波流信號(hào)交叉譜估計(jì)方法比較*

張 瑞 類淑河, 管長龍 王 紅

(1. 中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 青島 266100; 2. 中國海洋大學(xué)物理海洋實(shí)驗(yàn)室 青島 266100)

海洋中波浪和海流幾乎總是同時(shí)存在。大到錢塘江的怒潮,小到近海浮游生物的“隨波逐流”都與波流相互作用有密不可分的關(guān)系(高山,2003)。理論分析、數(shù)值模擬、實(shí)驗(yàn)研究和現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)等多種手段被廣泛用于研究波流相互作用。一般來說,波浪主要通過海面風(fēng)應(yīng)力、波致輻射應(yīng)力和底應(yīng)力等影響海流。海流則主要通過水深變化和隨時(shí)空變化的流場(chǎng)影響波浪。兩者相互作用的影響極為廣泛,例如,流使波浪及波浪譜變形、流浪場(chǎng)的相互作用、波和流影響結(jié)構(gòu)物載荷、運(yùn)動(dòng)及被動(dòng)標(biāo)量運(yùn)輸?shù)?王濤等,1999)。通過波流相互作用的深入討論,可以更好地解釋海洋動(dòng)力現(xiàn)象及其演變過程。

交叉譜(cross-spectrum)可視為互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。作為一種統(tǒng)計(jì)工具,它可用于分析不同時(shí)間序列對(duì)應(yīng)頻率分量之間的相互關(guān)系。由交叉譜得到的凝聚譜可刻畫兩個(gè)序列在頻域內(nèi)的相關(guān)性。在物理海洋方面,這些統(tǒng)計(jì)工具盡管已被應(yīng)用于海流的相互作用研究,但是用于探討波流相互作用的研究工作仍相對(duì)較少。袁耀初等(2002)基于南海東北部錨定測(cè)流站450m以淺長達(dá)77d的Long Ranger ADCP測(cè)流資料以及2000m與2300m處長達(dá)7個(gè)月左右的測(cè)流資料,通過加窗周期圖法進(jìn)行交叉譜估計(jì),發(fā)現(xiàn)2000m與2300m流速時(shí)間序列在周期為2個(gè)多月和1個(gè)多月的振動(dòng)有很好的相關(guān)性,100m與2300m流速時(shí)間序列在周期為15.5d和2d等的振動(dòng)有很好的相關(guān)性。McKone(2003)基于IAS(Intra-Americas Sea)不同地點(diǎn)的 NLOM模擬海流數(shù)據(jù),采用 Welch方法和MTM 方法進(jìn)行交叉譜估計(jì),發(fā)現(xiàn)年周期振動(dòng)均存在強(qiáng)烈的相關(guān)性,其中一部分地點(diǎn)之間在9、6、4、2.4個(gè)月周期振動(dòng)也存在相關(guān)性,而采用帶通濾波器濾掉年周期信號(hào)后,4個(gè)月和2.4個(gè)月已不存在相關(guān)性,6個(gè)月的相關(guān)性程度也明顯減弱。

實(shí)際觀測(cè)中,得到的時(shí)間序列長度是有限且離散的。交叉譜分析把有限長度數(shù)據(jù)得到的交叉譜估計(jì)作為真實(shí)譜的近似。交叉譜估計(jì)方法大致可分為非參數(shù)方法和參數(shù)方法兩類。非參數(shù)估計(jì)方法包括周期圖法(Jenkinset al,1968)、Welch方法(Welch,1967;Carter,1987)、多窗譜方法(Multitaper Method,簡稱“MTM方法”)(Thomson,1982)、最小方差無失真響應(yīng)方法(The Minimum Variance Distortionless Response Method,簡稱“MVDR 方法”) (Benestyet al,2005)等。參數(shù)估計(jì)方法主要針對(duì)AR模型、MA模型、ARMA模型等進(jìn)行參數(shù)建模,具體的方法包括最大熵估計(jì)方法(Strand,1977)、協(xié)方差法(Kay,1988)等。參數(shù)交叉譜估計(jì)方法雖然具有一些優(yōu)勢(shì)如提高了頻率分辨率等,但其統(tǒng)計(jì)性能很難從數(shù)學(xué)上給出解析式,相比之下非參數(shù)估計(jì)方法應(yīng)用更加廣泛。一種好的譜估計(jì)方法不一定對(duì)任何場(chǎng)合都有良好的估計(jì)性能,應(yīng)依據(jù)具體應(yīng)用實(shí)例選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?黃建國,1991)。采用多種方法進(jìn)行交叉譜估計(jì)并對(duì)比選擇,可以避免對(duì)偽峰的誤識(shí)別,有望給出更合理的結(jié)果。

