一類雙重退化滲流方程解的存在性

湯林冰　，詹華稅

(1.集美大學(xué)理學(xué)院,福建 廈門(mén) 361021； 2.廈門(mén)理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，福建 廈門(mén) 361024)

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一類雙重退化滲流方程解的存在性

湯林冰1，詹華稅2

(1.集美大學(xué)理學(xué)院,福建 廈門(mén) 361021； 2.廈門(mén)理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，福建 廈門(mén) 361024)

[摘要]結(jié)合Fichera-Oleinik理論,研究一類雙重退化滲流方程uspan=div(ρspanuspan)，(x,t)∈Qspan=Ω×(0,T)的可解性問(wèn)題.其中Ω是Rspan中的有界區(qū)域,邊界?Ω充分光滑,ρ(x)=dist(x,?Ω),m>1,α≥2,u0非負(fù),u0∈Lspan(Ω),ρspan(Ω)).借助于一般粘性解的定義，給出了該滲流方程存在具有齊次邊界條件的弱解的定義，并證明其存在性.

[關(guān)鍵詞]雙重退化；滲流方程;弱解;Fichera-Oleinik理論

0引言

本文研究一類雙重退化滲流方程

(1)

(2)

適當(dāng)光滑，有許多的成果[1-13]討論方程(1)的可解性問(wèn)題，下面給出方程的弱解定義.

定義1u是方程(1)的一個(gè)弱解,如果u∈L∞(0,T;Lm+1(Ω)),ρα/2對(duì)任意在?Ω和t=T上為零的函數(shù)φ∈C1(QT),u滿足

(3)

易知定義1等價(jià)于:1)u∈L∞(0,T;Lm+1(Ω)),ρα/2um∈L∞(0,T;L2(Ω))；2)?滿足∫QT((ραum)φ-uφt)dxdt=0；3)對(duì)所有t>0,u(t)∈L1(Ω)且.需要注意的是，其中并沒(méi)有涉及到邊界值問(wèn)題.

退化拋物方程解的這種性質(zhì)很早就被數(shù)學(xué)家們所重視，文獻(xiàn)[14]首次研究了

(4)

的情形,得到了以下重要結(jié)論： 若0<α

則稱u是方程(1)的具有齊次邊界條件的解.

本文將借鑒多孔介質(zhì)方程的解的存在性證明方法，證明如下的結(jié)論：

定理1設(shè)u0非負(fù),u0∈Lm+1(Ω),ρα/2(Ω)),α≥2,則具有初值條件(2)的方程(1)在定義1下存在具有齊次邊界條件的解.

1Fichera-Oleinik理論

考慮形如

(5)

的二階方程,若對(duì)于任意的實(shí)向量ξ=(ξ1,ξ2,…,ξm)和任意點(diǎn)x∈Ω,具有條件arsξrξs≥0,就稱為Ω上的具有非負(fù)特征形式的二階方程.顯然,有非負(fù)特征形式的二階方程包含橢圓方程和拋物方程,一階方程(arsξrξs≡0的情況),超拋物方程,Brown運(yùn)動(dòng)方程,在上半平面的Tricomi方程等等.

(6)

(7)

其中,f是Ω內(nèi)的給定函數(shù),而g是∑2∪∑3上的給定函數(shù).顯然,如果是橢圓型,那么式(6)、(7)就是Dirichlet問(wèn)題.對(duì)于柱形區(qū)域內(nèi)的拋物型問(wèn)題,則組成混合問(wèn)題,也稱為拋物型方程的第一邊值問(wèn)題.稱該結(jié)論為Fichera-Oleinik理論.

