基于改進(jìn)的引力搜索算法的T－S 模型辨識

董新燕，丁學(xué)明，王 健

(上海理工大學(xué) 光電信息與計算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093)

自然世界中的系統(tǒng)基本上是非線性的，而辨識系統(tǒng)［1］是建立這些復(fù)雜的非線性系統(tǒng)模型最有效的方法。其中T－S 模型［2－4］是一種有效的辨識工具，其采用線性方程去表示每一個非線性系統(tǒng)局部區(qū)域的局部規(guī)則，以局部線性化為基礎(chǔ)，通過模糊推理的方法實現(xiàn)全局的非線性。

本文基于引力搜索優(yōu)化算法(gmGSA)［5－7］辨識T－S 模型的參數(shù)，但該算法在優(yōu)化過程中仍存在早熟收斂現(xiàn)象，易陷入局部最優(yōu)。為克服標(biāo)準(zhǔn)引力搜索算法中全局搜索能力弱的缺點，本文借鑒遺傳算法中基因突變(Genetic Mutations，GM)原理［8］，提出基于基因變異的引力搜索算法，用來辨識T－S 模型的參數(shù)。同時利用基于模擬退火［9］和遺傳算法的模糊C 均值算法(SAGAFCM)來辨識T－S 模型的結(jié)構(gòu)。該方法辨識出的系統(tǒng)模型精確，且在系統(tǒng)辨識中得到廣泛應(yīng)用。

1 T－S 模型

T－S 模型是一種描述復(fù)雜非線性過程的數(shù)學(xué)模型，可看作是分段線性化的擴(kuò)展，將非線性系統(tǒng)作為一系列線性系統(tǒng)的加權(quán)組合［2］，能將線性控制理論應(yīng)用到非線性控制系統(tǒng)中。典型的T－S 模糊系統(tǒng)的模糊規(guī)則為

式中，i=1，2，…，m 為模糊規(guī)則數(shù);x=［x1，x2，…，xn］為輸入量;n 為輸入變量x 的維數(shù);w=［w1，w2，…，wn］為n 條規(guī)則的參數(shù);yi為第ith條規(guī)則的輸出;Aij 為模糊子集。若給定輸入x=［x1，x2，…，xn］，則最終的輸出變量y 可由式(2)計算得到

式中，yi為第i 條規(guī)則的輸出;μi為第i 條規(guī)則的真值;μi(x)為隸屬度函數(shù)，第i 條規(guī)則模糊集的隸屬度函數(shù)為hi(x)，為各模糊子集的乘積，采用高斯隸屬度函數(shù)

式中，cij為中心參數(shù)ci的第j 個分量;σij是基寬參數(shù)σi的第j 個分量。

2 引力搜索算法的T－S 模型辨識

2.1 引力搜索算法

引力搜索算法(GSA)［5］是模擬萬有引力定律的智能優(yōu)化算法，在GSA 算法中，種群個體在萬有引力的作用下相互運(yùn)動，個體的位置代表優(yōu)化問題的解，質(zhì)量通過函數(shù)值計算，解越好質(zhì)量越大。通過引力作用，個體之間相互吸引并向質(zhì)量最大的個體方向運(yùn)動。當(dāng)搜索結(jié)束時，質(zhì)量最大的個體處在最優(yōu)位置上，其位置信息對應(yīng)相應(yīng)優(yōu)化問題的最優(yōu)解。在對最優(yōu)解進(jìn)行搜索的過程當(dāng)中，依靠彼此間力的作用達(dá)到優(yōu)化信息的共享，最終在萬有引力的作用下，使得種群朝著最優(yōu)解所在的區(qū)域運(yùn)動。設(shè)有N 個個體存在于D 維空間中，則第i 個個體的位置信息表達(dá)式為

式中，Mai為個體i 在t 時刻的慣性質(zhì)量;Mpj為個體j 在t 時刻的慣性質(zhì)量;G(t)為t 時刻的引力因子;ε 為一個恒定的極小值;Rij(t)為物體i 與物體j 間的歐氏距離。則在t 時刻，個體i 在d 維上受到的合力

式中，j 是［0，1］范圍內(nèi)的一個隨機(jī)值;kbest為有引力作用在i 上的個體數(shù)量;)表示第j 個個體對第i 個個體在d 維空間上的引力。則在力的作用下，個體i在t 時刻在d 維上得到的加速度為

