錐形運(yùn)動(dòng)控制的導(dǎo)彈姿態(tài)穩(wěn)定性分析*

段笑菊，孫瑞勝，白宏陽，薛曉中

(1.南京理工大學(xué)瞬態(tài)物理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210094;2.南京理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，南京210094)

錐形運(yùn)動(dòng)是導(dǎo)彈以固定攻角繞速度矢量旋轉(zhuǎn)，形成一個(gè)以速度矢量為中心的圓錐面的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象［1］。它能夠使導(dǎo)彈產(chǎn)生等幅的誘導(dǎo)攻角，增加彈體阻力，降低飛行速度。所以，錐形運(yùn)動(dòng)控制是實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈飛行速度控制的有效途徑［2-4］。但是，錐形運(yùn)動(dòng)也會(huì)產(chǎn)生如附加的馬格努斯效應(yīng)、陀螺效應(yīng)導(dǎo)致的通道間嚴(yán)重耦合等，嚴(yán)重時(shí)甚至造成彈體飛行失穩(wěn)。美國的奈特霍克探空火箭在試驗(yàn)中就曾很多次出現(xiàn)了發(fā)散的錐形運(yùn)動(dòng)。

近年來，國內(nèi)外眾多學(xué)者紛紛展開錐形運(yùn)動(dòng)控制的策略和穩(wěn)定性研究，提出了多種建模和分析方法。1969年P(guān)eterson［5］首先分析了導(dǎo)致錐形運(yùn)動(dòng)的可能因素:發(fā)射不確定因素、起旋系統(tǒng)的不同軸性、能量耗散、初始擾動(dòng)、馬格努斯力和力矩等。為進(jìn)一步了解錐形運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的原因，1970年Tobak采用風(fēng)洞試驗(yàn)的方法證明了馬格努斯力和力矩是產(chǎn)生極限圓錐運(yùn)動(dòng)的主要原因之一。1972年Schiff［6］采用旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系解穩(wěn)態(tài)歐拉方程，計(jì)算了圓錐體圓錐運(yùn)動(dòng)中的超音速非黏性的流場。在此基礎(chǔ)上，Nicolaides［7］通過理論推導(dǎo)和風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)證明了旋轉(zhuǎn)誘導(dǎo)產(chǎn)生的面外力和面外力矩是產(chǎn)生錐形運(yùn)動(dòng)的直接原因。此后，很多學(xué)者又通過不同的方法針對錐形運(yùn)動(dòng)的機(jī)理開展了更加深入的研究。趙良玉［8］探討了圓錐運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性判別與彈道仿真一體化的分析方法，提出通過判斷速度最大點(diǎn)的圓錐運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性來評(píng)估整個(gè)飛行過程中的圓錐運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性態(tài)勢。李奉昌［9］采用奇點(diǎn)理論與振幅平面方程推導(dǎo)了非對稱赤道阻尼力矩作用下產(chǎn)生極限圓錐運(yùn)動(dòng)的條件;還有一些學(xué)者［10-12］直接利用剛體導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)方程結(jié)合李雅普諾夫方法及勞斯判據(jù)，對錐形運(yùn)動(dòng)及其運(yùn)動(dòng)發(fā)散的條件進(jìn)行研究和數(shù)值仿真，但都沒有從陀螺效應(yīng)的角度直接對錐形運(yùn)動(dòng)的生成機(jī)理和運(yùn)動(dòng)方式進(jìn)行分析，因此有必要從導(dǎo)彈錐形運(yùn)動(dòng)控制的需求出發(fā)，研究基于錐形運(yùn)動(dòng)控制的穩(wěn)定性判定方法，為導(dǎo)彈速度控制的方案設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

1 導(dǎo)彈速度控制的姿態(tài)穩(wěn)定性分析

錐形運(yùn)動(dòng)一般有全攻角和復(fù)攻角［13］兩種數(shù)學(xué)描述方法，在國內(nèi)外現(xiàn)有文獻(xiàn)中，采用復(fù)攻角方法研究導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)及穩(wěn)定性的成果較多，主要是通過將彈體運(yùn)動(dòng)分為長周期運(yùn)動(dòng)(質(zhì)心運(yùn)動(dòng))和短周期運(yùn)動(dòng)(姿態(tài)運(yùn)動(dòng))［14］，分析彈體的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)特性，并將彈體繞質(zhì)心的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)近似為攻角運(yùn)動(dòng)，這種錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的研究方法對低空彈道是行之有效的。

在錐形運(yùn)動(dòng)控制中，采用如圖1所示的控制結(jié)構(gòu)，其中ωn為阻尼回路的穿越頻率，nyc，ny分別為飛行控制系統(tǒng)俯仰通道的過載指令和實(shí)際過載;Kω，Ka為控制參數(shù)，Gp(s)，Gg(s)，Ga(s)分別表示舵機(jī)環(huán)節(jié)、角速率陀螺、加速度計(jì)傳遞函數(shù)，均看作放大系數(shù)為1的比例環(huán)節(jié)。錐形運(yùn)動(dòng)彈體模型的詳細(xì)推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)［15］。為分析控制系統(tǒng)對彈體穩(wěn)定性的影響，將制導(dǎo)控制環(huán)節(jié)作為彈體攻角方程的一部分，采用李雅普諾夫穩(wěn)定性判定方法分析彈體的穩(wěn)定特性。