考慮下面方程:

(8)

如果是弱退化的情形,即集合{(x,t)∈QT:a(u(x,t))=0}無(wú)內(nèi)點(diǎn)的情況,其中A′(u)=a(u).此時(shí),A-1(u)存在,令v=A-1(u),則有

(9)

那么,根據(jù)前面所述的Fichera-Oleinik理論,∑2∪∑3=?Ω,于是式(6)、(7)得到的是一般的Dirichlet邊界條件.但在強(qiáng)退化的情形,即集合{(x,t)∈QT:a(u(x,t))=0}有內(nèi)點(diǎn)的情況,A-1(u)一般不存在,那么就不能將式(8)轉(zhuǎn)化為式(9)的形式.此時(shí),改寫(xiě)方程(8)為

(10)

如果考慮的是齊次邊界條件,設(shè)a(0)=0,將它與式(5)比較,考慮其初邊值問(wèn)題,由式(7)知道初值條件u(x,0)=u0(x)是必須給的.但在側(cè)邊界,需要給齊次邊界條件的部分是

(11)

(12)

本文考慮下面的滲流方程ut=div(ραum)=αρα-1mum-1ρ·u.

2定理1證明

構(gòu)造初值逼近列u0n:令u0n=u0+1/n，對(duì)任意T>0,求問(wèn)題

(13)

的解. 先考慮

(14)

(15)

最后,由un是經(jīng)典解,滿足以u(píng)0n代替u0時(shí)的弱解定義,令n→∞，得到關(guān)于u的弱解定義式,因此u是在定義1意義下的一個(gè)弱解.

第二步:假設(shè)u0有界且邊界?Ω上為零,將u0光滑化,再應(yīng)用前面的方法得到近似解un∈C∞(QT)∩C2,1(QT∪ST),相同的方法可得解u,但此時(shí)在t=0時(shí)不一定連續(xù)(除非初值連續(xù)).

第三步:假設(shè)u0∈Lm+1(Ω),ρα/2,考慮單調(diào)增加的切割函數(shù)ζk,它在?Ω上為0,考慮初始函數(shù)的近似列:u0k(x)=min(u0(x)ζk(x),k).由第二步,用初值u0k(x)求解問(wèn)題得到唯一弱解,由比較定理得:uk+1≥uk,另一方面,由估計(jì)式知,uk在L∞((0,T);Lm+1(Ω))上一致有界.同樣地,在L2(Ω)上也一致有界.因此uk的收斂極限函數(shù)u∈L∞((0,T);Lm+1(Ω)),并且在L2(Ω)中收斂于,估計(jì)式關(guān)于u成立.由此得定理1.

一般地,式(1)—(2)問(wèn)題解的存在性仍然是一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題.至于唯一性的研究一般要建立在存在性的基礎(chǔ)之上.顯然,本文僅是在定義2的框架下討論了解的存在性，定義2本質(zhì)上是粘性解，考慮粘性解的唯一性也是一個(gè)可以研究的問(wèn)題.

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(責(zé)任編輯馬建華英文審校黃振坤)

The Existence of a Kind of Double Degenerate Filtration Equation

TANG Lin-bing1,ZHAN Hua-shui2

(1．School of Science，Jimei University，Xiamen 361021，China;

2．School of Applied Mathematics，Xiamen University of Technology，Xiamen 361024，China)

Abstract:By Fichera-Oleinik theory,the paper studies solvability of the singular double degenerate filtration equation ut=div(ραum)，(x,t)∈QT=Ω×(0,T),where Ω is a bounded domain in Rspanwith appropriately smooth boundary ?Ω,ρ(x)=dist(x,?Ω),m>1,α≥2,u0≥0,u0∈Lspan(Ω),ρspan∈L∞(0,T;L2(Ω)).By viscous solution theory,the paper gives the definition of the weak solution to the equation with homogeneous boundary value,then proves its existence.

Key words:double degeneratcy;filtration equation;week solution;Fichera-Oleinik theory

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[中圖分類號(hào)]O 175.26

[文章編號(hào)]1007-7405(2015)03-0225-05

[作者簡(jiǎn)介]湯林冰(1989—)，男，碩士生，從事偏微分方程方向研究.通信作者：詹華稅(1966—)，男，教授，從事偏微分方程方向研究，E-mail：hszhan@jmu.edu.cn.

[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371297)；福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015J01592,2012J01011)

[收稿日期]2014-07-23[修回日期]2014-11-07