具有時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

王 涌，張燕燕

（浙江工業(yè)大學(xué) a.計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院；b.信息工程學(xué)院，杭州310023）

具有時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

王 涌a，張燕燕b

（浙江工業(yè)大學(xué) a.計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院；b.信息工程學(xué)院，杭州310023）

在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（NCS）中，網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延通常是隨機(jī)的，且丟包過程同時(shí)存在于反饋通道和前饋通道中。針對(duì)含短隨機(jī)時(shí)延和異步丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，采用不確定系統(tǒng)參數(shù)矩陣以克服雙通道上隨機(jī)時(shí)延對(duì)NCS分析的影響，進(jìn)而考慮雙通道均存在丟包的情況，將NCS建模為具有4個(gè)事件率約束的異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。根據(jù)傳感器-控制器與控制器-執(zhí)行器雙通道的數(shù)據(jù)包丟失率，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，穩(wěn)定NCS閉環(huán)指數(shù)。通過物聯(lián)網(wǎng)考勤機(jī)的無線傳輸控制系統(tǒng)實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性。

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)；隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延；異步丟包；狀態(tài)反饋；指數(shù)穩(wěn)定

DO I：10.3969/j.issn.1000-3428.2015.10.021

1 概述

相比傳統(tǒng)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)控制系統(tǒng)，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（Network Control System，NCS）具有系統(tǒng)連線少、資源信息共享、易診斷維護(hù)、靈活可靠等諸多優(yōu)勢(shì)，被廣泛應(yīng)用于遠(yuǎn)程醫(yī)療、智能交通、航空航天等多領(lǐng)域。然而，NCS在給生產(chǎn)生活帶來極大便利的同時(shí)，也因不可靠的網(wǎng)絡(luò)傳輸方式導(dǎo)致NCS存在諸多難題和挑戰(zhàn)，例如網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延、數(shù)據(jù)包丟失、量化誤差等。其中，網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延和數(shù)據(jù)包丟失是影響系統(tǒng)性能甚至不穩(wěn)定的主要因素。網(wǎng)絡(luò)擁塞、鏈路故障以及傳輸錯(cuò)誤等諸多原因都可能引起上述問題。

近年來，許多文獻(xiàn)提出了針對(duì)含時(shí)延、丟包的NCS的穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)。而現(xiàn)有的多數(shù)結(jié)果都是在過于理想化的狀態(tài)下得到的。例如，只

考慮傳感器-控制器（S-C）和控制器-執(zhí)行器（C-A）之間的時(shí)延［1-4］或只考慮 S-C和 C-A之間的丟包［5-7］。文獻(xiàn)［8］考慮了 S-C通道的隨機(jī)時(shí)延和丟包，采用2個(gè)狀態(tài)的馬爾科夫鏈描述丟包過程，使得狀態(tài)反饋下NCS隨機(jī)穩(wěn)定。文獻(xiàn)［9］研究了含短恒定時(shí)延和一定數(shù)據(jù)包丟失率的NCS指數(shù)穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［10］研究了含時(shí)延和丟包的不確定NCS魯棒H∞靜態(tài)控制器的設(shè)計(jì)問題，結(jié)合平均駐留時(shí)間方法和切換系統(tǒng)概念，使得 NCS漸進(jìn)穩(wěn)定。文獻(xiàn)［11］研究了具有時(shí)延和丟包的NCS均方漸進(jìn)穩(wěn)定條件和魯棒 H∞控制器的設(shè)計(jì)問題，其中丟包過程用有限狀態(tài)的M arkov鏈來描述。

上述研究僅討論了固定時(shí)延和丟包（或僅丟包）存在于S-C或（和）C-A通道的NCS。然而，時(shí)延往往隨機(jī)變化，且時(shí)延和丟包同時(shí)存在于前饋通道和反饋通道中。本文針對(duì)在傳感器-執(zhí)行器（S-C）之間和控制器-執(zhí)行器（C-A）之間均存在隨機(jī)時(shí)延和丟包的情況，進(jìn)行狀態(tài)反饋NCS建模，提出NCS新的分析方法，使得閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定并獲得狀態(tài)反饋控制器。

2 系統(tǒng)描述

本節(jié)主要考慮如圖1所示的NCS。連續(xù)時(shí)間被控對(duì)象可以描述為如下形式的線性時(shí)不變系統(tǒng)模型：

其中，矢量χ（t）∈Rn，u（t）∈Rm，y（t）∈RP分別表示系統(tǒng)狀態(tài)、控制輸入和控制輸出。A，Bu，C均為常數(shù)矩陣。

C-A以及S-C之間的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延分別表示為τCA和τSC。相比上述時(shí)延，網(wǎng)絡(luò)各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的數(shù)據(jù)運(yùn)算產(chǎn)生的時(shí)延 τc往往可以忽略不計(jì)。故NCS中整個(gè)閉環(huán)回路的總網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延也是隨機(jī)的，記作τ=τSC+τCA。

