基于倍角三角形的一類一元高次方程求解

王雪茹，趙繼偉

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)史研究中心，陜西西安710127）

基于倍角三角形的一類一元高次方程求解

王雪茹，趙繼偉

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)史研究中心，陜西西安710127）

研究韋達(dá)構(gòu)造倍角三角形的一般方法，總結(jié)出n倍角三角形正余弦與單倍角三角形正余弦之間的關(guān)系，并根據(jù)這種關(guān)系，給出一類特殊的一元高次方程的解法。

倍角三角形；余弦公式；高次方程求解

高次方程的求解在數(shù)學(xué)史上具有重要的地位。長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)家們發(fā)明了很多種數(shù)值算法來(lái)逼近方程的實(shí)根。法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)(Francois Vieta, 1540—1603)從研究倍角三角形入手，發(fā)現(xiàn)了n倍角展開式和高次方程之間的關(guān)聯(lián)，一度解決了一個(gè)特殊的45次方程。

本文通過(guò)研究韋達(dá)關(guān)于倍角三角形的構(gòu)造方法，推導(dǎo)出一般n倍角正余弦公式，并且通過(guò)n倍角正余弦①正余弦：本文中所有出現(xiàn)的正余弦在韋達(dá)所在的時(shí)期都沒有，韋達(dá)對(duì)正弦的表示是直角三角形中高與斜邊的比，余弦也表示為底邊與斜邊的比，本文為方便理解引入我們今天所用的正余弦的概念及表示方法。與單倍角正余弦之間的恒等關(guān)系，研究滿足一類特殊系數(shù)的一元高次方程的求解。韋達(dá)就曾用此方法解決了比利時(shí)數(shù)學(xué)家羅馬努斯（Adriaen van Roomen，1561—1615）提出的45次方程的解[1]208。筆者還將給出可求解的這一類一元高次方程的系數(shù)表,用來(lái)驗(yàn)證所給出的高次方程是否可以用這種方法求解，如果系數(shù)滿足表中數(shù)字，則可以按照這種方法給出其解答。

1 倍角三角形構(gòu)造

法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)，在他從事律師職業(yè)期間研讀了卡爾丹、塔塔利亞、邦貝利、斯蒂芬和丟番圖等數(shù)學(xué)家的著作[2]129。《分析術(shù)》(The analytic art)是T.Richard Witmer整理翻譯韋達(dá)在1584年左右的幾篇著作，其中包括《分析術(shù)引論》(Introduction to the analytic art)、《符號(hào)運(yùn)算法則》（Preliminary notes to symbolic logistic）、《角分割的一般定理》(Universal theorems on the analysis of angular sections)等8部分[3]9-10。

在《符號(hào)運(yùn)算初步》中韋達(dá)利用兩個(gè)已知直角三角形構(gòu)造第三個(gè)直角三角形，并且滿足第三個(gè)直角三角形的底角是已知直角三角形底角之和或之差，推導(dǎo)出第三個(gè)三角形三條邊與已知直角三角形三條邊之間的關(guān)系[4]。具體構(gòu)造方法如下：已知兩個(gè)直角三角形，斜邊分別為Z,X，高分別為B,F，底邊分別為D,G，底角分別為∠a和∠b，如圖1所示。

圖1 已知直角三角形

根據(jù)兩角之和的正余弦公式可得，構(gòu)成的第三個(gè)直角三角形的底角是兩個(gè)已知直角三角形的兩底角之和，它的斜邊相似于第一個(gè)直角三角形的斜邊與第二個(gè)三角形斜邊的乘積，稱之為ZX，高相似于第一個(gè)三角形的高與第二個(gè)三角形底邊的乘積，加上第一個(gè)三角形的底邊加上第二個(gè)三角形的高，即BG+DF，底邊相似于兩個(gè)三角形的高的乘積與兩個(gè)三角形底邊乘積之差DG～BF。相應(yīng)的根據(jù)兩角之差的正余弦定理可得，構(gòu)成的第四個(gè)三角形的底角是兩個(gè)已知直角三角形的底角之差，它的斜邊相似于ZX，高相似于DG～BF，底邊相似于DG～BF。具體如圖2所示，前者稱為合角三角形，即它的底角是已知直角三角形的底角之和；后者成為分角三角形，即它的底角是兩個(gè)已知直角三角形的底角之差。

圖2 合角三角形及分角三角形

按照合角三角形的構(gòu)造方法，設(shè)兩個(gè)全等的直角三角形斜邊為A，底邊為D，高為B，構(gòu)造第三個(gè)直角三角形。那么按照上面給出的合角三角形三邊滿足的關(guān)系可知：構(gòu)造的新的直角三角形的底角是已知兩個(gè)三角形底角的之和，也就是已知全等三角形底角的2倍，它的三條邊滿足：斜邊相似于已知直角三角形兩條斜邊的乘積，即A2；底邊相似于已知的直角三角形底邊的乘積與高的乘積之差，即D2～B2；高相似于第一個(gè)直角三角形高與第二個(gè)直角三角形底邊的乘積加上第一個(gè)直角三角形底邊與第二個(gè)直角三角形高的乘積，即2BD。如圖3所示。其中二倍角三角形的斜邊、底邊及高分別相似于：

圖3 二倍角三角形

同理，單倍角與二倍角之間使用合角三角形的方法，可得三倍角三角形三邊分別相似于：

四倍角三角形三條邊分別相似于：

五倍角三角形的三條邊分別相似于：

從上面的推導(dǎo)過(guò)程我們可以得到如下的一般規(guī)律：n倍角三角形的斜邊相似于A的n次冪，對(duì)應(yīng)的底邊與高的組成項(xiàng)都是二項(xiàng)式（D+B）n的n+1個(gè)展開項(xiàng)，項(xiàng)按照D的冪次從大到小排列，其中第1、3、5等項(xiàng)組成底邊，并且正負(fù)相間；第2、4、6等項(xiàng)組成高，并且正負(fù)相間[5]。這樣便給出了一般n倍角三角形三條邊之間的比例關(guān)系，或者說(shuō)在一定意義上給出了n倍角正余弦公式。

