吳 鳴,吳劍鋒,施小清,劉 杰,陳 干,吳吉春
1.南京大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院水科學(xué)系,南京 210023 2.北京大學(xué)工學(xué)院水資源研究中心,北京 100871
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基于諧振子遺傳算法的高效地下水優(yōu)化管理模型
吳 鳴1,吳劍鋒1,施小清1,劉 杰2,陳 干1,吳吉春1
1.南京大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院水科學(xué)系,南京 210023 2.北京大學(xué)工學(xué)院水資源研究中心,北京 100871
在傳統(tǒng)遺傳算法和模擬諧振子算法的基礎(chǔ)上,結(jié)合兩者的優(yōu)點(diǎn),提出了一種新型快速高效的諧振子遺傳算法。通過一個(gè)理想的水資源管理模型的算例和一個(gè)華北平原典型區(qū)地下水資源優(yōu)化的實(shí)際算例,從尋優(yōu)結(jié)果和尋優(yōu)效率兩個(gè)方面對(duì)諧振子遺傳算法、傳統(tǒng)遺傳算法和模擬諧振子算法進(jìn)行了對(duì)比分析。在兩個(gè)地下水管理模型中,與傳統(tǒng)的遺傳算法和模擬諧振子算法相比,新型的諧振子遺傳算法搜索效率達(dá)到模擬諧振子算法搜索效率的2倍以上,得到的最優(yōu)解比遺傳算法所得到的最優(yōu)解分別增加供水量1.1×103m3/d和0.47×108m3/a,說明諧振子遺傳算法具有更強(qiáng)的全局搜索能力和更好的尋優(yōu)效率。
諧振子遺傳算法;遺傳算法;模擬諧振子算法;地下水管理模型;全局搜索能力;尋優(yōu)效率;華北平原
地下水管理模型的求解是地下水資源科學(xué)管理的重要問題。地下水管理模型是尋求最少的社會(huì)經(jīng)濟(jì)環(huán)境成本來滿足既定的管理目標(biāo)[1-2]。長(zhǎng)期以來用于地下水管理模型求解的方法如單純形法、最速下降法、高斯-牛頓法等都是針對(duì)連續(xù)的、可導(dǎo)的目標(biāo)函數(shù)的,處理的問題比較簡(jiǎn)單,優(yōu)化結(jié)果的質(zhì)量強(qiáng)烈依賴初始解。由于遺傳算法(genetic algorithm, GA)[3-6]、禁忌搜索算法[7]、模擬退火算法[8]、粒子群優(yōu)化算法[2,9]、蟻群優(yōu)化算法[10]、模擬諧振子算法(simulated harmonic oscillator algorithm, SHOA)[11-13]等人工智能算法不受優(yōu)化問題滿足連續(xù)性和可導(dǎo)性的限制,且具有一定的全局尋優(yōu)能力,因而逐漸被應(yīng)用到地下水優(yōu)化管理模型求解的領(lǐng)域。然而地下水管理模型常常表現(xiàn)出多維、非線性等復(fù)雜特征,因此開發(fā)針對(duì)地下水優(yōu)化管理問題的高效算法十分必要。
筆者針對(duì)遺傳算法和模擬諧振子算法的不足,結(jié)合傳統(tǒng)的模擬諧振子算法和遺傳算法的優(yōu)點(diǎn),首次提出了一種新型的諧振子遺傳算法(harmonic oscillator genetic algorithm, HOGA),將其與地下水管理模型相結(jié)合;并將HOGA分別應(yīng)用于理想算例和華北平原典型區(qū)地下水資源管理模型的算例中進(jìn)行對(duì)比,以期了解其在地下水管理模型方面的應(yīng)用前景。
1.1 諧振子遺傳算法的基本原理
遺傳算法屬于進(jìn)化算法的一種,它通過模仿自然界的選擇與遺傳的機(jī)理來尋找最優(yōu)解,McKiney和Lin[3]首先將其應(yīng)用到地下水管理模型的求解中,取得了很好的效果。遺傳算法具有良好的全局搜索能力,可以快速地搜索解空間,從而不會(huì)陷入局部最優(yōu)解的快速下降陷阱。但是遺傳算法的局部搜索能力較差,導(dǎo)致單純的遺傳算法比較費(fèi)時(shí),在進(jìn)化后期搜索效率較低。在實(shí)際應(yīng)用中,遺傳算法容易產(chǎn)生早熟收斂的問題。采用何種選擇方法既要使優(yōu)良個(gè)體得以保留,又要維持群體的多樣性,一直是遺傳算法中較難解決的問題。