（1）傳感器采用時(shí)間驅(qū)動(dòng)且采樣周期T恒定；控制器和執(zhí)行器均采用事件驅(qū)動(dòng)；

（2）第k周期的不確定時(shí)變網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延取決于τk，且小于一個(gè)采樣周期；

（3）數(shù)據(jù)包采用單包傳輸，不會(huì)產(chǎn)生時(shí)序錯(cuò)亂；

（4）被控對(duì)象的全部狀態(tài)可測(cè)，采用狀態(tài)反饋控制。

因此，獲得NCS離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)模型：

將短隨機(jī)時(shí)延隨機(jī)特性轉(zhuǎn)換成系統(tǒng)矩陣的參數(shù)不確定性，即：

其中，B0，B1，D，E0，E1均為常矩陣，且滿足F（τk）TF（τk）≤I。為方便書寫，這里令F（τk）=F，H0（τk）=H0，H1（τk）=H1。

因此含不確定性的離散化模型表示為：

3 狀態(tài)反饋NCS建模

針對(duì)上述建立起來的NCS，設(shè)計(jì)具有如下形式的狀態(tài)反饋控制器：

其中，i∈｛1，2，3，4｝。

不同于文獻(xiàn)［1-7］的僅時(shí)延或丟包NCS模型、文獻(xiàn)［8-12］的單通道丟包模型、文獻(xiàn)［9-13］的固定時(shí)延的影響，式（7）考慮了隨機(jī)時(shí)延的影響，將丟包模型建模為4個(gè)切換子系統(tǒng)：

為解決具有異步丟包和隨機(jī)短時(shí)延綜合影響下的NCS指數(shù)穩(wěn)定性，提出如下引理：

引理1 矩陣的Schur補(bǔ)引理

引理2 對(duì)于實(shí)矩陣W，M，N和F（k），其中，W對(duì)稱，F(xiàn)（k）滿足F（k）TF（k）≤I，當(dāng)且僅當(dāng)存在標(biāo)量ε＞0，使得W+ε-1NTN+εMMT＜0時(shí)，W+NTF（k）TMT+MF（k）N＜0［14］。

引理3 給定一個(gè)異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)χ（k+1）=fs（χ（k）），其中，s=1，2，…，N，如果存在一個(gè)Lyanpunov函數(shù)和標(biāo)量 V（χ（k））：Rn→R+，α1，α2，…，αN，滿足：

則該異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的［15］。

定義 假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中控制器和傳感器節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)包丟失率r1，r2為常數(shù)，且分別滿足下式：0＜r1≤1，0＜r2≤1，那么上述系統(tǒng)式（3）、式（4）的事件結(jié)構(gòu)發(fā)生率與數(shù)據(jù)傳輸率有如下關(guān)系：

4 NCS穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)

這里將討論含時(shí)延和丟包閉環(huán)NCS式（7）的指數(shù)穩(wěn)定性。

定理 在丟包率 r1，r2和隨機(jī)時(shí)變時(shí)延（0＜綜合影響下的NCS式（7），若存在常數(shù)ε，α1，α2，α3，α4，α以及正定矩陣X，Y，S以及普通矩陣 J，滿足 ε＞0且 α1＞0，α2＞0，α3＞0，α4＞0，α＞0，且X=XT，Y=YT，S=ST，使得以下不等式

證明：首先根據(jù)引理3和定義1可知，使得閉環(huán)NCS式（7）指數(shù)穩(wěn)定的一個(gè)充分條件是，則有：即式（8）。針對(duì)NCS式（7），選擇Lyapunov函數(shù)：

其中，P，Q，Z為對(duì)稱正定矩陣。

當(dāng)丟包事件1發(fā)生時(shí)，那么：

其中，M1的推導(dǎo)參見文獻(xiàn)［9］。要使得：

成立的充分條件為M1＜0。根據(jù)Schur補(bǔ)引理，上式中的 M1可等價(jià)于式（14）。將 H0=B0+DFE0，H1=B1+DFE1代回式（14），根據(jù)引理2得式（15）。根據(jù)引理2，式（15）等價(jià)于式（16）。根據(jù) Schur補(bǔ)引理，不等式（16）可繼續(xù)轉(zhuǎn)化為式（17）。