圖1 導(dǎo)彈縱向通道控制結(jié)構(gòu)Fig.1 Control structure of the missile longitudinal channel

1.1 控制回路對導(dǎo)彈的影響分析

通常導(dǎo)彈采用軸對稱氣動(dòng)布局，因而縱向與側(cè)向通道的控制結(jié)構(gòu)相同，錐形運(yùn)動(dòng)控制的控制律為

導(dǎo)彈的實(shí)際過載可表示為

導(dǎo)彈錐形運(yùn)動(dòng)控制的導(dǎo)引指令包括兩部分，分別為錐形運(yùn)動(dòng)指令和比例導(dǎo)引指令，如式(2)所示，其中錐形運(yùn)動(dòng)指令在縱向和側(cè)向平面分別采用正弦和余弦的過載指令。

式中，ω為交變角速度，nδ為指令攻角對應(yīng)的過載指令。將式(2)帶入式(1)可得:

令Φ=θV+iφ，下標(biāo)C表示復(fù)平面的控制信息，則δC=δzc+δyc·i，nC=nyc+nzc·i，ωC=ωz+ωy·i。將式(3)合并可得復(fù)平面的控制律:

由導(dǎo)彈復(fù)平面的姿態(tài)關(guān)系，文獻(xiàn)［15］通過詳細(xì)的推導(dǎo)得到如下關(guān)系:

忽略馬氏力a13等小量，可得

將式(7)代入式(4)，化簡可得

將式(8)帶入式(6)，消去δC，可得關(guān)于復(fù)攻角的二階非齊次微分方程

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指彈體受到干擾后，長周期和短周期運(yùn)動(dòng)幅值均具有收斂趨勢，從數(shù)學(xué)意義講，就是要求齊次運(yùn)動(dòng)方程特征根具有負(fù)實(shí)部。對于上式所示的非齊次運(yùn)動(dòng)方程，其穩(wěn)定性可以通過齊次微分方程的特征根判定。

為方便推導(dǎo)，定義

定義x=［Φσ˙σ］T，可得狀態(tài)方程:

式(10)的特征多項(xiàng)式為

根據(jù)數(shù)值分析理論［16］，式(12)的所有特征根均在復(fù)平面負(fù)半軸的充分必要條件為

忽略與b22的乘積項(xiàng)，整理可得:

第二種形式可表示為

由于p1p2-p3〉0，因此彈體穩(wěn)定性條件為

進(jìn)一步整理可得

穩(wěn)定性條件式(15)具有明顯的物理意義:即要求做錐形運(yùn)動(dòng)時(shí)保持彈體復(fù)攻角σ所需的控制力矩必須大于復(fù)攻角σ產(chǎn)生的氣動(dòng)力不穩(wěn)定力矩，才能保證導(dǎo)彈受到干擾后依然能夠回到初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在實(shí)際情況中，導(dǎo)彈控制系統(tǒng)不僅要求滿足穩(wěn)定性條件，還必須:①具有一定的穩(wěn)定裕度，以提高系統(tǒng)抗干擾能力;②補(bǔ)償系統(tǒng)元件慣性和彈性特性;③具有較好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，即較快的收斂特性和較小的過渡時(shí)間和超調(diào)量等。

1.2 阻尼回路對導(dǎo)彈的影響分析

根據(jù)式(15)推導(dǎo)得到的錐形運(yùn)動(dòng)控制穩(wěn)定性必要條件，采用基于增益調(diào)度的自適應(yīng)控制方法［17］設(shè)計(jì)飛行控制系統(tǒng)控制回路的控制參數(shù)Kα。令Kα保持不變，對比不同阻尼回路控制參數(shù)對彈體穩(wěn)定性的影響。以表1所示的特征點(diǎn)為例研究控制系統(tǒng)性能，根據(jù)式(15)所示的穩(wěn)定性判定方法，若基于錐形運(yùn)動(dòng)控制的導(dǎo)彈能夠保持穩(wěn)定，阻尼回路參數(shù)Kω必須大于0.12。

表1 導(dǎo)彈某特征點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)系數(shù)Tab.1 Dynamic coefficients of a feature point

分別選取Kω=0.2和Kω=0.1，繪制特征點(diǎn)控制系統(tǒng)的頻域響應(yīng)曲線，結(jié)果如圖2、圖3所示。

以某一段彈道為例進(jìn)行錐形運(yùn)動(dòng)控制仿真，過載指令僅包含保持錐形運(yùn)動(dòng)的控制指令，復(fù)攻角的變化曲線如圖4、圖5所示。

由仿真結(jié)果可見，當(dāng)控制參數(shù)Kω滿足式(7)的邊界條件時(shí)，導(dǎo)彈錐形運(yùn)動(dòng)能夠保持彈體穩(wěn)定。反之，若控制參數(shù)Kω不滿足條件，則復(fù)攻角呈發(fā)散趨勢，彈體出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象。