模擬諧振子算法(SHOA)是由模擬自然諧振子的物理規(guī)律而得到的一種通用的隨機(jī)搜索算法[11]。對(duì)于圖1所示的諧振子,當(dāng)彈簧質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到左右端點(diǎn)位置時(shí),彈性勢(shì)能達(dá)到最大,等于系統(tǒng)的總能量;當(dāng)彈簧質(zhì)點(diǎn)處于振源位置時(shí),彈性勢(shì)能最小(等于0)。將彈簧質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能狀態(tài)與優(yōu)化問題中的目標(biāo)函數(shù)相對(duì)應(yīng),當(dāng)彈簧質(zhì)點(diǎn)到達(dá)振源位置時(shí),勢(shì)能處于最小值的基態(tài),對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值即為找到的最優(yōu)解。SHOA既具有良好的局部搜索能力,又具有較好的全局搜索能力。它在整個(gè)解空間范圍內(nèi)廣泛地隨機(jī)搜索近似最優(yōu)解,而且以一定的規(guī)則接受差解,使領(lǐng)域解在局部山峰間平行跳躍,從而有效地控制了算法在全局范圍內(nèi)搜索的隨意性[11-13],但因此也給算法的尋優(yōu)效率帶來了問題。針對(duì)遺傳算法和模擬諧振子算法的不足,筆者綜合模擬諧振子算法和遺傳算法的優(yōu)點(diǎn),提出了一種新的算法----諧振子遺傳算法(HOGA)。HOGA利用模擬諧振子算法中的能級(jí)接受準(zhǔn)則,對(duì)遺傳算法中種群的選擇策略進(jìn)行了改進(jìn),同時(shí)利用模擬諧振子的領(lǐng)域解在局部山峰間的平行跳躍能力,有效地控制了遺傳算法的早熟問題。
圖1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)諧振子示意圖Fig.1 Oscillator of a simple harmonic oscillation
1.2 諧振子遺傳算法求解地下水管理模型的步驟
設(shè)諧振子遺傳算法求解的是最大值問題,則求解地下水管理模型的步驟為:
1)隨機(jī)產(chǎn)生種群規(guī)模為p的初始群體P(m),m為進(jìn)化代數(shù),同時(shí)確定諧振子的振幅A,初始步長(zhǎng)LO、基態(tài)步長(zhǎng)LS。
2)調(diào)用水流模型/運(yùn)移模型計(jì)算適應(yīng)度值。
3)根據(jù)群體適應(yīng)度的最優(yōu)值和最差值建立諧振子模型,確定諧振子端點(diǎn)End和振源Init。振子端點(diǎn)End處的勢(shì)能ULO對(duì)應(yīng)適應(yīng)度的最差值f(End);基態(tài)步長(zhǎng)處的勢(shì)能為ULS,對(duì)應(yīng)為適應(yīng)度的最優(yōu)值f(LS)。通過最優(yōu)值和最差值之差的絕對(duì)值來確定諧振子的彈性系數(shù)k:
(1)
即
(2)
求出k之后,就可以確定端點(diǎn)處勢(shì)能和基態(tài)步長(zhǎng)處的勢(shì)能:
(3)
(4)
4)計(jì)算種群內(nèi)所有染色體對(duì)應(yīng)的能級(jí)Lx,對(duì)其中任意一條染色體,其適應(yīng)度值為f(Lx),則
(5)
(6)
則其在諧振子中對(duì)應(yīng)的位置,也就是能級(jí)為
(7)
6)終止條件判斷,若不滿足終止條件,則m=m+1,形成下一代種群,轉(zhuǎn)移到第2)步,繼續(xù)進(jìn)行諧振子遺傳算法相關(guān)的能級(jí)判斷、選擇、交叉、變異等操作過程;若滿足終止條件,則輸出當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體,算法結(jié)束。
2.1 理想算例
在某潛水含水層上擬建一水源地,含水層中地下水為二維穩(wěn)定流[3],如圖2。含水層底板水平,其南部和北部邊界分別為水沼地和河流,其水位均為20 m,可作為第一類邊界;東部和西部邊界都為山體,作為隔水邊界。設(shè)含水層介質(zhì)均質(zhì)各向同性,滲透系數(shù)K=50 m/d,單位面積上的補(bǔ)給量R=0.001 m/d,共有10眼擬開采井,假設(shè)每口井的允許開采量為7 000 m3/d,求滿足該水源地含水層不致疏干情況下的最大可供水量(不考慮水井本身的釋水能力)。 管理模型可表示為:
