隨機Navier-Stokes方程解的指數(shù)穩(wěn)定性

盧琴，張啟敏

（中國礦業(yè)大學銀川學院，寧夏銀川750011）

隨機Navier-Stokes方程解的指數(shù)穩(wěn)定性

盧琴，張啟敏

（中國礦業(yè)大學銀川學院，寧夏銀川750011）

給出隨機Navier-Stokes方程及其解的定義，通過It?公式,利用Burkholder-Davis-Gundy不等式討論了其解的指數(shù)穩(wěn)定性,并給出了指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件。

隨機Navier-Stokes方程；It?公式；Burkholder-Davis-Gundy不等式；指數(shù)穩(wěn)定性

隨機微分方程被廣泛的應(yīng)用于諸多領(lǐng)域[1-3]。近年來，隨機的Navier-Stokes方程引起了許多學者的關(guān)注。對于確定的Navier-Stokes方程存在大量的研究成果[4-6]。然而對于隨機的Navier-Stokes方程的研究并不多，本文討論如下隨機的Navier-Stokes方程：

其中U表示速度域,υ表示粘度系數(shù),Δ是Laplacian算子,?是梯度,f表示外力,p表示壓力,U0表示初始條件。因為外界的擾動和內(nèi)部的Brown運動影響了速度域，式（1）包含了?()t,U這個隨機項。如果用dtU表示U關(guān)于t的微分,即,則式(1)表示為It?形式的方程

對隨機Navier-Stokes方程解的指數(shù)穩(wěn)定性，在文獻[7]中已經(jīng)進行了分析，本文在此基礎(chǔ)上，采用新的方法，利用Kolmogorov不等式、Burkholder-Davis-Gundy不等式、H?lder不等式，以及Borel-Cantelli引理，重新討論了隨機Navier-Stokes方程解的指數(shù)穩(wěn)定性,并給出了指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件。

1 預(yù)備知識

設(shè)V,H是可分的Hilbert空間，V′是V的對偶空間，H=L2([0,A])滿足

本文中ωt取值于實數(shù)空間R。設(shè)C=C([0,T];H)是所有從[0,T]到H的連續(xù)函數(shù)組成的空間，其模定義為：。算子Β滿足

首先，我們假設(shè)隨機Navier-Stokes方程滿足下列條件：

（i）f:[0,T]×H→H是一個映射，且滿足：

(a)f(t,0)=0,?t∈[0,T];

(b)存在常數(shù)k1＞0，使得

(ii)φ:[0,T]×H→H是一個映射，且滿足：

(a)φ(t,0)=0,?t∈[0,T];

(b)存在常數(shù)k2＞0，使得

定義1設(shè)(Ω;F,{Ft},U)是隨機基，ωt是一個Wiener過程，我們把空間上對所有t∈[] 0,T滿足的Ut稱為隨機Navier-Stokes方程的廣義解，如果滿足下面等式：

這里隨機積分在It?意義下顯然成立。

注：令n=2,G∈Rn且

其中u,v,z∈V,t∈[] 0,T，則式（2）可轉(zhuǎn)化為式（1）。

f(t,v)和φ(t,v)滿足條件(H)：存在常數(shù)α＞0,ξ＞0,λ∈R和非負連續(xù)函數(shù)γ(t),t∈R+，使得：

其中，對任意δ＞0=0。

2 解的指數(shù)穩(wěn)定性

引理1[6]算子Β有下列性質(zhì)：

下面將介紹隨機Navier-Stokes方程（2）解的指數(shù)穩(wěn)定性的一些準則。假設(shè)存在：

是方程（2）的解，即Ut滿足方程（2）。

定理1[7]如果上述假設(shè)條件成立，且α/m2-λ＞0，則當Ut是方程（2）的解時，存在常數(shù)C＞0,τ＞0，使得

引理2設(shè)定理1的條件滿足，則存在常數(shù)C＞0,τ＞0，使得

引理3設(shè)定理1的假設(shè)條件成立，則存在常數(shù)M＞0，使得

證明：對|Ut|2應(yīng)用It?公式，可得

利用Burkholder-Davis-Gundy引理，對任意T∈R+，有

其中p1為一正常數(shù)。因此，由假設(shè)條件()H、式（3）和（4），可得

其中μ=α/m2-λ。結(jié)合定理1和引理2，可知次命題成立。

定理2假定定理1中的條件滿足。則存在正常數(shù)M、ε和一個子集N0?Ω，其中U(N0)=0，對于每一個ω?N0，存在一個正的隨機數(shù)T(ω)，使得

證明：根據(jù)條件()H可得

其中T≥N，當N充分大時，易得

現(xiàn)在利用Kolmogorov不等式和定理1來估計式（4）右邊的一、三項；利用Burkholder-Davis-Gundy不等式和H?lder不等式，以及引理2和引理3類似的證明來估計第二項。因此，存在一個常數(shù)p2，使得

由Borel-Cantelli引理可得，對幾乎所有ω∈Ω，存在一個正數(shù)T(ω)，使得

定理得證。

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[3]李榮華，戴永紅，孟紅兵.與年齡相關(guān)隨機時滯種群方程的指數(shù)穩(wěn)定性[J].數(shù)學年刊，2006，27A（1）：39-52.

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The Exponential Stability of Solutions to the Stochastic Navier-Stokes Equations

LU Qin，ZHANG Qimin
（Yinchuan College,China University of Mining and Techology,Yinchuan 750011，Ningxia，China）

This paper discusses the exponential stability of solutions to the stochastic Navier-Stokes equations.Introducing the definition of solution to the stochastic Navier-Stokes equations and using Ito^formula,Burkholder-Davis-Gundy inequality,a sufficient condition of exponential stability is established.

the stochastic Navier-Stokes equations;It? formula;Burkholder-Davis-Gundy inequality;exponential stability

O175.14

A

1672-2914（2015）02-0039-03

2014-09-11

教育部重點基金項目（208160）；寧夏回族自治區(qū)教改項目(寧教高［2011］271)。

盧琴（1982-），女，寧夏銀川市人，中國礦業(yè)大學銀川學院講師，碩士，研究方向為數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學。