本文主要目標(biāo)是尋找適合于波流信號(hào)的交叉譜估計(jì)方法。第一部分介紹三種主要的非參數(shù)交叉譜估計(jì)方法,即Welch方法、MTM方法和MVDR方法。第二部分利用數(shù)值模擬,從相關(guān)信號(hào)的檢測(cè)能力和分辨能力兩個(gè)方面對(duì)三種方法進(jìn)行了比較。第三部分給出風(fēng)浪實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)凝聚譜估計(jì),并對(duì)三種方法的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行分析比較。第四部分給出相應(yīng)的結(jié)論與討論。

1 交叉譜及其估計(jì)方法

1.1 交叉譜及相關(guān)概念

設(shè)二維零均值平穩(wěn)時(shí)間序列{Xt,Yt},t= 0,±1,±2,???,則Xt與Yt的互相關(guān)函數(shù)定義為

其中E[]表示數(shù)學(xué)期望。

交叉譜一般是復(fù)值的,單位為(Xt的單位)(Yt的單位)/(頻率單位Hz)。寫成極坐標(biāo)形式為

其中αXY(f)為交振幅譜(cross-amplitude spectrum),表示Xt、Yt在頻率f上的相關(guān)程度。

為排除量綱的影響,對(duì)交振幅譜標(biāo)準(zhǔn)化并引入相干譜 (coherency spectrum)。記Xt的單譜為SXX(f),Yt的單譜為SYY(f),則兩信號(hào)的相干譜可表示為

相干譜表征了Xt、Yt在頻率f上的相關(guān)程度大小,在頻域內(nèi)刻畫了兩個(gè)序列的相關(guān)性。粗略地講,相干譜為頻域上的相關(guān)系數(shù)。

實(shí)際應(yīng)用中,多采用相干譜的平方表示頻域內(nèi)信號(hào)之間的相關(guān)性,稱為凝聚譜(magnitude-squared coherence),其表達(dá)式為:

顯然,相干譜與凝聚譜都是無量綱的,在[0,1]區(qū)間內(nèi)取值。該值越接近于 1,表明二者在相應(yīng)頻率分量上的相關(guān)性越強(qiáng)。特別地,若wXY(f)=0或Msc(f)=0,說明Xt、Yt在頻率f上是不相關(guān)的; 若對(duì)所有頻率均有wXY(f)=1或 Msc(f)=1,說明Xt和Yt在頻域上是完全相關(guān)的。

1.2 交叉譜估計(jì)

類似于單個(gè)信號(hào)的譜估計(jì),周期圖法是估計(jì)交叉譜的基本方法,但其估計(jì)方差往往較大,且容易造成頻譜泄漏。

Welch方法是經(jīng)典的交叉譜估計(jì)方法。其基本思想是: 先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分段(允許其間有重疊),然后對(duì)每一段數(shù)據(jù)進(jìn)行加窗交叉譜估計(jì),最后對(duì)各段交叉譜求平均。這種方法對(duì)周期圖法進(jìn)行了改進(jìn): 一方面通過分段估計(jì)再取平均,提高了交叉譜估計(jì)的自由度,從而減小了誤差; 另一方面通過加窗減少泄露,從而降低了估計(jì)偏差。

MTM方法的基本思想是以一簇?cái)?shù)據(jù)窗代替單一數(shù)據(jù)窗,對(duì)每一數(shù)據(jù)窗所構(gòu)成的時(shí)間序列進(jìn)行傅里葉變換,再加權(quán)平均。數(shù)據(jù)窗可采用正交離散扁長的球體序列(Discrete Prolate Spheroidal Sequences)。與Welch方法相比,MTM方法不需要主觀定義分辨率,而且交叉譜估計(jì)的自由度大于 2,有效地減小了估計(jì)的誤差和偏差。