(8)
約束條件為:
(9)
(10)
其中:Qi為單井的抽水量(m3/d);hi為水位(m)。
a.平面圖; b.剖面圖。根據(jù)文獻(xiàn)[3]修改。圖2 含水層結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure of aquifer view
Table 1 Total pumping rates of groundwater optimization based on different algorithms
對(duì)比項(xiàng)目?jī)?yōu)化方法LPGASHOAHOGA最優(yōu)解/(103m3/d)59.358.058.959.1達(dá)到最優(yōu)解的計(jì)算代數(shù)7010146計(jì)算時(shí)間/min116.3170.279.7
LP為線性規(guī)劃算法。LP最優(yōu)解引自文獻(xiàn)[3]。
圖3 不同算法在最大化抽水量算例中的求解進(jìn)化過程Fig.3 Evolution of the total pumping rates over the generations of the different algorithms
2.2 華北平原典型區(qū)地下水資源優(yōu)化算例
2.2.1 研究區(qū)背景及水文地質(zhì)條件概述
華北平原主要是指黃河以北、西倚太行山、東臨渤海的廣大平原地區(qū);行政區(qū)劃分屬北京市、天津市和河北省,并涉及山東、河南兩省的部分地域,面積約13.9 萬(wàn)km2,是我國(guó)北方重要的糧棉產(chǎn)地。該區(qū)大部分地區(qū)特別是大中城市處于地下水超采或嚴(yán)重超采狀態(tài),水資源匱乏和水環(huán)境惡化已經(jīng)成為制約社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的主要因素。為此,Liu等[14]以石家莊市(包括城區(qū)和7個(gè)郊縣)作為典型地區(qū)建立了該區(qū)地下水的水流模型,該水流模型不但刻畫了研究區(qū)開采前的天然狀態(tài)(補(bǔ)排均衡階段),而且再現(xiàn)了研究區(qū)不同開采時(shí)期(包括漏斗形成和發(fā)展階段[14])的水位變化過程,具有比較高的可信度,并從水量的角度建立了該區(qū)基于遺傳算法的地下水資源可持續(xù)利用的管理模型。筆者采用HOGA對(duì)Liu等[14]建立的研究區(qū)地下水管理模型進(jìn)行求解,并與GA和SHOA的求解效率進(jìn)行對(duì)比,進(jìn)一步驗(yàn)證HOGA在地下水管理模型中的可行性。
X、Y分別表示東西方向和南北方向的距離。圖4 研究區(qū)位置及水文地質(zhì)概念模型Fig.4 Location of the study area and the hydrogeological conceptual model
據(jù)文獻(xiàn)[14]。圖5 含水層地質(zhì)剖面示意圖Fig.5 Hydrogeologic cross section of the study area
研究區(qū)包括石家莊市市區(qū)及正定、灤城、無極、藁城、趙縣、元氏和晉州7縣的部分區(qū)域(圖4),位于太行山南麓,屬于滹沱河沖洪積扇的中上部地帶,地勢(shì)西高東低,由西向東緩慢傾斜,面積約為4 000 km2。研究區(qū)處于滹沱河以黃壁莊為頂點(diǎn)的沖積扇的中上部,地下水主要賦存于第四系松散巖層孔隙中,自上而下可分為:全新統(tǒng)(Q4)、上更新統(tǒng)(Q3)、中更新統(tǒng)(Q2)和下更新統(tǒng)(Q1)共4個(gè)含水層組。上部的兩個(gè)含水層組之間無連續(xù)的隔水層,水力聯(lián)系密切,統(tǒng)稱為淺部含水層;下部的兩個(gè)含水層組巖性主要為含黏土卵礫石、礫石夾土層,分選性和富水性都很差,統(tǒng)稱深部含水層,如圖5所示。從總體上看:研究區(qū)含水層在水平方向上,由西向東含水層總厚度由薄變厚,粒度由粗變細(xì),層次由少增多,單層厚度變薄,分選性由差變好,富水性由強(qiáng)變?nèi)?;在垂直方向上,含水層上下部粒度較細(xì),厚度較小,中部粒度較粗,厚度也較大。隨著開采規(guī)模的不斷擴(kuò)大,實(shí)際上以上各含水層之間都存在著密切的水力聯(lián)系。
