基于重整化群與模糊可靠度法的邊坡穩(wěn)定性分析

宋亮華 劉 濤

(1.長沙有色冶金設(shè)計研究院有限公司；2.西北礦冶研究院)

基于重整化群與模糊可靠度法的邊坡穩(wěn)定性分析

宋亮華1劉 濤2

(1.長沙有色冶金設(shè)計研究院有限公司；2.西北礦冶研究院)

為了探討露天邊坡的穩(wěn)定性，結(jié)合重整化群法和可靠度分析法對露天邊坡的穩(wěn)定性進行了分析。首先結(jié)合重整化群法建立了露天邊坡穩(wěn)定性分析模型，考慮系統(tǒng)應(yīng)力重分布對邊坡穩(wěn)定性的影響，將露天邊坡失穩(wěn)破壞的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為邊坡失穩(wěn)概率與臨界失穩(wěn)概率之間比較的問題，并計算得出了三維情況下露天邊坡失穩(wěn)破壞的臨界概率為0.159 9；然后結(jié)合可靠度分析法計算得到了露天邊坡的失穩(wěn)概率。采用上述方法對新疆某露天礦邊坡穩(wěn)定性進行了分析，得到了該露天邊坡的失穩(wěn)概率為0.100 1，小于臨界失穩(wěn)概率，計算結(jié)果與現(xiàn)場實際情況一致，說明該方法在露天邊坡穩(wěn)定性分析中具有一定實用性。

重整化群 模糊可靠度 露天邊坡 穩(wěn)定性 臨界概率

傳統(tǒng)的邊坡穩(wěn)定性分析方法主要通過數(shù)值模擬的方法得出邊坡安全系數(shù)Fs來判斷邊坡的穩(wěn)定性，經(jīng)過大量的工程實踐表明，該方法存在著一定的局限性[1-5]。一些學(xué)者通過研究發(fā)現(xiàn)，影響邊坡穩(wěn)定性的因素往往是隨機變化的，采用確定性的方法很難充分考慮巖土參數(shù)的變化對邊坡穩(wěn)定性的影響，因此有必要應(yīng)用數(shù)學(xué)方法在考慮巖土參數(shù)的隨機性和模糊性的同時對邊坡的穩(wěn)定性進行研究。

1 重整化群分析模型

1.1 重整化群

重整化群最早應(yīng)用于量子場論中，后被Wilson應(yīng)用于研究臨界問題[6-7]。該方法基于統(tǒng)計分形原理，研究系統(tǒng)內(nèi)部組成單元之間的聯(lián)系，通過系統(tǒng)單元之間的自相似變換，從宏觀角度對系統(tǒng)的一些規(guī)律進行描述，是解決臨界問題的有效工具。該方法通過改變系統(tǒng)中的觀測尺度來獲取系統(tǒng)參數(shù)的變化規(guī)律，假設(shè)系統(tǒng)在某個觀測尺度下所獲取的物理參數(shù)為P，在觀測尺度放大n倍后獲得的物理參數(shù)記為P′，如果將尺寸變換函數(shù)記為fn，那么P與P′的關(guān)系可表示為

P′=fn(P) .

(1)

若觀測尺度再放大n倍，那么下列關(guān)系也成立

P″=fn(P′)=fn·fn(P)=fn2(P) ,

(2)

式中，P″為在觀測尺度擴展n2倍后系統(tǒng)所獲得的物理參數(shù)。將式(2)變成一般情況下的關(guān)系式，那么其變換函數(shù)f具有以下性質(zhì)

fa×fb=fab

(3)

1.2 露天邊坡演化的一維重整化群模型

假設(shè)一級原包由2個基本單元組成，當(dāng)一級原包中有1個及1個以上的單元破裂時，一級原包就被破壞了。一級原包所有的可能情況見圖1。

圖1 一級原包的所有可能情況

一級原包發(fā)生失穩(wěn)破壞的概率為

P1=P02+2P0(1-P0)Pab，

(4)

式中，P0為基本單元的破壞概率，P02為2個單元均破壞的概率；Pab為1個單元破壞后向鄰近單元應(yīng)力轉(zhuǎn)移的條件概率，且應(yīng)力向鄰近未破壞的單元轉(zhuǎn)移的概率是相等的。

應(yīng)力轉(zhuǎn)移的條件概率Pab為

Pab=(Pb-Pa)/(1-Pa) ,

(5)

式中，Pa為單元破壞前鄰近單元的破壞概率；Pb為單元破壞后鄰近單元的破壞概率。

假設(shè)基本單元的破壞概率由Weibull分布給出，那么，單元破壞后鄰近單元的破壞概率為

Pb=1-(1-P0)n.

(6)

根據(jù)logistic一維映射遞推關(guān)系，可得到n級原包的破壞失穩(wěn)概率為

Pn=2Pn-1[1-(1-Pn-1)4]-Pn-12.

(7)

式(7)即為一維重整化群方程，將式(7)表示為函數(shù)形式，即

f(x)=2x[1-(1-x)4]-x2.