MVDR方法(Capon,1969)在陣列信號(hào)中有廣泛的應(yīng)用,其基本思想是保證期望方向上的陣列響應(yīng),同時(shí)減少陣列輸出中的干擾,從而改善天線陣列的分辨率。MVDR方法亦可用于交叉譜和凝聚譜估計(jì),且比Welch方法分辨率更高(Benestyet al,2005)。特別地,可選取傅里葉矩陣這一特殊的酉陣進(jìn)行凝聚譜估計(jì)。

若已估計(jì)出交叉譜和單譜,可進(jìn)一步估計(jì)交振幅譜、相干譜和凝聚譜。記交叉譜估計(jì)為?XY(f),Xt,Yt的單譜估計(jì)相應(yīng)為?XX(f)、?YY(f),則交振幅譜估計(jì)可表示為

相干譜估計(jì)可表示為

凝聚譜估計(jì)可表示為

以往的研究(Koopmans,1974; Bortelet al,2007;Galletet al,2011)詳細(xì)討論了凝聚譜的臨界值: 采取Welch方法進(jìn)行估計(jì)時(shí),每段有 50%的重疊且使用Hanning窗,則漸近服從自由度為的χ2分布(Percivalet al,1993)。這一結(jié)果可用于凝聚譜的非零相關(guān)性檢驗(yàn): 在顯著性水平α下,凝聚譜估計(jì)的臨界值為 1–α2/(ν–2),其中ν為自由度,超過這一臨界值,可以認(rèn)為兩序列在相應(yīng)頻率上顯著相關(guān)。

2 模擬數(shù)據(jù)分析

為比較三種估計(jì)方法的相關(guān)信號(hào)的檢測(cè)能力和頻率分辨能力,同時(shí)驗(yàn)證前面的臨界值結(jié)果,參考前人的研究(Benestyet al,2005),進(jìn)行了一系列數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)。

模擬時(shí)間序列Xt,Yt由下式產(chǎn)生

其中n,m,r為正整數(shù),Ai,Bi,Ci,Di為有理數(shù),ε1,t,ε2,t是獨(dú)立的高斯白噪聲過程且其期望為0。在Yt中,相位φ1,φ2,???,φn是隨機(jī)變量。Xt和Yt的相同頻率為fi,i=1,2,???,n,Xt的特有頻率為fjx,j=1,2,???,m,Yt的特有頻率為fjy,j=1,2,???,r。則理論凝聚譜為

這里給出三對(duì)模擬結(jié)果:

第一對(duì)序列長度取1024,采樣頻率為1Hz,Ai,Bi,Ci,Di均為1。選取兩者的相同頻率為f1=0.10,f2=0.20,f3=0.21,f4=0.22,f5=0.23,f6=0.24;f7=0.45,Xt的特有頻率為f1x=0.07,Yt的特有頻率為f1y=0.32。其中頻率f2、f3、f4、f5和f6非?？拷?這樣便于考察各方法的頻率分辨能力。分別采用Welch方法(Hanning窗,窗長度256)、MTM方法 (分辨率帶寬4/1024)、MVDR方法(窗寬 256,分辨率為 400) 進(jìn)行凝聚譜估計(jì),并做非零相關(guān)性檢驗(yàn)。在顯著性水平0.05下,得到的臨界值為0.41,具體結(jié)果如圖1中a、b、c所示。

圖1 凝聚譜估計(jì) (三對(duì)數(shù)值模擬)Fig.1 Estimation on magnitude-squared coherence (numerical simulation on three pairs of data)a、b、c分別為Welch、MTM、MVDR方法對(duì)第一對(duì)模擬數(shù)據(jù)的凝聚譜估計(jì); d、e、f分別為Welch、MTM、MVDR方法對(duì)第二對(duì)模擬數(shù)據(jù)的凝聚譜估計(jì);g、h、i分別為Welch、MTM、MVDR方法對(duì)第三對(duì)模擬數(shù)據(jù)的凝聚譜估計(jì)