地下水的補(bǔ)給主要有大氣降水、地表水的入滲、側(cè)向補(bǔ)給及農(nóng)田灌溉回歸水等。1965年前,石家莊市區(qū)內(nèi)地下水處于天然狀態(tài)下,由西或西北方向往東或東南方向流動(dòng),且自西向東,含水層介質(zhì)顆粒由粗變細(xì),含水單層由厚變薄,含水層數(shù)由少變多,水量和水力坡降由大變小,補(bǔ)給徑流條件和水質(zhì)由好變差,具典型的平原水文地質(zhì)特點(diǎn)。之后隨著地下水開采量的增大,地下水的排泄方式逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)橐匀斯ら_采為主,其次為向下游的側(cè)向徑流排泄。隨著市區(qū)地下水降落漏斗范圍的擴(kuò)大和地下水位埋藏深度的增加,人工開采幾乎已成為目前唯一的地下水排泄方式[14-19]。
2.2.2 研究區(qū)地下水模擬-優(yōu)化管理模型
諸多研究[13-17]表明研究區(qū)淺層地下水和深層地下水之間具有統(tǒng)一的水力聯(lián)系,因此整個(gè)含水系統(tǒng)可以概化為單層的非均質(zhì)各向同性的二維水流運(yùn)動(dòng)。在邊界上,含水系統(tǒng)接受外界側(cè)向補(bǔ)給或往外排泄;在裸露區(qū)接受大氣降水入滲或農(nóng)業(yè)灌溉回滲,同時(shí)在區(qū)域內(nèi)最主要的排泄方式為人工開采。1960年以前,研究區(qū)地下水流處于天然狀態(tài),人工開采可忽略不計(jì),地下水流可近似認(rèn)為做穩(wěn)定流動(dòng);1960年以后,隨著地下水開采規(guī)模的加大,研究區(qū)地下水流不再處于天然狀況,而是對(duì)應(yīng)于不同邊界條件和源匯項(xiàng)的非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)。相應(yīng)地,描述研究區(qū)地下水流運(yùn)動(dòng)的微分方程可表示為
(11)
其中:h為水頭(m);t為時(shí)間(d);B為含水層的底板標(biāo)高(m);qS為源匯項(xiàng)(d-1);μ為給水度(無量綱)。
再加上相應(yīng)的初始條件,這樣,微分方程與邊界條件和初始條件一起就構(gòu)成了描述研究區(qū)地下水流運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型[13]。模擬時(shí)間從1959年到2004年,總共63個(gè)應(yīng)力期;模型在空間上剖分成130行和135列,每個(gè)網(wǎng)格的邊長(zhǎng)均為500 m。用MODFLOW[20]對(duì)模型進(jìn)行求解,詳細(xì)的水流模型參見文獻(xiàn)[14]。
基于以上地下水模擬模型的最大化開采量的管理模型可表述為
(12)
約束條件:
(13)
(14)
式中:Qmax表示抽水井i的最大出水能力(m3/d);hj表示約束點(diǎn)j處的水位(m);hmin表示在點(diǎn)j處的水位最低約束值(m);NT為管理期的數(shù)目;NH,NW分別表示水位約束點(diǎn)和抽水井的數(shù)目;Δtk表示每個(gè)管理期的時(shí)長(zhǎng)(d)。
當(dāng)然,管理模型還要耦合上述地下水模擬模型(微分方程(11)及其定解條件),可簡(jiǎn)單地表示為
(15)
式中:hk表示研究區(qū)地下水在k時(shí)段的水位分布;Transh代表水頭由k時(shí)段到k+1時(shí)段的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù);T為時(shí)段總數(shù)。式(15)表示系統(tǒng)在(k+1)時(shí)刻的狀態(tài)變量h是其k時(shí)刻狀態(tài)變量h及其決策變量Q兩者的函數(shù)。
2.2.3 地下水優(yōu)化管理模型的求解
求解管理模型時(shí),GA和HOGA最大代數(shù)均設(shè)為100,種群數(shù)設(shè)為1 000,為便于比較,SHOA目標(biāo)函數(shù)每計(jì)算1 000個(gè)解后統(tǒng)計(jì)一次最優(yōu)結(jié)果,搜索新解的上限為10萬(wàn)個(gè),采用GA、SHOA和HOGA分別求解的優(yōu)化過程及結(jié)果如圖6,最大抽水量、地下水超采量、收斂代數(shù)和計(jì)算時(shí)間的結(jié)果如表2。
