子電磁本征態(tài)的數(shù)量接近于0。對比4組曲線，觀察到禁帶的寬度隨著選取的薄膜材料折射率比值的增大而增大；在禁帶和導(dǎo)帶邊緣位置會(huì)出現(xiàn)突然增強(qiáng)的現(xiàn)象，這是光子晶體的一個(gè)重要特性。

2.2 不同周期數(shù)下光子晶體的DOS

討論周期數(shù)對DOS的影響，假定選取的2種薄膜材料是由上面的第2組構(gòu)成，其他條件設(shè)定和上面相同，則可以繪制出周期數(shù)分別在5、10、20、50情況下的DOS曲線，如圖3所示。

由圖3可知，中心波長λ＝600nm附近存在光子晶體的禁帶。但在圖3中，不同周期數(shù)下的禁帶寬度相同，即周期數(shù)的改變并不影響禁帶的帶寬，而是增強(qiáng)了光子晶體對入射光的調(diào)制作用，隨著周期數(shù)的增加，態(tài)密度曲線波動(dòng)性增強(qiáng)，且在禁帶邊緣處DOS突然增強(qiáng)的現(xiàn)象更加明顯。作為文獻(xiàn)［2］的對比驗(yàn)證，一維周期性光子晶體的禁帶寬度與構(gòu)成的材料的折射率比有關(guān)，與光子晶體的周期數(shù)無關(guān)，這一結(jié)論與文獻(xiàn)［2］完全相同。

圖3 不同周期數(shù)下光子晶體的DOS曲線

3 禁帶邊緣處DOS增強(qiáng)

為了方便討論波長λ對β的影響，選擇第2組材料構(gòu)成一維光子晶體，周期數(shù)N＝20，在相應(yīng)條件下，定義一個(gè)群速度v為：

對于確定的薄膜材料構(gòu)成的光子晶體，v是一個(gè)常量，用ρNv表示歸一化的DOS，繪制Bloch位相β以及相同條件下歸一化的DOS隨波長變化的曲線，如圖4所示，相同條件下的β′的曲線如圖5所示。

圖4 β和歸一化DOS隨入射光波長的變化曲線

圖5 β′隨入射光波長的變化情況

由（7）式可知，當(dāng)Nβ＝mπ（m＝0，1，2，…，N－1）時(shí)，sinNβ＝0、sin 2Nβ＝0、cos2Nβ＝1，此時(shí)ρN分母快速變化項(xiàng)的值為1，為極小值，其分子的值為Nηξ′／（1－ξ2）。即當(dāng)β從0變化到π時(shí)，ρN有N個(gè)局域的最大值，即

由此可知，當(dāng)入射光波長改變時(shí)，β也隨之改變，從而導(dǎo)致ρN的變化。觀察圖4、圖5中光子晶體禁帶位置，β值的大小保持不變，而在非禁帶處，其值處于持續(xù)的變化狀態(tài)；在禁帶邊緣處，β的變化率出現(xiàn)了極強(qiáng)的突變現(xiàn)象，由此可推導(dǎo)出光子禁帶邊緣處的突然增強(qiáng)現(xiàn)象，與β的變化率有著很大的關(guān)系。

4 結(jié)束語

本文通過數(shù)值計(jì)算分析了一維周期性光子晶體的DOS，并基于控制變量法，計(jì)算出不同折射率比值、不同周期數(shù)的一維周期性光子晶體DOS隨入射光波長λ的變化特性；研究了DOS隨入射光波長變化時(shí)，光子禁帶邊緣處的突然增強(qiáng)現(xiàn)象。分析表明邊緣處增強(qiáng)的現(xiàn)象與Bloch位相β的相應(yīng)變化有關(guān)。

［1］ Wang R L，Zhang J，Hu Q F.Simulation of band gap structures of 1Dphotonic crystal［J］.Journal of the Korean Physical Society，2008，52：S71－S74.

［2］ 黃弼勤，顧培夫.一維光子晶體禁帶的展寬［J］.光學(xué)學(xué)報(bào)，2003，23（12）：1497－1501.

［3］ Rudzinski A，Zawadzka A T，Szczepanski P.Simple model of the density of states in 1Dphotonic crystal［C］／／Photonic Crystals and Fibers：Proc SPIE 5950，2005：59501A1－59501A8.

［4］ 陳慰宗，鄭新亮，付靈麗，等.一維光子晶體中的電磁模密度［J］.光子學(xué)報(bào)，2003，32（2）：239－243.

［5］ Wang Hong，F(xiàn)ang Yuntuan.Achieving transparent photonic band in regular one－dimensional photonic crystal［J］.Journal of Infrared，Millimeter，and Terahertz Waves，2011，32（1）：47－54.

［6］ Deppe D G，Huang H.Fermi’s golden rule，nonequilibrium electron capture from the wetting layer，and the modulation response in P－doped quantum－dot lasers［J］.IEEE J Quantum Electron，2006，42（3）：324－330.

［7］ 王 輝，李永平.用用特征矩陣法計(jì)算光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)［J］.物理學(xué)報(bào)，2001，50（11）：2172－2178.

［8］ Bendickson J M，Dowling J P，Scalora M.Analytic expressions for the electromagnetic mode density in finite，one－dimensional，photonic band－gap structures［J］.Phys Rev E，1996，53（4）：4107－4121.