第二對(duì)改變序列長度為4096。做非零相關(guān)性檢驗(yàn),在顯著性水平0.05下,臨界值為0.10,具體結(jié)果如圖1中d、e、f所示。

第三對(duì)序列增加特有頻率的個(gè)數(shù),Xt的特有頻率為f1x=0.07;f1x=0.30;f1x=0.40,Yt的特有頻率為f1y=0.01;f1y=0.15;f1y=0.48。做非零相關(guān)性檢驗(yàn),在顯著性水平0.05下,臨界值為0.41。結(jié)果如圖1中g(shù)、h、i所示。

相關(guān)信號(hào)的檢測(cè)能力可通過觀察顯著相關(guān)的頻率是否能夠被檢測(cè)出來進(jìn)行判斷。當(dāng)凝聚譜估計(jì)值大于臨界值時(shí),相應(yīng)分量是顯著相關(guān)的。由圖1可以看出,三種方法均能檢測(cè)出存在相關(guān)性的頻率,但Welch方法和MTM方法的估計(jì)結(jié)果存在偽峰。

可通過考查相近且相關(guān)程度相同的頻率分量并觀察其凝聚譜估計(jì)曲線是否存在兩個(gè)對(duì)應(yīng)的可分辨的尖峰來衡量分辨能力。由圖1可知,在相近的頻率f2、f3、f4、f5、f6上,MVDR方法的估計(jì)譜能夠清晰地分辨每一個(gè)頻率點(diǎn),每個(gè)頻率點(diǎn)上的峰狹窄且互不交疊; Welch方法的估計(jì)譜可以勉強(qiáng)分辨出存在相關(guān)的頻率點(diǎn),但是一些譜峰連在一起; MTM 方法的估計(jì)結(jié)果也能夠顯示出具有相關(guān)性的頻率點(diǎn),但其峰較寬,分辨率介于MVDR和Welch兩種方法之間。

此外,在第一對(duì)數(shù)值模擬的基礎(chǔ)上,從改變模擬數(shù)據(jù)長度、變換共有頻率、增加特有頻率的個(gè)數(shù)、改變振幅系數(shù)、加大噪聲方差等方面進(jìn)行了系統(tǒng)的模擬。結(jié)論與以上實(shí)驗(yàn)類似: MVDR方法的分辨率最高,不易出現(xiàn)偽峰; Welch方法分辨率較差,容易出現(xiàn)偽峰; MTM方法的估計(jì)性能介于兩者之間。

3 實(shí)驗(yàn)室波流數(shù)據(jù)分析

3.1 數(shù)據(jù)及其預(yù)處理

為了解以上三種方法在具體應(yīng)用中的差異,我們?cè)谥袊Ｑ蟠髮W(xué)物理海洋實(shí)驗(yàn)室的大型風(fēng)-浪-流水槽中進(jìn)行了波流實(shí)驗(yàn)。水槽長65m,寬1.2m,高1.5m,實(shí)驗(yàn)時(shí)水深0.7m左右。分別選定距離出風(fēng)口30m、34.2m、39.7m三個(gè)風(fēng)區(qū)位置進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。在每個(gè)風(fēng)區(qū)位置,風(fēng)速分別設(shè)定為6.35、7.0、7.5、8.0和9.0m/s,實(shí)測(cè)風(fēng)速在設(shè)定水平上下 5%—10%范圍內(nèi)波動(dòng)。波面位移采用實(shí)驗(yàn)室自主研發(fā)的 OUC-2型鉭絲測(cè)波儀(以下簡稱“測(cè)波儀”)測(cè)量,采樣頻率約為26.78Hz。水下的流速采用聲學(xué)多普勒流速測(cè)量儀(以下簡稱“ADV”)測(cè)量,可探測(cè)探頭下方 10cm 位置的三維流速,測(cè)量深度分別位于15、20、25、30、35和40cm,垂直方向有重復(fù)觀測(cè),采樣頻率為25Hz。實(shí)驗(yàn)時(shí),先開動(dòng)流機(jī),機(jī)械造波 5分鐘,然后攪動(dòng)水槽內(nèi)的水體,使水中雜質(zhì)均勻散布于水體中。為便于ADV測(cè)量,流機(jī)流速范圍設(shè)定為 0—40cm/s。之后停止機(jī)械造波,待水面平靜后,設(shè)定風(fēng)速,并啟動(dòng)風(fēng)機(jī)造風(fēng)。波面起伏平穩(wěn)后,同步開始測(cè)波儀、ADV的數(shù)據(jù)采集,測(cè)量記錄波面位移與水下給定深度處的流速。受到測(cè)波儀處理記錄的限制,每次記錄時(shí)間長度為10分鐘(類淑河,2010)。