(8)

若0≤x≤1，求解式(8)可得方程存在3個不動點，即x=0，0.206，1，根據(jù)判斷準(zhǔn)則，當(dāng)|df(x)/dx|>1時，x即為不穩(wěn)定的不動點；反之，x為穩(wěn)定不動點。分別將x=0，0.206，1，代入df(x)/dx中分別得到0，1.62，0，可以認為，0和1為穩(wěn)定不動點，0.206為不穩(wěn)定不動點。當(dāng)x=0時，沒有單元破壞，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)x=1時，系統(tǒng)中所有單元均被破壞，系統(tǒng)處于極限不穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)x=0.206時，可認為是系統(tǒng)2種狀態(tài)的分界點，即當(dāng)x>0.206時，系統(tǒng)向不穩(wěn)定的方向發(fā)展，當(dāng)x<0.206時，系統(tǒng)向穩(wěn)定的方向發(fā)展。

1.3 露天邊坡演化的二維重整化群模型

二維情況下，一個一級原包共由4個基本單元構(gòu)成，一個二級原包共由4個一級原包構(gòu)成，與一維情況下的分析方法一致。假設(shè)P0為基本單元的破壞概率，根據(jù)式(7)可求出一級原包的破壞概率，同理可求出二級原包的破壞概率

×[(1-P0)8/3-(-P0)8]+12P0[1-P0-(1-P0)8/3][(1-P0)8/3-(1-P0)4]2

+24P0[1-P0-(1-P0)8/3][(1-P0)8/3(1-P0)3/8-(1-P0)4][(1-P0)4-(1-P0)8] .

(9)

根據(jù)logistic映射遞推關(guān)系，可得到n級原包的破壞失穩(wěn)概率為

Pn=f(Pn-1) .

(10)

采用Matlab軟件求解式(10),可得0.170 7為系統(tǒng)的臨界點。

1.4 露天邊坡演化的三維重整化群模型

三維情況下，一個一級原包共由8個基本單元構(gòu)成，一個二級原包由8個一級原包構(gòu)成，假設(shè)P0為基本單元的破壞概率，根據(jù)P0可計算出一級原包的破壞概率，同理可計算出二級原包的破壞概率為

(11)

式中，P1為一級原包的破壞概率。

根據(jù)logistic映射遞推關(guān)系，可得到n級原包的破壞失穩(wěn)概率，采用Matlab軟件進行求解,可得0.159 9為系統(tǒng)的臨界點。

2 邊坡模糊可靠度分析法

采用條分法對邊坡荷載效應(yīng)S和抗滑力R對邊坡穩(wěn)定性進行分析，同時考慮地震荷載作用下對邊坡穩(wěn)定性的影響，將地震荷載分解為豎向和水平方向的加速度Ea和Eb

(12)

式中，C為地震綜合影響系數(shù)；ua、ub分別為豎向和水平地震加速度分布系數(shù)；Ka、Kb分別為豎向和水平地震系數(shù)，Ka=2/3Kb；Wi表示第i條巖體的重力。

若地震荷載的作用方向與重力方向一致，那么S和R可分別定義為

式中，c為邊坡巖體內(nèi)聚力，MPa；hi為第i條巖體的底面弧長，m；f為邊坡巖體的內(nèi)摩擦影響因子；β為第i條巖體的底部與水平面的夾角，(°);其余參數(shù)意義同上。

結(jié)合邊坡工程實際，選用正弦函數(shù)構(gòu)造隸屬度函數(shù)可得邊坡的模糊可靠度，邊坡的失穩(wěn)概率為

Pf=1-Ps，

(14)

式中，Ps為邊坡的模糊可靠度。

據(jù)式(14)可計算出邊坡工程的失穩(wěn)概率，對于具體的邊坡工程，依據(jù)模糊可靠度分析法計算邊坡的失穩(wěn)概率后，再與重整化群法計算出的邊坡系統(tǒng)臨界失穩(wěn)概率進行比較，若失穩(wěn)概率大于臨界概率，則邊坡失穩(wěn)，反之，則邊坡不失穩(wěn)。

3 應(yīng)用實例

選取新疆某礦山露天邊坡進行研究，礦區(qū)巖石構(gòu)成主要為變質(zhì)砂巖、矽卡巖和和斑狀花崗巖，礦區(qū)主要巖體的力學(xué)參數(shù)見表1。

表1 巖體參數(shù)

將該邊坡破壞面方程記為ω(x)，邊坡坡面方程記為g(x)，邊坡坡面總高度為600 m，臺階高度為15 m，最終坡面角為48°，臺階坡面角為75°，ω(x)可表示為

(15)與破壞面相交的邊坡方程為

(16)

取粘聚力均值μc為13.87 MPa，粘聚力方差δc為18.53，利用Matlab軟件，可得到地震動荷載作用下粘聚力的隨機模糊均值為1.24×108MPa，方差為3.35×1015。于是，該邊坡在地震荷載作用下的模糊隨機可靠度為0.899 9，將其代入式(14)，可得該邊坡失穩(wěn)概率為0.100 1。

由于Pf=0.100 1<0.155 9，說明該邊坡是穩(wěn)定的，不存在整體滑坡失穩(wěn)的可能，從現(xiàn)場調(diào)查的情況來看，該邊坡穩(wěn)定性較好，沒有出現(xiàn)大范圍的滑坡，與理論分析結(jié)果一致。

4 結(jié) 論

(1)結(jié)合重整化群法建立了露天邊坡穩(wěn)定性分析模型，考慮系統(tǒng)應(yīng)力重分布對邊坡穩(wěn)定性的影響，將露天邊坡失穩(wěn)破壞的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為邊坡失穩(wěn)概率與臨界失穩(wěn)概率之間比較的問題，并計算得出了一維、二維、三維情況下露天邊坡失穩(wěn)破壞的臨界概率分別為0.206，0.170 7，0.159 9。

(2)對地震荷載作用下的邊坡穩(wěn)定性進行了研究，得到了邊坡可靠度和失穩(wěn)概率的計算方法。

(3)通過對新疆某礦露天邊坡進行現(xiàn)場勘查鉆取巖芯，得到了礦區(qū)巖石的力學(xué)參數(shù)，通過計算得出該邊坡的失穩(wěn)概率為0.100 1，小于三維情況下邊坡失穩(wěn)的極限概率0.159 9，說明該邊坡是穩(wěn)定的。

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2015-03-31)

宋亮華(1982—)，男，工程師，410011 湖南省長沙市。