2 一般n倍角余弦公式

根據(jù)上面給出的n倍角三角形三邊之間的關(guān)系式可得：

總結(jié)一般n倍角三角形的恒等式為：

按照上面的公式推導(dǎo)可得2cosnα關(guān)于2cosα的表達(dá)式，用表1表示系數(shù)絕對(duì)值。表1中的數(shù)字滿足：an,m=an-1,m+an-2,m-1這樣的關(guān)系，所以按照這樣的關(guān)系可以一直做下去，得到n倍角三角函數(shù)的恒等式系數(shù)。

3 高次方程求解

1593年，時(shí)任荷蘭大使的比利時(shí)數(shù)學(xué)家羅馬努斯（Adriaen van Roomen，1561—1615）向法國(guó)國(guó)王亨利四世提出的了一個(gè)45次方程

x45-45x43+945x41-12300x39+…-3795x3+45x=C并宣稱法國(guó)無(wú)人能解。韋達(dá)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)關(guān)于類似于正弦函數(shù)的恒等式，并給出C=2sinα則這樣的一個(gè)解，隨后他給出這個(gè)式子的所有的23個(gè)正解，即，韋達(dá)還指出

這個(gè)方程還可以有22個(gè)負(fù)解，不過(guò)他本人并不接受負(fù)數(shù)，但是在一定意義，韋達(dá)解決了這個(gè)45次方程。

上面是韋達(dá)給出的對(duì)于這樣的45次方程的解，按照韋達(dá)的思想換個(gè)方式來(lái)做。令C=2cos45α，按照上一節(jié)給出的公式，滿足

很容易發(fā)現(xiàn)45倍角的余弦定理中的系數(shù)與方程中的系數(shù)一致，并且相鄰的冪也相差兩次，我們可以直接給出方程的根為

表1 n倍角余弦公式系數(shù)表

從這個(gè)方程的解得出：所有滿足n倍角正余弦公式系數(shù)及冪的方程，都可以按照代入正余弦恒等式的方法求解，這類特殊高次方程的系數(shù)可以參照表1的數(shù)字，如果滿足其中的某一關(guān)系就可以用這樣的方法求解。

筆者給出一個(gè)例題：求解下面的11次方程，

觀察發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程的系數(shù)滿足表中11倍角的余弦恒等式的系數(shù)，相鄰未知數(shù)的次數(shù)也是相差兩次，且未知數(shù)對(duì)應(yīng)系數(shù)的符號(hào)正負(fù)相間，所以按照這樣的方法，可以令C=2cos11α相應(yīng)的可以給出滿足x=2cos(k=0，1，2，…，10)的一組解，由于k有11個(gè)不同的值，所以這樣的方程就有11個(gè)不同的解。

多倍角余弦定理的恒等式，為我們處理這一類高次方程提供了直接簡(jiǎn)單的方法。在我們遇到一個(gè)高次方程求解的問題時(shí)，我們可以把這樣的方法當(dāng)作一種判定的條件，如果滿足上面的條件，或者適當(dāng)變換后滿足上面的條件，我們可以直接使用上面的方法給出答案，反之則需要我們?cè)偃ふ移渌姆椒ā?/p>

4 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)《分析術(shù)》中的研究，總結(jié)了韋達(dá)構(gòu)造合角三角形的一般方法，并由此推出倍角三角形三條邊之間的關(guān)系，總結(jié)一般余弦公式，并且給出的一類特殊高次方程的求解方法，即所有滿足xn-axn-2+a1xn-4-…=C類型的一元高次方程，相鄰未知數(shù)次數(shù)相差2個(gè)，方程系數(shù)正負(fù)號(hào)間隔出現(xiàn)，且系數(shù)滿足表中某一行的系數(shù)關(guān)系，則這類方程可用上面的方法求解。

[1]UTA C M,CARL B B.A history of mathematics[M].Thired edition.Hoboken:John Wiley&Sons.Inc.2010.

[2]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].2版.北京：高等教育出版社，2002.

[3]FRANCOIS V.The analytic art[M].Translated by T.Richard Witmer.New York:Dover Publications Inc，2006.

[4]FRANCOIS V.Ad logisticem speciosam notae priores[J].G. Baundry,1631(82)：13-41.

[5]IAN B.A translated account of viète's ad angulares sectiones [EB/OL].[2015-03-08].http://www.17centurymaths.com/ contents/Angular%20Sections.pdf,.

Find the Solution for One Kind of Higher Degree Univariate Polynomial Equation Based on the Multiple-angle Triangle

WANG Xueru,ZHAO Jiwei
(Center for the History of Mathematics and Science,Northwest University,Xi’an 710127,Shaanxi,China)

Based on the research of Francois Viete’s general method for construction of multiple triangle,summarized the relationship of sine and cosine formula between multiple angle and single angle.At last set out the solution for one kind of higher degree univariate polynomial equation.

multiple-angle triangle;cosine formula;the solution for equation of higher degree

N09

A

1672-2914（2015）02-0021-03

2015-02-14

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11171271；11001217）。

王雪茹（1989-），女，陜西藍(lán)田縣人，西北大學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)史研究中心碩士研究生，研究方向?yàn)楣糯鷶?shù)學(xué)史。

：趙繼偉，副教授，E-mail：553881072@qq.com。