不失一般性,選取其中三對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)信號(hào)進(jìn)行研究。第一對(duì)是風(fēng)區(qū)長度39.7m、風(fēng)速6.35m/s、ADV探頭深度 20cm情形下的波面位移和鉛直流速信號(hào),記為pair I。第二對(duì)是風(fēng)區(qū)長度34.2m、風(fēng)速8.0m/s、ADV探頭深度 25cm情形下的波面位移和鉛直流速信號(hào),記為 pair II。第三對(duì)是風(fēng)區(qū)長度 30m、風(fēng)速9.0m/s、ADV探頭深度40cm情形下的波面位移和鉛直流速信號(hào),記為pair III。其中波面位移時(shí)間序列有15000個(gè)點(diǎn),鉛直流速時(shí)間序列約有14000個(gè)點(diǎn)。為進(jìn)行交叉譜分析,對(duì)鉛直流速序列進(jìn)行線性插值,使其與波面位移的15000個(gè)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。鑒于流速數(shù)據(jù)不平穩(wěn),所以采用 Butterworth濾波器濾去頻率小于0.5Hz的信號(hào),即去除低頻信號(hào),然后對(duì)波面位移和預(yù)處理之后的鉛直流速序列進(jìn)行零均值化處理。

3.2 凝聚譜估計(jì)

由于實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)足夠長,研究中首先將數(shù)據(jù)均進(jìn)行分段。每段包括1024個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn),且相互無重疊,由此共分為14段。對(duì)每段數(shù)據(jù)分別用Welch方法、MTM方法、MVDR方法進(jìn)行凝聚譜估計(jì),參數(shù)選擇與模擬數(shù)據(jù)分析相同。最后對(duì)14段凝聚譜估計(jì)取平均,并進(jìn)行非零相關(guān)性檢驗(yàn),在顯著性水平 0.05下,得到的臨界值為 0.054。三對(duì)信號(hào)的平均凝聚譜估計(jì)結(jié)果如圖2所示。

不難看出,Welch和MTM方法的估計(jì)結(jié)果相近,在整個(gè)可識(shí)別頻率范圍內(nèi)凝聚譜的估計(jì)值均高于臨界值,是顯著相關(guān)的。MVDR方法給出的估計(jì)在譜峰頻率fp附近即主導(dǎo)波頻段內(nèi)(Babanin,2009)與 Welch和MTM 方法的估計(jì)結(jié)果走勢(shì)一致,估計(jì)值略低,但在高頻段,大約在1.5fp之后,有一個(gè)明顯的指數(shù)衰減趨勢(shì),而在3fp之后,凝聚譜估計(jì)值小于臨界值,相關(guān)性不顯著。

分別對(duì)三對(duì)實(shí)驗(yàn)信號(hào)采用Welch、MTM、MVDR方法估計(jì)得到的14段凝聚譜對(duì)應(yīng)譜值求方差后再取平均,得到各自的平均方差。第一對(duì)信號(hào)三種方法對(duì)應(yīng)的平均方差分別為 0.0318、0.0272、0.0178; 第二對(duì)信號(hào)分別為 0.0260、0.0208、0.0139; 第三對(duì)信號(hào)則為 0.0319、0.0266、0.0194。顯然,MVDR方法得到的平均方差最小,此方法最穩(wěn)定。