式中，Mii為第i 個個體的慣性質(zhì)量。在迭代過程中，個體的速度和位置更新方式如式(8)和式(9)所示。

式中，randi是［0，1］的均勻分布。引力因子G 會隨著迭代的進(jìn)行逐漸減小。

通過個體的適應(yīng)度值來計算其慣性質(zhì)量的大小，慣性質(zhì)量相對較大的個體所處的位置較優(yōu)，其距離最優(yōu)值也相對較近，該個體對其他個體的力的作用也較大，同時其所獲得的加速度相對較小，運(yùn)動較慢。個體的質(zhì)量以及慣性質(zhì)量如式(10)～式(12)所示。

式中，fiti(t)為第i 個個體t 時刻的適應(yīng)值;best(t)為t時刻最好的適應(yīng)值;worst(t)為t 時刻最差的適應(yīng)值;Mi(t)為第i 個體t 時刻慣性質(zhì)量，對于求最小值問題，best(t)和worst(t)定義如下

對于求最大值問題，best(t)和worst(t)定義如下

2.2 基于基因變異的引力搜索算法

為克服標(biāo)準(zhǔn)引力搜索算法中全局搜索能力弱的缺點，借鑒遺傳算法中基因突變原理，提出基于基因變異的引力搜索算法，即gmGSA，算法在搜索策略上的變化如下:

(1)設(shè)變異概率為pr，同時產(chǎn)生一個到之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)pr＞pm時，隨機(jī)產(chǎn)生新個體，否則個體位置不變

(2)對新個體進(jìn)行評估，若新評估值fitnew優(yōu)于原先值fitold，則對個體位置更新到)，否則個體位置不變

gmGSA 搜索方式不同于傳統(tǒng)的GSA 搜索方式，增加了一個變異概率，使得種群多樣性增加，算法全局搜索能力增強(qiáng)。

2.3 辨識原理

T－S 模型辨識分結(jié)構(gòu)辨識和參數(shù)辨識，通常先進(jìn)行結(jié)構(gòu)辨識，確定規(guī)則數(shù)及規(guī)則中心參數(shù)，然后再辨識模型參數(shù)。結(jié)構(gòu)辨識中不考慮參數(shù)辨識的影響，參數(shù)辨識是在已經(jīng)辨識出的模型結(jié)構(gòu)前提下進(jìn)行的，不能實現(xiàn)全局優(yōu)化。本文采用基因變異的引力搜索算法同時確定模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)，實現(xiàn)模型全局優(yōu)化辨識。具體方法為:聚類中心的維數(shù)為n，m 為指定的聚類數(shù)，聚類中的編碼如圖1 所示。通過引力搜索和基因變異混合優(yōu)化算法確定類中心，每個類表示一條規(guī)則，類中心即為高斯隸屬度函數(shù)的中心參數(shù)ci，同時辨識出的參數(shù)還有基寬參數(shù)σi，模型的后件參數(shù)wi和bi，算法實現(xiàn)簡單。每個個體表示一個完整的解ci，σi，wi和bi。個體編碼方法如圖2 所示。

圖1 聚類中心編碼方法

圖2 個體編碼方法

假設(shè)L 對訓(xùn)練數(shù)據(jù)(x1，y1)，…，(xL，yL)，采用經(jīng)驗風(fēng)險最小化方法，訓(xùn)練目標(biāo)使辨識誤差最小

式中，n 為訓(xùn)練樣本數(shù);yi和y^i為第i 個輸入樣本的期望輸出和模糊系統(tǒng)輸出。

2.4 基于模擬退火遺傳算法的FCM 算法

模糊C 均值聚類(Fuzzy C－Means Cluster)算法是一種模糊聚類算法，簡稱FCM 算法，該算法是一類基于目標(biāo)函數(shù)的聚類算法，通過使目標(biāo)函數(shù)收斂到最小值來達(dá)到聚類效果。FCM 算法聚類，原理是用一個隸屬關(guān)系矩陣U 來表示每個樣本點對于每個類的隸屬度，矩陣U中每個元素的取值范圍為［0，1］，任意一個元素μij表示第j 個樣本數(shù)據(jù)對類i 的隸屬度，任意樣本點還應(yīng)滿足其對于所有類的隸屬度之和為1，假設(shè)指定的聚類數(shù)目為c，用來聚類的數(shù)據(jù)樣本點為X=x1，x2，…，xn，則

模糊C 均值聚類的目標(biāo)函數(shù)式為

式中，ci為第i 個模糊類的類中心，聚類指數(shù)m 的范圍為［1，∞］，通常取m=2，當(dāng)m=1，模糊C 均值聚類變成C 均值硬聚類，為第i 個類中心與第j 個樣本點的歐氏距離。

