擬線性橢圓問題正解的存在性和不存在性

陳海鴻，楊芳萍

（1.隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅慶陽745000；2.蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅蘭州730000；3.隴東學(xué)院信息工程學(xué)院，甘肅慶陽745000）

[數(shù)理科學(xué)與信息科學(xué)研究]

擬線性橢圓問題正解的存在性和不存在性

陳海鴻1,2，楊芳萍3

（1.隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅慶陽745000；2.蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅蘭州730000；3.隴東學(xué)院信息工程學(xué)院，甘肅慶陽745000）

擬線性奇異橢圓方程；對(duì)流項(xiàng)；雙參數(shù)；正解

討論了Dirichlet邊界條件下擬線性奇異橢圓方程

非線性奇異邊值問題起源于研究化工多相催化的前后關(guān)系及化學(xué)催化劑動(dòng)力學(xué)、導(dǎo)電材料的熱傳導(dǎo)理論、奇異極小曲面以及非牛頓流體、黏性流體的邊界層現(xiàn)象等[1-5]。

當(dāng)p=2,a=0時(shí)，M Ghergud等[6]假設(shè)奇異項(xiàng)g(t)在原點(diǎn)周圍類似于t-α,α∈(0,1),在K(x)＜0,x∈且λ,μ＞0,問題(pλ,μ)在中有唯一解。另一方面，若K(x)＞0,x∈，存在λ*,μ*，使λ＞λ*或μ＞μ*時(shí)，問題(pλ,μ)在Σ中有解，當(dāng)λ＜λ*且μ＜μ*時(shí)，問題(pλ,μ)在Σ中無解。M Ghergud等[7]證明了若K(x)＞0,x∈，g(t)在原點(diǎn)附近滿足，僅當(dāng)λ＞0足夠大時(shí)，方程至少存在一個(gè)解。M Ghergud等[8]證明了若0＜a＜1則方程對(duì)所有的λ≥0至少有一古典解，若1＜a≤2則方程在λ較大時(shí)無解。p≠2,a=0的情形，通常采用變分法證明解的存在性及多重性[9-13]，含有對(duì)流項(xiàng)的奇異P-Laplace問題的研究論文不多。本文利用比較原理和上下解方法，得到了當(dāng)λ,μ在某范圍內(nèi)時(shí)一類奇異擬線性橢圓問題解的存在性和非存在性的幾個(gè)結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

本文考慮下面含有雙參數(shù)和對(duì)流項(xiàng)的擬線性橢圓問題

其中Ω?RN(N≥2)是有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，是p拉普拉斯算子，連續(xù)，關(guān)于第二個(gè)變量不減，關(guān)于第二個(gè)變量是次線性的，g∈C0,γ(0,∞),g＞0且不增，λ,μ是兩參數(shù)。假定f,g滿足下列假設(shè)。

