非自治脈沖HollingⅡ捕食系統(tǒng)的研究

燕聰妮，董玲珍，劉 明

（太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 太原030024）

0 引 言

在自然界中，種群的出生率、死亡率，以及種群間的相互關(guān)系往往受季節(jié)、氣候、交配習(xí)慣等因素的影響．因此，在種群動(dòng)力系統(tǒng)中，經(jīng)常用變系數(shù)的微分方程或方程組來(lái)描述種群的動(dòng)力學(xué)變化過(guò)程［1－6］．但是，自然界的許多物種的發(fā)展過(guò)程經(jīng)常受到短時(shí)間干擾，導(dǎo)致種群密度會(huì)發(fā)生瞬時(shí)的巨大變化．為此，有必要把這種短時(shí)間干擾的現(xiàn)象作為脈沖來(lái)處理．這樣，在變系數(shù)的微分方程中加入脈沖更具有實(shí)際意義［7－10］．在微分動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中應(yīng)用脈沖理論之后，產(chǎn)生了很多很好的結(jié)果．一些性質(zhì)諸如振蕩，漸近行為，解的存在和穩(wěn)定性也有很廣泛的研究，并且得到了很多有實(shí)際價(jià)值的結(jié)論．

在文獻(xiàn)［11］中，Huo Juan等研究了具有脈沖效應(yīng)的非自治Lotka－Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)

討論了非自治競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)中解的全局穩(wěn)定的條件，并應(yīng)用微分方程比較定理和構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)法，給出了系統(tǒng)解的持久生存和漸近穩(wěn)定的條件．

人們知道，兩物種之間的關(guān)系除相互競(jìng)爭(zhēng)外，一物種以另一物種以食餌的捕食關(guān)系也是常見的一種生物關(guān)系．例如，鳥吃昆蟲，狠吃羊等．Holling 曾在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)不同類型的物種提出了三種不同的功能性捕食反應(yīng)函數(shù)，建立了具有Holling 功能性反應(yīng)的種群生態(tài)動(dòng)力學(xué)模型．其中 HollingⅡ捕食者－食餌模型受到很大關(guān)注［12－14］．本文將研究具有脈沖效應(yīng)的HollingⅡ非自治捕食系統(tǒng)，其模型如下：

式中：x（t），y（t）分別表示食餌和捕食者的密度；r1（t），r2（t）為 定 義 在R＋上 的 有 界 連 續(xù) 函 數(shù)，ai（t），bi（t）（i＝1，2）；α（t）為定義在R＋上的正的有界連續(xù)函數(shù)，且α（t）具有正的下界，hik＞－1為常數(shù)．

2）對(duì)于系統(tǒng)（3）的任兩個(gè)正解x1（t）和x2（t），有

引理3 假設(shè)存在正的常數(shù)ω 和λ，使得

1 預(yù)備知識(shí)

式中：r（t），a（t）為定義在R＋上的有界連續(xù)函數(shù)，a（t）≥0，hk≥－1 為常數(shù)．對(duì)于這個(gè)系統(tǒng)，有以下結(jié)論．

引理1［15］系統(tǒng)（3）以任意x（0）＞0為初值的解x（t）恒為正，即對(duì)于?A ＞0，恒有x（t）＞0成立．

引理2［11］假設(shè)存在正的常數(shù)ω 和λ 使得

證明 由條件（7）可知，存在常數(shù)T0＞0及ˉA ＜0，使得對(duì)于所有的t≥T0，有

設(shè)x（t）是系統(tǒng)（3）的任一具有正初值之解，

1）對(duì)于系統(tǒng)（3）的任一正解x（t），存在正常數(shù)m 和M，使得立，那么一定存在ε0＞0和T1＞T0．當(dāng)t＞T1時(shí)，或者x（t）≥ε0，或者x（t）關(guān)于ε0振蕩．

若對(duì)于所有的t≥T1，有x（t）≥ε0成立，則對(duì)于t＝T1＋lω（其中l(wèi)≥0為正整數(shù)），將式（3）的第一個(gè)方程兩端從T1到t積分，可得