圖2 三對(duì)風(fēng)浪實(shí)驗(yàn)信號(hào)的凝聚譜估計(jì)Fig.2 Estimation on magnitude-squared coherence of three pairs of wind-wave experiment data a、b、c分別為 pair I、pair II、pair III 實(shí)驗(yàn)信號(hào)的凝聚譜估計(jì)

三種方法給出的凝聚譜估計(jì)均表明波流信號(hào)在主導(dǎo)波頻段上存在顯著的相關(guān)性。然而高頻段的信號(hào)極容易被噪聲干擾甚至掩蓋。就此實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)而言,并不能判斷高頻段波流信號(hào)是否一直存在顯著的相關(guān)。另一方面,模擬數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn),MVDR方法提供的估計(jì)有更強(qiáng)的頻率識(shí)別與分辨能力; 且實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析表明,MVDR方法得到的平均方差最小,估計(jì)結(jié)果更穩(wěn)定。因而,在這三種方法提供的凝聚譜估計(jì)中,MVDR方法的估計(jì)結(jié)果更為可靠,即波流信號(hào)僅在主導(dǎo)波波段內(nèi)存在顯著相關(guān)性。

圖 3中分別給出了三對(duì)數(shù)據(jù)的波面位移單譜估計(jì)、鉛直流速單譜估計(jì)和 MVDR方法給出的凝聚譜估計(jì)(為便于比較,估計(jì)結(jié)果均取對(duì)數(shù))。由圖可知,波面譜只有一個(gè)尖峭的主峰,與鉛直流速譜譜形相似。凝聚譜與兩個(gè)單譜的譜形走勢(shì)大體一致,但譜峰較寬,在稍高于譜峰對(duì)應(yīng)的頻率的較寬的頻段內(nèi),仍保持較高的凝聚譜譜值。這表明,在這一頻率范圍內(nèi),表面波動(dòng)與水下鉛直流速存在很強(qiáng)的相關(guān)性。

4 討論與結(jié)語

圖3 三對(duì)風(fēng)浪實(shí)驗(yàn)信號(hào)的波面位移譜估計(jì)、鉛直流速譜估計(jì)、凝聚譜估計(jì)Fig.3 Estimation of wave spectrum,current spectrum,and magnitude-squared coherence of three pairs of wind-wave experiment data a、b、c分別為pair I、pair II、pair III的波面位移譜估計(jì); d、e、f分別為pair I、pair II、pair III的鉛直流速譜估計(jì); g、h、i分別為pair I、pair II、pair III的凝聚譜估計(jì)

本文討論了Welch、MTM和MVDR三種交叉譜估計(jì)方法,在波流信號(hào)相關(guān)性分析中的應(yīng)用,并通過數(shù)值模擬,從檢測(cè)相關(guān)信號(hào)能力和分辨率能力兩個(gè)方面評(píng)估了三種估計(jì)方法的性能。我們發(fā)現(xiàn),Welch方法能夠鑒別出相近的相關(guān)頻率,但分辨率不高,且容易出現(xiàn)偽峰; MTM方法出現(xiàn)的偽峰較Welch方法少,分辨率能力仍較差; 而 MVDR方法既能夠檢測(cè)到相關(guān)信號(hào),又不容易出現(xiàn)偽峰,分辨率較高,在三種方法中估計(jì)性能最優(yōu)。

分別采用三種方法估計(jì)了實(shí)驗(yàn)室三對(duì)波面位移與鉛直流速信號(hào)的凝聚譜。結(jié)果表明,在以譜峰頻率為中心的主導(dǎo)波頻段,三種方法給出的凝聚譜估計(jì)結(jié)果相近,均高于臨界值,表明波流信號(hào)在此頻率區(qū)間內(nèi)顯著相關(guān)。在高頻段,估計(jì)結(jié)果存在差異。在高于1.5fp之后的頻段,MVDR給出的估計(jì)有衰減趨勢(shì),在 3fp之后變得不顯著,而 Welch方法和 MTM 方法給出的凝聚譜卻在整個(gè)高頻段均大于臨界值,即使在很高的頻段上,波流信號(hào)仍顯著相關(guān)。本文研究表明,MVDR的估計(jì)結(jié)果更加合理。