3 仿真實例與分析

這部分分別給出了兩個實驗來驗證gmGSA 算法的辨識精度和經(jīng)其辨識出的T－S 模型的泛化能力，一個是函數(shù)逼近問題，另一個是Box－Jenkins 煤氣爐問題。

(1)靜態(tài)非線性系統(tǒng)。下面是一個具有兩輸入和一輸出的靜態(tài)非線性系統(tǒng)的表達(dá)式

為了比較，取文獻(xiàn)［10］中50 組輸入輸出數(shù)據(jù)對來做預(yù)測測試，設(shè)定輸入u1和u2隨機(jī)均勻分布于［1，5］區(qū)間。gmGSA 的參數(shù)設(shè)置成G0=10，β=6，最大迭代次數(shù)為500，種群規(guī)模為30，模糊規(guī)則數(shù)為6，辨識參數(shù)一共42 個。表1 所示的是前件參數(shù)和后件參數(shù)的辨識結(jié)果。圖3 表示T－S 模型辨識的輸出和真實系統(tǒng)的輸出以及其之間的誤差輸出曲線圖，與其他文獻(xiàn)結(jié)果比較如表2 所示。

表1 靜態(tài)函數(shù)T－S 模型的辨識參數(shù)

表2 靜態(tài)函數(shù)的辨識結(jié)果與其他文獻(xiàn)的比較

圖3 靜態(tài)非線性函數(shù)、T－S 模型及誤差輸出曲線

在此實驗辨識非線性系統(tǒng)問題上，測試的是gmGSA的全局優(yōu)化能力。表2 顯示，gmGSA 算法辨識出T－S模型的均方差為0.003 4，遠(yuǎn)低于其他文獻(xiàn)辨識的結(jié)果，證明了gmGSA 算法具有較好的多樣性，能夠擺脫局部最優(yōu)值的干擾，最終尋得全局最優(yōu)值。

(2)Box－Jenkins 煤氣爐數(shù)據(jù)測試。gmGSA 的魯棒性，再次采用Box－Jenkins 煤氣爐數(shù)據(jù)作為仿真對象。前148 組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)來辨識T－S 模型，后148 組數(shù)據(jù)則用來測試模型的泛化能力。gmGSA 的參數(shù)設(shè)置成G0=5，β=6，最大迭代次數(shù)為600，種群規(guī)模為10。仿真中采用3 條規(guī)則，共39 個辨識參數(shù)。辨識出的模型參數(shù)如表3 所示。

表3 煤氣爐T－S 模型參數(shù)

樣本點和測試點與辨識模型的均方差分別是0.036 和0.101，具體如圖4 和圖5 所示，與其他文獻(xiàn)辨識結(jié)果的比較如表4 所示。

圖4 煤氣爐樣本點、T－S 模型及誤差輸出曲線

圖5 煤氣爐測試點、T－S 模型及誤差輸出曲線

表4 煤氣爐辨識結(jié)果比較

該實驗辨識的是煤氣爐數(shù)據(jù)，主要用來測試用改進(jìn)算法辨識出的T－S 模型的泛化能力。從表4 中觀察，通過SAGA－FCM 聚類和gmGSA 算法辨識出的T－S 模型在辨識精度上較其他文獻(xiàn)并非最佳，但已非常接近。重要的是，當(dāng)用文中所提算法辨識出的T－S模型應(yīng)用到另一組測試數(shù)據(jù)時，其表現(xiàn)出了最佳的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性，體現(xiàn)了改進(jìn)算法辨識出的T－S 模型結(jié)構(gòu)緊湊，且泛化能力強(qiáng)，繼而再次證明了改進(jìn)算法的有效性。

4 結(jié)束語

本文主要研究了引力搜索算法，針對標(biāo)準(zhǔn)引力搜索算法易“早熟”的問題，通過分析算法中各個因子的對算法性能的影響，提出改進(jìn)的gmGSA 算法，通過“變異”來保持粒子的多樣性，繼而增加粒子種群收斂到全局最優(yōu)的機(jī)會。并應(yīng)用于T－S 模型的辨識，經(jīng)實驗證明該算法具有辨識精度和較快的收斂速度，以及良好的全局收斂能力，辨識出的T－S 模型結(jié)構(gòu)簡單，精度更高，且泛化能力強(qiáng)。

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