顯然，l →＋∞時(shí)，有x（t）→0 成立，與假設(shè)x（t）≥ε0矛盾．

設(shè)x（t）是關(guān)于ε0振動(dòng)的，選擇選擇兩個(gè)序列｛ρn｝和｛ρ＊n ｝滿足

使得

對(duì)于t∈（ρn，ρ＊n ），有

選擇正整數(shù)l≥0，使得t＝ρn＋lω＋μ1，其中0≤μ1＜ω，則有

對(duì)于?t≥ρ1，一定存在ρ∈［ρ1，ρ1＋ω］和正整數(shù)k，有t＝ρ＋kω，從而

這樣，當(dāng)t→＋∞時(shí)，有x（t）→0成立，與假設(shè)x（t）關(guān)于ε0振動(dòng)矛盾．

綜合上述討論，可知該引理結(jié)論成立．

2 滅絕

首先研究系統(tǒng)（2）的平凡解（0，y＊（t））的全局吸引性，其中y＊（t）為系統(tǒng)（10）之解．

定理1 假設(shè)存在正常數(shù)ωi和λi（i＝1，2），使得

證明 由系統(tǒng)（2）的第一個(gè)方程，可得

˙x（t）≤x（t）（r1（t）－a1（t）x（t）），t≠tk．

由比較定理得

其中，μ（t）是系統(tǒng)（15）

具有初始條件μ（0）＝x（0）的解．由引理3 得

進(jìn)而，

這樣，對(duì)?ε＞0，存在T2＞0，使得當(dāng)t＞T2時(shí)，有x（t）＜ε成立．從而有

具有初始條件ω（T2）＝y(tǒng)（T2；0，y0）之解．

由式（14）可知，總可以選取ε足夠小，使得

大時(shí)，有

成立．結(jié)合式（20），可得到任意的σ＞0，存在足夠大的T，當(dāng)t＞T 時(shí)，有

成立．由引理2，系統(tǒng)（10）存在全局穩(wěn)定的解y＊（t），系統(tǒng)（18）存在全局穩(wěn)定的解y＊ε（t），即

定理2 假設(shè)存在正常數(shù)ωi和λi（i＝1，2），使得式（11）～（13）以及式可知，對(duì)任意的σ＞0，存在T ＞T2，當(dāng)t＞T 時(shí)，有t→＋∞y＊ε＝y(tǒng)＊（t）．由引理2 知，存在兩個(gè)正數(shù)A 和B，使得對(duì)于所有的有t＞0有

下證lim

選取Lyapunov函數(shù)其中0≤μ≤max｛ωi，λi｝（i＝1，2），則系統(tǒng)（2）有平凡解（0，0），且是全局吸引的．

證明 類似于定理1的證明，由于式（11）和（12）成立，故有

這樣

成立．進(jìn)而，仍有式（17）和（18）成立．這樣，由于條件（23）成立，總可選取ε＞0足夠小，使得

因此，V（t）是定義在［T，＋∞）上的連續(xù)函數(shù)，且

由條件（13）可知，存在正常數(shù)H 和λ，使得

3 持久生存

這樣，就有

定理3 假設(shè)存在正常數(shù)ω2和λ2使得式（11）和式

進(jìn)而，

證明 由系統(tǒng)（2）可得

由比較定理得

其中，υ（t）是系統(tǒng)（10）具有初始條件υ（0）＝y(tǒng)（0）的正解．利用引理2 可得，存在一個(gè)正常數(shù)T2使得

所以

取常數(shù)m2＝inf｛y＊（t）－ε0，t ∈R＋｝，則0 ＜m2＜＋∞．顯然，對(duì)于所有的t≥T2，有

由式（11）和（24）知，必存在正常數(shù)k2，δ2和T′＞T2，使得對(duì)于所有的t≥T′，有

因?yàn)樵赗＋上是有界的，其中0≤μ≤max｛ω2，λ2｝，則存在常數(shù)H2＞0，使得

假設(shè)對(duì)于所有的t≥T′，有y（t）≥k2．這樣，對(duì)于t＝T′＋lω2（其中l(wèi)≥0為正整數(shù)），有顯然，當(dāng)t→＋∞時(shí)，有y（t）→0成立，與假設(shè)矛盾．

假設(shè)y（t）是關(guān)于k2振動(dòng)的，選擇兩個(gè)序列｛ρn｝和｛ρ＊n ｝滿足

y（ρn）≤k2，y（ρ＋n）≥k2，y（ρ＊n ）≥k2，y（ρ＊＋

且使得n ）≤k2，、．

y（t）≥k2，t∈（ρn，ρ＊n ）；y（t）≤k2，t∈（ρ＊n ，ρn＋1）．

其中，當(dāng)n足夠大時(shí)，有ρn ≥T′成立．對(duì)于t∈（ρn，ρ＊n ）有

˙y（t）≤y（t）（r2（t）－a2（t）k2＋b2（t）），t≠tk．

取一個(gè)正整數(shù)l，使得t＝ρn＋lω2＋υ2，其中0≤υ2≤ω2．這樣，就有

則當(dāng)t≥T′時(shí)，界，其中0≤μ≤max｛ω1，λ1｝，則系統(tǒng)（2）的任一正解z（t）＝（x（t），y（t）），存在正常數(shù)m1和M1，使得

