奇異值分解的證明及奇異值與對角元的關(guān)系

楊倩，任芳國

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安710062)

奇異值分解的證明及奇異值與對角元的關(guān)系

楊倩，任芳國

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安710062)

奇異值和奇異值分解在矩陣論中起著重要的作用，通過矩陣的譜分解、極分解來給出奇異值分解的不同證明方法，并通過奇異值分解來獲得矩陣的對角元與奇異值之間的弱受控關(guān)系。

奇異值分解；譜分解；極分解；弱受控

矩陣?yán)碚撟鳛橐环N各數(shù)學(xué)學(xué)科的的基本工具，在數(shù)學(xué)學(xué)科和其他學(xué)科技術(shù)領(lǐng)域（如數(shù)值分析、優(yōu)化理論、微分方程、概率統(tǒng)計(jì)、系統(tǒng)工程等）都有廣泛的應(yīng)用，而在矩陣?yán)碚撝?，奇異值和奇異值分解無疑起著重要的作用，因此一直受到專家學(xué)者的關(guān)注[1-12]。文獻(xiàn)[1]通過奇異值的范數(shù)性質(zhì)來證明奇異值分解，并且得到了矩陣奇異值和特征值的若受控關(guān)系。本文分別從譜分解、極分解來給出矩陣奇異值分解的證明方法，并給出了主對角元素與奇異值的弱受控關(guān)系及其證明。

1 預(yù)備知識

為了敘述方便，我們對符號約定如下：Cn表示復(fù)數(shù)域上的n維列向量的集合；Mm,n()C表示復(fù)數(shù)域上m×n矩陣的集合；A*表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣；其余未加說明的符號見文獻(xiàn)[2]；下面是與本論文有關(guān)的幾個(gè)定義及引理。

定義1[2]設(shè)A是n階方陣，如果滿足

AA?=A?A，則A是正規(guī)矩陣。

定義2[2]設(shè)U是n階方陣，如果滿足U?U=I，則U是酉矩陣。

引理1[2]設(shè)A∈Mn是正規(guī)矩陣，則存在酉矩陣U∈Mn，使得A=UΛU?，其中Λ是對角矩陣。

引理2[1]（極分解）對于A∈Mm,n.

（a）如果n≥m,則A=PY,其中P∈Mm是半正定矩陣，且P2=AA?,Y∈Mm,n的行互相正交；

（b）如果n≤m,則A=XQ,其中Q∈Mn是半正定矩陣，且Q2=A?A,X∈Mm,n的列互相正交；

（c）如果m=n,則A=PU=UQ,其中U∈Mn是酉矩陣，P,Q∈Mn是半正定矩陣，且P2=AA?,Q2=A?A。

引理3[1]設(shè)x=[xi],y=[yi]∈Rn為非負(fù)實(shí)向量，則y弱受控x當(dāng)且僅當(dāng)存在次雙隨機(jī)矩陣

Q∈Mn(R)，使得x=Qy。

引理4[1]設(shè)A∈Mm,n，Ar為將A刪去r行或r列后得到的A的子矩陣，則

σk(A)≥σk(Ar)≥σk+r(A),k=1,…,min{}m,n對于X∈Mp,q,σj(X)≡0，當(dāng)j＞min{}p,q。下面我們討論奇異值分解的其它證明。

2 定理及其證明

定理1對于矩陣A∈Mm,n(C)，設(shè)q= min{m,n}。則存在酉矩陣V∈Mm,W∈Mn使得A=VΣW?，其中Σ=[σij]∈Mm,n,σij=0對于所有i≠j,且σ11≥σ22≥…≥σqq≥0。如果A∈Mm,n(R)，則V和W為實(shí)正交矩陣。

證明：

方法1情況Ⅰ對于A∈Mn,則AA?和A?A都是正規(guī)矩陣且有相同的的特征值，所以它們是酉相似的，即存在酉矩陣U∈Mn使得A?A=U(AA?)U?。所以A?A=(UA)(UA)?,又因?yàn)?/p>

所以UA是正規(guī)矩陣，即存在酉矩陣X∈Mn和對角矩陣Λ∈Mn使得UA=XΛX?。又因?yàn)棣?ΣD,其中Σ=|Λ|是非負(fù)的且D是對角酉矩陣。則

其中V=U?X,W?=DX?。

情況Ⅱ?qū)τ贏∈Mm,n(m＞n)，設(shè)u1，u2，…，uν是A?的核空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則有

設(shè)U2≡[u1u2…um-n]∈Mm,m-n，使得U=[U1U2]∈Mm是酉矩陣，則

其中A1∈Mn,所以

情況Ⅲ當(dāng)m＜n時(shí)，同理可得A?的奇異值分解，進(jìn)而可得A的奇異值分解。

方法2對于矩陣A∈Mm,n及其秩r，則A?A∈Mn既是Hermitian矩陣又是半正定矩陣，所以

其中U∈Mn是酉矩陣，Λ∈Mr是對角正定矩陣，D=Λ⊕In-r∈Mn。所以

其中V1∈Mm,r的列正交。如果V=[] V1V2∈Mm是酉矩陣，則

方法3對于A∈Mm,n,

情況Ⅰ當(dāng)n≥m時(shí)，A的極分解為A=PY,其中P∈Mm是半正定矩陣，Y∈Mm,n是行正交矩陣，則

則A=VΣW?。

情況Ⅱ當(dāng)n＜m時(shí)，A?∈Mn,m,由引理2（a）可得A?=VΣW?,從而A=WΣ?V?。

推論1設(shè)A=[aij]∈Mm,n,q=min{m,n}的奇異值分解為

其中酉矩陣V=[vij]∈Mm,W=[wij]∈Mn，則有

定理2對于A=[aij]∈Mm,n,q=min{m,n}，設(shè)

證明：

方法1因?yàn)锳=VΣW?，所以

令Q≡|Z|=[|vijwij|]，則Q為次雙隨機(jī)矩陣。

又因?yàn)閨a|=[|ai|]≤Qσ(A)，由引理3得

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Proofs of Singular Value Decomposition and the Relationship of the Vectors of Singular Values and Diagonal Entries

YANG Qian，REN Fangguo
(College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,Shaanxi,China)

Singular values and singular value decomposition play an important role in matrix theory.Some new proofs of singular value decomposition are obtained by using spectral decomposition and polar decomposition；at the same time,weak majorization relationship between the main diagonal entries and singular values of a matrix is generated via the singular value decomposition.

singular value decomposition;spectral decomposition;polar decomposition;weak majorization.

O151.21

A

1672-2914（2015）02-0032-03

2014-12-08

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11171201）；陜西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2011JM1007）。

楊倩（1988-），女，山西呂梁市人，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)榫仃囌摗?/p>

任芳國，副教授，E-mail：rfangguo@sohu.com。