京房六十律及其算法解析

羅見今

（內蒙古師范大學科學技術史研究院，內蒙古呼和浩特010022）

[科技史與科技傳播研究]

京房六十律及其算法解析

羅見今

（內蒙古師范大學科學技術史研究院，內蒙古呼和浩特010022）

用三分損益法確定十二律在中國古代音樂史上是一重要課題，也是古代數(shù)學的重要應用。解析十二律的3種黃鐘初值30、34、311，將十二律算法表示成統(tǒng)一的通項公式?！逗鬂h書·律歷志》用大篇幅精確記載京房（前77—前37）所創(chuàng)六十律，據(jù)此列出5個表，考釋這些記錄，解析六十律的構造方法和計算精度，指出京房六十律是5種比例不等的十二律的疊加。

三分損益法；十二律通項公式；黃鐘大數(shù)；京房六十律；中國古代音樂；音律

中國古人重視音樂，五千年前，舜帝大典，韶樂在先；六經（《易》《詩》《書》《禮》《樂》《春秋》）之中，樂經在列，所惜失傳；六藝（禮、樂、射、御、書、數(shù)）之中，樂在禮后，舉足輕重。由于音樂在祭祀、典禮、戰(zhàn)爭、生活中的重要性，律呂學說被視為神圣的理論，《史記》稱為“萬事根本”[1]1331，提升到陰陽五行哲學觀念的高度，它又與被稱為精密科學的數(shù)學、物理學、天文學知識密切關聯(lián)。所以我們說，中國古代的律學屬于早期精密科學。

司馬遷說：“鐘律調自上古。”[1]1345古樂音階先是宮商角徵羽，繼而發(fā)展為十二律，“早在公元前六世紀，十二律就用來調節(jié)樂音”[2]33。在《管子·地員》《呂氏春秋·音律》《淮南子·天文訓》《史記·律書》《漢書·律歷志》等典籍中有不少關于十二律的記錄和論述。1986年甘肅天水放馬灘秦墓出土戰(zhàn)國晚期簡牘461枚，2009年整理出版[3]。其中乙種《日書》的13枚竹簡記錄有十二律的數(shù)據(jù)，已有多篇研究[4-5]。

科學史家李約瑟[6]、程貞一等按照聲學原理和現(xiàn)代樂理對十二律多有研究，特別是在《黃鐘大呂——中國古代和十六世紀聲學成就》中，指出“三分損益律制是世界上現(xiàn)存的最早用五度生律而沒有音差的十二律體系”，并用較大篇幅論證西方學者有關評論的諸多錯誤[2]。

從數(shù)學上看，三分損益法是為制定音律創(chuàng)造的一種遞推方法，其結果獲得了黃鐘音階級數(shù)，與現(xiàn)代十二音階十分接近，這是對早期音樂理論的天才貢獻。此法產生的時代遠早于成書于兩漢之交的《九章算術》，追蹤其算法和計算精度的演變，也是數(shù)學史感興趣的課題。

為獲得統(tǒng)一的音階，首先要規(guī)定一標準音，并依照按三分損益法調控管長，推算出其余一系列音階。諸本所載，宮音管長8寸1分，或81寸，不考慮單位就是81，在《淮南子》里叫作“黃鐘之數(shù)”[7]。

漢元帝時有位易學家京房（前77—前37），“長于災變，分六十四卦，更直日用事，以風雨寒溫為候：各有占驗。房用之尤精。好鐘律，知音聲?！盵1]1390京房在科學史上有貢獻，如較早觀察太陽描寫日珥、日冕；他對音律也頗有研究。京房按陰陽五行的理論將干支、歷法、十二律等都與八卦建立起對應關系，形成一個哲學體系。特別是他建立了六十音律，在中國音樂史上留有記錄[8]。

《后漢書·律歷志》[1]1453—1478詳述了京房的成果及相關歷史，這在音樂史、數(shù)學史上都是重要的資料。音樂方面近年多有研究，見逯璐[9]、陳應時[10-12]、谷杰[13]等。

本文將主要依據(jù)《后漢書》的記載，并參照放馬灘出土律書和《史記》《漢書》有關內容，集中探討六十律中的數(shù)學問題。

本文從科學史的視角，用數(shù)學方法解析十二律算法，闡明黃鐘的3個初始條件即十二律的3個求值途徑，將其方法表示成統(tǒng)一的通項公式。本文據(jù)《后漢書》列出5個表格，分段解析六十律，逐一核驗該書記錄的精確程度；指出京房以十二律大數(shù)為基礎，推衍出其他4個十二律，均可視為等比例縮小的產物，六十律的數(shù)值也可由統(tǒng)一的通項公式分段求出。