由定理3知y（t）是有界的．記k＝sup｛y（t），t∈R＋｝，有以下定理：

定理4 假設(shè)存在正常數(shù)ω1和λ1，使得式（13）和式

證明 由系統(tǒng)（2）易得

這樣，由比較定理可得

其中，μ（t）是系統(tǒng)（15）具有初始條件μ（0）＝x（0）的正解．由引理2 知，存在一個(gè)正常數(shù)T1，使得

所以

因?yàn)樵赗＋上是

取常數(shù)M1＝sup｛x＊（t）＋ε0，t∈R＋｝，則0＜M1＜＋∞．顯然，對(duì)于所有的t≥T1，有有界的，其中0≤μ ≤max｛ω1，λ1｝，則存在常數(shù)H1＞0，使得

由式（13）和（25）知，必存在正常數(shù)k1，δ1和T″，使得對(duì)所有的t≥T″，有

假設(shè)對(duì)于所有的t≥T″，有x（t）≤k1，則對(duì)于t＝T″＋lω1（其中l(wèi)為正整數(shù)），有

進(jìn)一步，假設(shè)x（t）關(guān)于k1振動(dòng)．選擇兩個(gè)序列｛ρn｝和｛ρ＊n ｝滿足

其中，當(dāng)n足夠大時(shí)，可使得ρn ≥T″．這樣，對(duì)于t∈（ρn，ρ＊n ），有

并使得

選取一個(gè)正數(shù)l，使得t＝ρn ＋lω1＋υ1，其中0≤υ1＜ω1，從而

對(duì)于t∈（ρ＊n ，ρn＋1），有

這表明當(dāng)t≥T″時(shí)，恒有

記m1＝k1exp（－β1ω1－H1），則當(dāng)t≥T″時(shí)，有

綜 上 所 述，取M ＝max（M1，M2），m ＝min（m1，m2），則有

即系統(tǒng)（2）在定理3 和定理4 的條件下持久生存．

［1］Liu Bing，Teng Zhidong，Liu Wanbo．Dynamic behaviors of the periodic Lotka－Volterra competing system with impulsive perturbations［J］．Chaos，Solitons and Fractals，2007，31（2）：356－370．

［2］Lopez－Gomez J，Ortega O，Tineo A．The periodic predator－prey Lotka－Volterra model［J］．Adv．Diferential Equations，1996，1（3）：403－423．

［3］Teng Zhidong，Yu Yuanhong．Some new results of nonautonomous Lotka－Volterra competitive systems with delays［J］．Journal of Mathematical Analysis and Applications，2000，241（2）：254－275．

［4］Fan Meng，Wang Ke．Periodic solutions of a discrete time nonautonomous ratio－dependent predator－prey system［J］．Mathematical and Computer Modelling，2002，35（9－10）：951－961．

［5］Elaydi S，Sacker R J．Global stability of periodic orbits of non－autonomous dierence equations and population biology［J］．Journal of Dierential Equations，2005，208（1）：258－273．

［6］Fan Meng，Yang Kuang．Dynamics of a nonautonomous predator－prey system with the Beddington－DeAngelis functional response［J］．Journal of Mathematical Analysis and Applications，2004，295（1）：15－39．

［7］Akhmetov M U，Zafer A．Successive approximation method for quasilinear impulsive dierential equations with control［J］．Applied Mathematics Letters，2000，13（5）：99－105．

［8］Gao Shujing，Teng Zhidong．Impulsive vaccination of an SIRS model with saturation infectious force and constant recruitment［J］．Journal of Biomathematics，2008，23（2）：209－217．

［9］Wang Guotao，Ahmad B，Zhang Lihong．Impulsive anti－periodic boundary value problem for nonlinear dierential equations of fractional order［J］．Nonlinear Analysis：Theory，Methods ＆ Applications，2011，74（3）：792－804．

［10］Fec－kan M，Zhou Yong，Wang Jinrong．On the con－cept and existence of solution for impulsive fractional dierential equations［J］．Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2012，17（7）：3050－3060．

［11］Huo Juan，Liu Hanhui．Permanence and asymptotic behavior of the nonauto－nomous Lotka－Valterra competitive system with impulses［J］．Journal of Biomathematics，2009，24（2）：213－221．

［12］Jiang Xiaowu，Yu Min，Song Xinyu．An impulsive predator－prey system with stage－structured and modied Leslie－Gower Holling II type schemes［J］．Journal of Biomathematics，2008，23（2）：202－208．

［13］Aziz－alaoui M A，Daher O M．Boundedness and global stability for a predator－prey model with modied Leslie－Gower and Holling－type II type schemes［J］．Applied Mathematics Letters，2003，16：1069－1075．

［14］Zhang Shuwen，Tan Dejun，Chen Lansun．Chaos in periodically forced Holling type I－I predator－prey system with impulsive perturbations ［J］． Chaos Soliton＆Fractals，2006，28（2）：367－376．

［15］Hu Hongxiao，Teng Zhidong，Jiang Haijun．On the permanence in non－autonomous Lotka－Volterra competitive system with pure－delays and feedback controls［J］．Nonlinear Analysis：RealWorld Applications，2009，10：1803－1815．