圖2 Kω=0.2時(shí)的頻域響應(yīng)曲線Fig.2 Frequency response curve when Kω=0.2

圖3 Kω=0.1時(shí)的頻域響應(yīng)曲線Fig.3 Frequency response curve when Kω=0.1

圖4 Kω=0.2時(shí)的復(fù)攻角變化曲線Fig.4 Curve of the complex attack angle when Kω=0.2

2 基于錐形運(yùn)動(dòng)控制的彈道仿真

以導(dǎo)彈末制導(dǎo)為例研究錐形運(yùn)動(dòng)控制對彈體穩(wěn)定性的影響。假設(shè)末制導(dǎo)時(shí)的初速為450m/s，初始位置(0，10km，0)，初始彈道傾角-20°，彈道偏角0°，目標(biāo)位置(14km，10km，0)。根據(jù)式(15)所示的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性判定方法，繪制控制器參數(shù)Kα，Kω的關(guān)系曲線，建立控制系統(tǒng)的邊界條件，如圖6所示。當(dāng)控制器參數(shù)位于圖中空白區(qū)域內(nèi)時(shí)，導(dǎo)彈的復(fù)攻角將保持收斂趨勢，反之將發(fā)生發(fā)散現(xiàn)象。

圖5 Kω=0.1時(shí)的復(fù)攻角變化曲線Fig.5 Curve of the complex attack angle when Kω=0.1

圖6 控制系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)間Fig.6 Stable range of the control system

如圖7所示，導(dǎo)彈攻角始終繞速度矢量旋轉(zhuǎn)，形成了一個(gè)以速度矢量為中心的圓錐面，導(dǎo)彈保持錐形運(yùn)動(dòng)飛行。

如圖9所示，相比于單純的比例導(dǎo)引，導(dǎo)彈飛行速度大幅降低。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的控制器能夠克服干擾，使姿態(tài)角偏差限制在容許范圍內(nèi)，并根據(jù)導(dǎo)引指令改變彈體姿態(tài)，滿足控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的邊界條件。

作為對比，降低控制器帶寬，設(shè)計(jì)不滿足穩(wěn)定性的邊界條件的控制器，取Kω=0.5，Kα=0.3，仿真結(jié)果如圖10至圖12所示。

圖7 復(fù)攻角的變化曲線Fig.7 Curve of the change of the complex attack angle

圖8 彈道傾角與時(shí)間的關(guān)系Fig.8 Relation between missile flying-path angle and time

圖9 速度與時(shí)間的關(guān)系Fig.9 Relation between missile velocity and time

阻尼回路的作用是提高系統(tǒng)阻尼，增強(qiáng)彈體的飛行穩(wěn)定性，使彈體在受到干擾后依然能夠恢復(fù)到原來的穩(wěn)定狀態(tài)，因此必須設(shè)計(jì)合理的控制參數(shù)。當(dāng)控制回路的控制參數(shù)Kα位于不穩(wěn)定區(qū)間時(shí)，由圖11、圖12仿真結(jié)果可見，起始10s內(nèi)，導(dǎo)彈僅采用比例導(dǎo)引，尚未加入錐形運(yùn)動(dòng)導(dǎo)引指令時(shí)，俯仰、偏航通道的過載跟蹤曲線逐漸偏離，特別是錐形運(yùn)動(dòng)開始后，導(dǎo)彈雖然能夠保持相對穩(wěn)定，但與設(shè)計(jì)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)，出現(xiàn)明顯的控制偏差，導(dǎo)彈在做第八個(gè)圓錐運(yùn)動(dòng)時(shí)，偏航過載指令曲線發(fā)散，說明所設(shè)計(jì)的控制器不能實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈錐形運(yùn)動(dòng)控制。將圖10和圖7的復(fù)攻角結(jié)果仿真對比可以看出，控制參數(shù)分別位于穩(wěn)定與不穩(wěn)定區(qū)域的控制器具有完全不同的控制性能，驗(yàn)證了該導(dǎo)彈穩(wěn)定性判定方法的可行性。

圖10 復(fù)攻角的變化曲線Fig.10 Curve of the change of the complex attack angle

圖11 俯仰通道的過載曲線Fig.11 Curve of overload in pitch channel

圖12 偏航通道的過載曲線Fig.12 Curve of overload in yaw channel

3 結(jié)論

本文從錐形運(yùn)動(dòng)控制降低導(dǎo)彈飛行速度的需求出發(fā)，開展了導(dǎo)彈錐形運(yùn)動(dòng)控制的穩(wěn)定性判定方法研究，建立了導(dǎo)彈錐形運(yùn)動(dòng)的控制模型，揭示了控制系統(tǒng)阻尼回路和控制回路對提高導(dǎo)彈錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律，提出了一種判定導(dǎo)彈控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。該方法結(jié)構(gòu)簡單、思路清晰，能夠適應(yīng)工程實(shí)踐的應(yīng)用要求，可以用來判定導(dǎo)彈錐形運(yùn)動(dòng)控制時(shí)的控制器穩(wěn)定性，為導(dǎo)彈錐形運(yùn)動(dòng)的制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)。

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