5 仿真算例

假設(shè)以物聯(lián)網(wǎng)［16］考勤機(jī)無線傳輸控制模型為被控對(duì)象，考慮傳輸網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)時(shí)延和丟包的影響，圖2為物聯(lián)網(wǎng)考勤系統(tǒng)傳輸時(shí)的示意圖。取 T= 0.2 s，總時(shí)延τk∈［0，0.2］，如圖3所示。C-A和SC通道數(shù)據(jù)包丟失率r1=0.05，r2=0.05。

圖2 物聯(lián)網(wǎng)考勤機(jī)的無線傳輸控制系統(tǒng)示意圖

圖3 短隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延

根據(jù)文獻(xiàn)［13］的系統(tǒng)離散化參數(shù)求解方法，利用LM I工具箱求得離散化物聯(lián)網(wǎng)考勤機(jī)無線傳輸控制系統(tǒng)的系數(shù)為：

由定義可求得狀態(tài)反饋控制律下異步動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)事件率分別為這里，選取 α1=1.136 1，α2=0.724 7，α3= 0.728 8，α4=0.652 4。

由式（8）可計(jì)算得到：該系統(tǒng)的指數(shù)衰減率為α=1.087 4。將物聯(lián)網(wǎng)考勤機(jī)無線傳輸控制問題轉(zhuǎn)化為LM I求解式（9）～式（12），得：

因此閉環(huán)NCS的狀態(tài)反饋控制律為：

當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為［-2 1］時(shí)，改進(jìn)前和改進(jìn)后系統(tǒng)狀態(tài)曲線分別如圖4、圖5所示。

圖4 改進(jìn)前考勤機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

圖5 改進(jìn)后考勤機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

對(duì)比圖4與圖5可知：在該狀態(tài)反饋控制律下，能夠快速實(shí)現(xiàn)考勤機(jī)無線傳輸系統(tǒng)的穩(wěn)定。

6 結(jié)束語

本文構(gòu)建起了S-C和C-A雙通道均存在短隨機(jī)時(shí)延和數(shù)據(jù)包丟失的NCS新模型?？倳r(shí)延隨機(jī)特性被轉(zhuǎn)換成系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，整個(gè)閉環(huán)NCS被建模成由4個(gè)結(jié)構(gòu)事件率約束下的異步切換系統(tǒng)，并基于異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)理論和Lyapunov函數(shù)理論推導(dǎo)出了系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定條件以及控制器設(shè)計(jì)方法。仿真結(jié)果證明，采用本文的控制器設(shè)計(jì)理論，將NCS與物聯(lián)網(wǎng)考勤機(jī)的無線傳輸控制系統(tǒng)結(jié)合，能使控制系統(tǒng)反應(yīng)實(shí)時(shí)、靈活，有效提高網(wǎng)絡(luò)中的設(shè)備進(jìn)行在線狀態(tài)檢測(cè)的能力，并保證設(shè)備在線檢測(cè)的可靠性。

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編輯顧逸斐

Stability Analysis of Network Control System with Time Delay and Packet Dropout

WANG Yonga，ZHANG Yanyanb
（a.College of Computer Science and Technology；b.College of Information Engineering，Zhejiang University of Technology，Hangzhou 310023，China）

In Network Control System（NCS），the network-induced delay is usually random，and packet dropout often presents in both the backward and the forward channels.Aiming at this problem，stabilization is studied for NCS with random time delay and asynchronous packet dropout.Uncertain systems matrix is used to avoid the influence of random time delay existed in both S-C and C-A channels，and then NCS is modeled as an asynchronous dynamical system with four rate constrains on events by considering packet dropout.The state feedback exponential stability is proposed for the closed-loop NCS.A state feedback controller that depends on S-C packet dropout rates（packet dropout rates from sensor to controller），and C-A packet dropout rates（packet dropout rates from controller to actuator）is designed.An illustrative example of wireless transmission NCS in the Internet of things is given to demonstrate the effectiveness of the proposed method.

Network Control System（NCS）；random network-induced time delay；asynchronous packet dropout；state feedback；exponential stability

王 涌，張燕燕.具有時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析［J］.計(jì)算機(jī)工程，2015，41（10）：111-116.

英文引用格式：Wang Yong，Zhang Yanyan.Stability Analysis of Network Control System with Time Delay and Packet Dropout［J］.Computer Engineering，2015，41（10）：111-116.

1000-3428（2015）10-0111-06

A

TP393

國家自然科學(xué)基金資助面上項(xiàng)目（61374056）。

王 涌（1975-），男，副教授、博士，主研方向：網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)；張燕燕（通訊作者），碩士。

2014-10-13

2014-12-01E-m ail：779132256@qq.com