圖6 不同算法在華北平原地下水管理模型優(yōu)化算例中的求解進(jìn)化過程Fig.6 Evolution of the total pumping rates over the generations of the different algorithms in North China Plain
GA和HOGA都在約80代達(dá)到最優(yōu)解,而SHOA則在第89代達(dá)到最優(yōu)解,表明HOGA的搜索速度和計(jì)算效率繼承了遺傳算法的優(yōu)點(diǎn),比原來的SHOA有了很大的提高。GA最優(yōu)解為10.22×108m3/a,和2004年實(shí)際開采量[13]的14.97×108m3/a對(duì)比,地下水超采量達(dá)到4.75×108m3/a;SHOA最優(yōu)解為10.29×108m3/a,地下水超采量達(dá)4.67×108m3/a;HOGA的最優(yōu)解為10.69×108m3/a,地下水超采量為4.27×108m3/a,相比GA增加供水量0.47×108m3/a,相比SHOA增加供水量0.40×108m3/a,地下水超采量得到較大降低。由此表明HOGA的全局搜索能力有了極大的提高,均強(qiáng)于GA和SHOA的搜索能力。
表2 華北平原地下水管理模型優(yōu)化結(jié)果
Table 2 Result of North China Plain optimization model by different algorithms
對(duì)比項(xiàng)目?jī)?yōu)化方法GASHOAHOGA最優(yōu)解/(108m3/a)10.2210.2910.69地下水超采量/(108m3/a)4.754.674.27達(dá)到最優(yōu)解的計(jì)算代數(shù)808980計(jì)算時(shí)間/h43.3588.9743.57
針對(duì)模擬諧振子算法和遺傳算法的不足,提出一種新型的諧振子遺傳算法。諧振子系統(tǒng)勢(shì)能收斂到基態(tài)所特有的物理性質(zhì)能保證諧振子遺傳算法最后的收斂性,并通過諧振子對(duì)新解的接受準(zhǔn)則來對(duì)使種群朝著最優(yōu)的方向進(jìn)化,使得諧振子遺傳算法優(yōu)化尋優(yōu)結(jié)果的質(zhì)量和計(jì)算效率均有很大提高。
諧振子遺傳算法應(yīng)用于地下水管理模型的求解結(jié)果表明:對(duì)于理想算例,諧振子遺傳算法表現(xiàn)出了很強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力和搜索效率;在華北平原典型區(qū)地下水資源的優(yōu)化算例中,諧振子遺傳算法全局尋優(yōu)能力在很大程度上超過了遺傳算法和模擬諧振子算法,相對(duì)于模擬諧振子算法,搜索效率也有很大的提高。表明諧振子遺傳算法不僅對(duì)理想算例的尋優(yōu)具有很好的效果,而且對(duì)區(qū)域性復(fù)雜算例的地下水資源優(yōu)化問題也有很強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)。
諧振子遺傳算法融合了遺傳算法和模擬諧振子算法的優(yōu)點(diǎn),對(duì)初始解沒有太大的依賴性,通用性較強(qiáng),可推廣應(yīng)用于水文地質(zhì)參數(shù)識(shí)別、地下水污染源識(shí)別、地下水污染修復(fù)等優(yōu)化管理領(lǐng)域。
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New Harmonic Oscillator Genetic Algorithm for Efficient Groundwater Optimization and Management
Wu Ming1, Wu Jianfeng1, Shi Xiaoqing1, Liu Jie2, Chen Gan1, Wu Jichun1
1.DepartmentofHydrosciences,SchoolofEarthSciencesandEngineering,NanjingUniversity,Nanjing210023,China2.CenterforWaterResearch,CollegeofEngineering,PekingUniversity,Beijing100871,China