1 十二律的算法和通項公式

遞求十二律從來就是一個重要的工作。方法上既有上生、下生，結果又有陰、陽之分，還內涵五行；將各個律名與十二地支、與一年十二個月、進而與二十四節(jié)氣相聯(lián)系，賦予該級數(shù)大量附加意義。黃鐘與十一月對應，以后隨月份的遞增而十二律的數(shù)值遞減。自古以來，律歷并稱，音樂與歷法的結合，成為中國古代科學文化的特點之一。

古人探索“調律”，發(fā)明旋宮原理，《管子·地員》推算五聲音階，《呂氏春秋·音律》導生半音音階[2]32-45，均有杰出成就。為構造十二律，他們找到3種途徑，其一，設“黃鐘之數(shù)”管長34=81，這種思想根深蒂固，諸本皆有論述；其二，設黃鐘管長30=1，各律均不大于1，見于《史記》“生鐘分”[1]1342；其三，設管長311=177 147，即放馬灘秦墓簡牘中“律書”之例[3]，在《淮南子》里叫作“黃鐘大數(shù)”[7]。從數(shù)學上看，這在實際上是對三分損益法設定的3個初始值。

用黃鐘合于九九、即81為首項，可用三分損益法得出各律的精確值，后世多有闡述。設十二律依次為an（n為項數(shù)）：

求各律是一個遞推過程，式中上生、下生系數(shù)分別為4和2。從a2開始，逐次把前項的值代入后項，獲得第2個等號后的算式，看出實際上是在作2與3的冪積運算，結果呈現(xiàn)明顯的規(guī)律性。由于“三分損一”與“三分益一”交替進行，所得既非等差級數(shù)，亦非等比級數(shù)，而是2的升冪與3的降冪（對應值）之積，形成的級數(shù)是擺動的，可在坐標上繪出它的圖像。但注意到從a7分成兩段，前6項（a2→a7）先損后益，后5項（a8→a12）先益后損。

求十二律必須做遞歸運算，欲知級數(shù)中任意一項，都須從頭用遞推法算起。本文的問題是：能否將上述遞歸運算轉化為一步求解的公式？

從應鐘到蕤賓（a6→a7）和從蕤賓到大呂（a7→a8）連續(xù)兩步，都是“三分益一”，因此須將n分為兩段：1≤n≤7和8≤n≤12。下面式中的“[]”是取整符號，①取整符號(高斯符號)[α]表示不大于α的最大整數(shù)。例如[3/2]=1，[-3/2]=-2，[π]=3，[-π]=-4，等。于是得到各律的通項公式（分析、推導過程從略）為：

經過試值，不難看出式（1）的結果與三分損益法遞推的精確結果完全一致，并且不包含其他任何值，因此，該式是十二律正確的通項公式。

2 《后漢書》記載的六十律及其分析

司馬彪在《續(xù)漢書·志第一·律歷上》[1]的“律準候氣”篇內，用一卷的篇幅記載京房的成果及相關歷史，在中華書局《歷代天文律歷等志匯編》五中，連同?？庇?，共有24頁（第1 453～1 478頁）。“律準候氣”記有京房一段話作為提綱：

中呂上生執(zhí)始，執(zhí)始下生去滅，上下相生，終于南事，六十律畢矣。夫十二律之變至于六十，猶八卦之變至于六十四也。

從該書的記錄看，他選用的音律首數(shù)是“黃鐘大數(shù)”，即311=177 147，第1組所求出的十二律大數(shù)，都與放馬灘秦墓竹簡“律書”完全相合。這些竹簡屬戰(zhàn)國晚期，要比京房的研究早約兩個世紀。因此，京房所得第1組十二律在當時是眾所周知的：

<1)，且各件產品是否為不合格品相互獨立．

這是按照生律的順序排列，而在放馬灘秦簡和《后漢書》中，均按照律值大小排序。

由此，第1組求出最后的仲呂為a12=131 072= 217，按照生律的理論，算出仲呂后，再三分損一，得到87 381.333 3。今天看來，最好能求出黃鐘311長度之半，樂理上便可獲高八度音，實際算出的這個結果偏少1.35%。京房是怎樣考慮的姑且不論，他自己說要模仿周易從八卦推演到六十四卦，便用三分損益法繼續(xù)推算，創(chuàng)“六十律相生之法”。除上述十二律外，所推出的四十八律分為4組，可注意以下幾點。