由(H4)可得如下的Keller-Osserman型條件

記λ1,φ1分別表示特征值問題

的第一特征值和對(duì)應(yīng)于第一特征值的特征函數(shù)。

定義1非負(fù)函數(shù)u:Ω→(0,∞)稱為問題(pλ,μ)的弱上解，是指u∈W1,p(Ω)，在?Ω上u≥0，且

定義2非負(fù)函數(shù)u:Ω→(0,∞)稱為問題(pλ,μ)的弱下解，是指u∈W1,p(Ω)，在?Ω上u≤0，且有

定義3非負(fù)函數(shù)u:Ω→(0,∞)稱為問題(pλ,μ)的弱解，是指u∈W1,p(Ω)，且有

2 主要結(jié)果及證明

先證如下存在性定理。

設(shè)F滿足如下條件：

(F1)F：×（0，∞）→R是×（0，∞）的任意緊子集上具有指數(shù)β()β∈(0,1)的Ho¨lder連續(xù)函數(shù)。

(F3)?t＞0，存在常數(shù)D(t)＞0，使得?x∈及r≥s≥t有

并且存在δ＞0和非空開子集Ω0?Ω，使得s∈(0,δ)有

對(duì)x∈Ω0一致的成立。

定理1若F滿足(F1)～(F3)，則對(duì)任意的非負(fù)函數(shù)φ0∈C1,β(?Ω)，任意旳緊子集G?Ω?{x∈?Ω:φ0＞0}問題

至少有一正解u∈C1,β(G)?C(Ωˉ)。

證明：考慮邊值問題

其中k為正整數(shù)。

記φm,k(x)(φm,∞(x))是如下問題的解

于是對(duì)所有的m,k≥1，有

若x∈,m*≥m及k*≥k有

則存在d1,d2＞0，使得

由Schauder估計(jì)，只要m,k充分大，可以使φm,k(x)很小對(duì)x∈一致的成立。從而，存在整數(shù)m0，由式（2）有

由式（1）得

因此，若x∈Suppξ且m,k≥m0，對(duì)φ≥0，則由式（4）（5）有

當(dāng)m,k≥m0時(shí)，φm,k(x)是問題(pk)的一個(gè)弱下解。

記δk=，則有

由（F2），取λ0＞0使得

考慮如下問題

令k0是一充分大的正整數(shù)，可以驗(yàn)證對(duì)每個(gè)k≥m0,k0ζ(x)問題(pk)的一個(gè)弱上解，同時(shí)有

第二步：定義迭代如下

由（F3）得，?x∈Ω,s?F(x,s)+D(δm0)sp-1是上的增函數(shù)，取w0(x)=φm0,m0(x)或 (k0ζ(x))，可得一單調(diào)序列收斂到問題(pm0)的解um0(x)∈W1,p(Ω)，并有。用m0+1替換m0，取w0(x)=φm0,m0+1(x)或 (um0(x))，類似于上面的討論可得問題(pm0+1)的正解um0+1(x)∈W1,p(Ω)，又由-Δp+D(δm0+1)的比較原理得

并且對(duì)任意k≥m0,uk(x)是問題(pk)的解。

另一方面，由F的假設(shè)條件，存在數(shù)

由比較原理有

從而有

其中Q(x)是問題

的解。若G是Ω?{x∈?Ω|?(x)＞0}的緊子集，存在兩正數(shù)E1(G),E2(G)，使得

由Schauder理論和正則理論可得u(x)∈C1,β(G)是問題（3）的解。又若x0∈?Ω，則對(duì)?ε＞0,?ρ＞0及整數(shù)m1≥m0，使得

則u(x)在上連續(xù)并滿足邊界條件，定理得證。

定理2設(shè)K*＞0，f滿足(H1)、(H2)；且，則對(duì)所有λ,μ＞0，問題(pλ,μ)無解。

證明：假設(shè)對(duì)λ,μ＞0問題(pλ,μ)有一解uλ,μ，由f滿足(H1)、(H2)，由定理1得問題

存在解Uλ,μ，并由性質(zhì)2.1[12]知，根據(jù)文獻(xiàn)[14]得?c1,c2＞0，使得

考慮擾動(dòng)問題

由于K*＞0，則uλ,μ和Uλ,μ分別是式（11）的下解和上解，又由得Uλ,μ∈L∞(Ω)，從而由比較原理[13]有uλ,μ≤Uλ,μ，由上下解迭代得式（11）的解

積分式（11）得

M＞0，考慮到，則可得

由于uλ,μ≤Uλ,μ，故有

即對(duì)任一緊子集w??Ω，有

令ε→0+，可得

從而可得

與式（13）矛盾，故問題(pλ,μ)無解。

定理3設(shè)K*＞0，f滿足(H1)、(H2)；g滿足(H3)、(H4)；則存在λ*,μ*＞0，使得

（Ⅰ）當(dāng)λ＞λ*或μ＞μ*時(shí)，問題(pλ,μ)至少有一個(gè)解。

（Ⅱ）當(dāng)λ＜λ*且μ＜μ*時(shí)，問題(pλ,μ)無解。

為證定理3，先證下面的引理：

引理1若f滿足(H1)、(H2);g滿足(H4)，則存在λ*＞0，使得對(duì)?μ＞0，當(dāng)λ＞λ*時(shí)，問題

至少有一解vλ,μ。

證明：對(duì)μ＞0固定λ＞0，則由式（9）定義的Uλ,μ是問題（14）的上解，下面主要是找下解，有

令G(t)=，并記，則ψ(t)是增函數(shù)，記H(t)是ψ(t)的反函數(shù)，H:[0,∞)→[0,∞)滿足

在式（15）兩邊乘以H′，然后在區(qū)間[s,t]積分得

由(H4)及上式可將H′延拓到原點(diǎn)，即H′(0)=0，考慮到在(0,∞)上H′遞增，H″遞減，故有

因此對(duì)t＞0有H′(t)≥tH″(t)，積分此不等式有

由強(qiáng)極大值原理，存在δ＞0,Ω0??Ω，使得

使Ω0充分逼近?Ω，則有

下證λ＞0充分大時(shí)，是式（14）的下解。取

由M的定義及式（17）得

由式（20）（23）知λ＞λ*時(shí)，是問題（14）的下解。由比較原理[13]，在Ω上有，定理4.14[5]有λ＞λ*,?μ＞0，問題（14）至少存在一個(gè)解vλ,μ∈W1,p(Ω)，使得。引理獲證。

下面將證明分成以下幾步。

第一步：當(dāng)λ較大時(shí)(Pλ,μ)解的存在性。由引理1知，存在λ*＞0，對(duì)λ＞λ*，?μ＞0，問題

至少有一解vλ,μ，則是k≥1時(shí)，問題的弱下解，由定理1，令ω∈W1,p(Ω)是下列問題的弱解

則ω是k≥1時(shí)問題的弱上解，由比較原理得在Ω上1≤v1≤ω，故可知問題有解，并有，取和v2是問題的一對(duì)上解和下解，可得的解并有繼續(xù)此過程，可得解序列滿足x∈，定義