Combining the advantages of conventional genetic algorithm (GA) with simulated harmonic oscillator algorithm (SHOA), we put forward a new efficient harmonic oscillator genetic algorithm (HOGA). Based on the application to an ideal test and an optimization test for the groundwater management model of a typical region in North China Plain (NCP), the comparisons among GA, SHOA and HOGA are performed in respect both of the quality of optimal solutions and the efficiency of algorithmic optimization. Compared with GA and SHOA, HOGA achieves an efficiency over two times higher than SHOA. The best pumping schemes achieved by HOGA can increase water supply by 1.1×103m3/d and 0.47×108m3/a compared with the pumping schemes achieved by GA in the two groundwater management models. This reveals that HOGA has the best global searching ability with the highest optimization efficiency. The results suggest that the HOGA presented in this study be of extensive perspectives in application to multi-dimensional and nonlinear groundwater management and optimization.
harmonic oscillator genetic algorithm; genetic algorithm; simulated harmonic oscillator algorithm; groundwater management model; global searching ability; optimization efficiency; North China Plain (NCP)
10.13278/j.cnki.jjuese.201505203.
2014-12-12
國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41372235, 41072175);國(guó)家“973”計(jì)劃項(xiàng)目(2010CB428803)
吳鳴(1989--),男,博士研究生,主要從事地下水模擬優(yōu)化管理研究,E-mail:mysticwilliamnanjing@gmail.com
吳劍鋒(1971--),男,教授,博士,主要從事水資源模擬優(yōu)化管理研究,E-mail:jfwu@nju.edu.cn。
10.13278/j.cnki.jjuese.201505203
P641; X523
A
吳鳴,吳劍鋒,施小清,等. 基于諧振子遺傳算法的高效地下水優(yōu)化管理模型.吉林大學(xué)學(xué)報(bào):地球科學(xué)版,2015,45(5):1485-1492.
Wu Ming, Wu Jianfeng, Shi Xiaoqing, et al.New Harmonic Oscillator Genetic Algorithm for Efficient Groundwater Optimization and Management.Journal of Jilin University:Earth Science Edition,2015,45(5):1485-1492.doi:10.13278/j.cnki.jjuese.201505203.