在進(jìn)行交叉譜估計(jì)和單譜估計(jì)時(shí),各種估計(jì)方法都面臨諸多參數(shù)選擇問題,如Welch方法中窗寬、重疊比例與窗類型的選取。選擇的參數(shù)不同,估計(jì)結(jié)果也會(huì)有差異。Priestley(1981)指出,相對(duì)于窗類型和重疊比例的選擇,截?cái)帱c(diǎn)即窗寬的選取對(duì)估計(jì)結(jié)果影響更大。我們數(shù)值模擬的結(jié)果也表明,選擇不同的窗、變換重疊比例等,估計(jì)結(jié)果變化不大,但改變窗寬,得到的估計(jì)結(jié)果會(huì)有明顯不同。另外,在進(jìn)行非零相關(guān)性檢驗(yàn)時(shí),臨界值是通過Welch方法估計(jì)的自由度進(jìn)行檢驗(yàn)的,而對(duì)于MTM方法和MVDR方法來說,這一臨界值是否適合,還有待進(jìn)一步驗(yàn)證。

在實(shí)驗(yàn)室波流信號(hào)相關(guān)性分析的討論中,僅采用了具有代表性的三對(duì)數(shù)據(jù),得到的一些物理海洋方面的結(jié)論可能不具有一般性,需要在未來的工作中深入研究。

王 濤,李家春,1999. 波流相互作用研究進(jìn)展. 力學(xué)進(jìn)展,29(3): 331—343

類淑河,2010. 風(fēng)浪破碎的隨機(jī)性、非線性和能量耗散特征研究. 青島: 中國海洋大學(xué)博士學(xué)位論文

袁耀初,趙進(jìn)平,王惠群等,2002. 南海東北部450m以淺水層與深層海流觀測(cè)結(jié)果及其譜分析. 中國科學(xué)(D輯),32(2):163—176

高 山,2003. 二維數(shù)值波浪水槽模式的建立和應(yīng)用及浪流相互作用研究. 青島: 中國海洋大學(xué)博士學(xué)位論文

黃建國,1991. 現(xiàn)代譜分析的發(fā)展及應(yīng)用(二). 數(shù)據(jù)采集與處理,6(1): 33—45

Babanin A V,2009. Breaking of ocean surface waves. Acta Physica Slovaca,59(4): 305—535

Benesty J,Chen J D,Huang Y A,2005. A generalized MVDR spectrum. IEEE Signal Processing Letters,12(12): 827—830

Bortel R,Sovka P,2007. Approximation of statistical distribution of magnitude squared coherence estimated with segment overlapping. Signal Processing,87(5): 1100—1117

Capon J,1969. High-resolution frequency-wave number spectrum analysis. Proceedings of the IEEE,57(8):1408—1418

Carter G C,1987. Coherence and time delay estimation.Proceedings of the IEEE,75(2): 236—255

Gallet C,Julien C,2011. The significance threshold for coherence when using the Welch’s periodogram method:Effect of overlapping segments. Biomedical Signal Processing and Control,6(4): 405—409

Jenkins G M,Watts D G,1968. Spectral Analysis and its Applications. San Francisco: Holden Day,256—300

Kay S M,1988. Modern spectral estimation. New Jersey:Prentice Hall,446—471

Koopmans L H,1974. The Spectral Analysis of Time Series.New York: Academic Press,281—285

McKone K P,2003. Multiple Methods of Spectral Analysis with Applications to the Florida Current. Ph.D. Thesis,Dept. of Marine Science,University of Southern Mississippi,Hattiesburg,MS. pp 120

Percival D B,Walden A T,1993. Spectral Analysis for Physical Applications. Cambridge: Cambridge University Press,289—295

Priestley M B,1981. Spectral Analysis and Time Series. London New York: Academic Press,654—726

Strand O N,1977. Multichannel complex maximum entropy(autoregressive) spectral analysis. IEEE Transactions on Automatic Control,22(4): 634—640

Thomson D J,1982. Spectrum estimation and harmonic analysis.Proceedings of the IEEE,70(9): 1055—1096

Welch P D,1967. The use of fast Fourier transform for the estimation of power spectra: A method based on time averaging over short,modified periodograms. IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics,15(2): 70—73