下證uλ,μ是問題(Pλ,μ)的解，并滿足

對(duì)任意D??Ω及，由f,g的單調(diào)性，Hlder連續(xù)性及≤C[12]知

根據(jù)控制收斂定理有

即對(duì)λ＞λ*,?μ＞0問題(Pλ,μ)至少有一解uλ,μ∈W1,p(Ω)。并由文獻(xiàn)[8]知uλ,μ∈C1,γ(Ω)。

第二步：當(dāng)μ較大時(shí)(Pλ,μ)解的存在性。由文獻(xiàn)[15]的定理2，可得?μ*＞0若μ＞μ*時(shí)，下面問題

至少有一解vμ，記，可驗(yàn)證vk是問題的一個(gè)下解。類似于第一步可證當(dāng)λ＞0,μ＞μ*時(shí)，問題(Pλ,μ)至少有一解。

第三步：當(dāng)λ,μ均很小時(shí)(Pλ,μ)無解。令λ,μ＞0，由于k*＞0，記

令s＞c，由(H1)可得

對(duì)x∈，固定，并令

結(jié)合上面的不等式有

由式（24）（25）得

并且當(dāng)λ→0時(shí)a(λ)→0。若問題(Pλ,μ)有一解uλ,μ。則

由式（25）有

由于當(dāng)λ→0時(shí)a(λ)→0，λ,μ＞0充分小時(shí)，上述關(guān)系式將導(dǎo)出矛盾。故當(dāng)λ,μ均很小時(shí)(Pλ,μ)無解。

定理4設(shè)K*＞0，f滿足(H1)、(H2)，則存在λ*,μ*＞0，對(duì)λ＞λ*或μ＞μ*時(shí)問題(pλ,μ)至少有一個(gè)解。

證明：固定λ＞0，由于k*＜0，則

滿足定理1的條件。因此問題

存在解uˉλ,μ(x)∈C1,γ(Ω)，且是問題(Pλ,μ)的一個(gè)上解。下面找問題(Pλ,μ)的一個(gè)下解。為此考慮問題

首先=0是問題（26）的下解。由定理1，下列方程

存在解w∈W1,p(Ω)，且w(x)＞0是問題（26）的上解，則問題（26）至少有一解v∈W1,p(Ω)，由文獻(xiàn)[15]知，其中M是一常數(shù)，因此存在λ*,μ*＞0，當(dāng)λ＞λ*或μ＞μ*時(shí)，可保證

則可得v(x)＞0(x∈Ω)。即得是問題(Pλ,μ)的一下解，并對(duì)φ＞0有

定理5設(shè)K*＞0＞K*，f滿足(H1)、(H2)，g滿足(H3)，則存在λ*,μ*＞0，對(duì)λ＞λ*或μ＞μ*時(shí)問題(Pλ,μ)至少有一個(gè)解。

證明：已知k*＞0，由定理3的證明知存在λ*,μ*＞0使問題

另一方面，由定理1知邊值問題

有一解wk(x)∈W1,p(Ω)，可以驗(yàn)證wk(x)是問題(Pλ,μ)的一個(gè)上解。由于k*＞0＞k*，可得

并且有vk(x)≤wk(x),x∈，由上下解討論知存在一極小解滿足v1(x)≤，取和v2為問題的一對(duì)上，下解，則問題存在一極小解W1,p(Ω)滿足，重復(fù)此過程，可得問題的解序列，使得，定義uλ,μ(x)=，類似于定理3的證明可得uλ,μ(x)∈是問題(Pλ,μ)的解。定理得證。

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Existence and Nonexistence of Positive Solutions of Quasilinear Elliptic Problems

CHEN Haihong1,2，YANG Fangping3
(1.School of Mathematics and Statistics,Longdong University,Qingyang 745000,Gansu,China; 2.School of Mathematics and Statistics,Lanzhou University,Lanzhou 730000,Gansu,China; 3.College of Information Engineering,Longdong University,Qingyang 745000,Gansu,China)

The existence and nonexistence of positive solutions of quasilinear singular elliptic prob-under Dirichlet boundary condition was discussed.By using the unbounded ofg(u)at zero and the signs of the extremal values of potentialk(x)on.We apply the comparision principle and sub-supersolution method to obtain the existence and nonexistence results of positive solutions for certain range of parametersλandμ.

quasilinear singular elliptic equation；convection term；two parameters；positive solution

O177.91

A

1672-2914（2015）02-0024-08

2014-12-13

甘肅省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃基金項(xiàng)目（GS[2013]GHB0933,GS[2013]GHB1079）；隴東學(xué)院青年科技創(chuàng)新項(xiàng)目（XYLK1301）。

陳海鴻（1977-），男，甘肅天水市人，隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，碩士，主要研究方向?yàn)榉蔷€性泛函分析。