（1）京房選用“上生”作為第2組十二律的開始，而且以后每組十二律均以“上生”開始；這使得每組之首均具有該組中類似黃鐘的地位。

（2）第2～5組每組下生與上生的交替與第1組保持一致，序列為：下上下上下上；上下上下上，使得每組的十二律都與十二律大數(shù)成比例。僅第5組色育為例外，詳見下文。

由于每求一次三分損益都要除以3，故分母3的指數(shù)以自然數(shù)遞增；而從每組的第2律起，分子2的指數(shù)在首律分子的基礎上依次擴大21、23、24、26、27、29、211、212、214、215、217倍。這個序列實際上是用三分損益法求出的十二律的標志。

（3）第2～5組每組實際上均可視作一獨立的十二律。單獨來看，其作用與生鐘分、黃鐘十二律、十二律大數(shù)沒有什么不同，其首數(shù)均可視為黃鐘初值，即京房實際上增添了執(zhí)始、分動、丙盛、質未4個初始值。

（4）當他把六十律都推算出來之后，又將各律按數(shù)值大小重新排列。后人看到的，就是這種排法的結果?！逗鬂h書》將排算過程記錄在每律后的說明之中。本文恢復京房計算的過程，指出仲呂之后共4個十二律，其實都是原律等比例縮小的產物。

（5）《后漢書》所載京房六十律的數(shù)值全取整數(shù)，總體而言比較精確，但除前十二律外全部是近似值，即省略了小數(shù)部分；按四舍五入考量，他計算正確的有26個。由于三分損益遞歸運算誤差積累，包括錢大昕等注釋者的修正亦有誤差，均見表1-5。

表1 生律分數(shù)、十二律數(shù)、十二律大數(shù)(即京房六十律中第1十二律)比較

3 京房六十律的算法、數(shù)值與計算精度

表1-5中欄目名稱表示如下：①生序：計算音律先后之順序。②生法：應用三分損益生律之法，上生即乘4/3,下生即乘2/3。③值序：表1的值序分兩種：前者是在十二律中按律值大小排列的順序，后者是《后漢書》所列六十律按律值大小排列的順序；表2-5的值序均指后者。

表1提供的數(shù)據(jù)和算法清楚顯示出三分損益法的特點。

（1）“生鐘分”首數(shù)30=1、黃鐘首數(shù)34=81和黃鐘大數(shù)311=177 147是三分損益法的3個初始值，只要相應調整通項公式（1a）（1b）中3的指數(shù)，就可獲得另兩個十二律公式。

（2）“生律分數(shù)”欄所列小數(shù)根據(jù)《史記》“生鐘分”，表1對原有上生下生順序從大呂起做了調整；其實表1第6欄算法所列正是《史記》給出的分數(shù)。

（3）“十二律大數(shù)”指以黃鐘大數(shù)起首的十二律數(shù)值。十二律大數(shù)12個值最早的文獻見之于放馬灘秦簡“律書”[3]，京房六十律的第1十二律與它完全吻合。

（4）表1的3種算法中2的冪序列皆同；3的冪均呈降冪排列，只是首項3的冪分別為30，34和311。由此確知三分損益法入選的首項不唯一，所得皆為十二律。

以下第2-5表的欄目除表1的說明①②③之外，還有：④數(shù)值：《后漢書》所列六十律之值。⑤值序：《后漢書》所列六十律按律值大小排列的順序。⑥修正：對《后漢書》律值的修正，原文正確的標以“—”號。⑦確值：本文給出的精確值（給出10位有效數(shù)字）。⑧算法：本文給出的公式，據(jù)此可算出確值。⑨誤差：《后漢書》原文與確值間的絕對誤差。

表2 京房六十律內含第2十二律

表3 京房六十律內含第3十二律

表4 京房六十律內含第4十二律

表5 京房六十律內含第5十二律

（5）上列5表中，上生和下生的序列基本一致，只有第54律色育1個例外。由于京房在生律的第53步本應從依行282·3-41下生色育，卻改為上生色育284·3-42，此后下生上生相間至終，由此造成六十律中唯一的變化，即色育的數(shù)值與前4組每組第6律不成比例。

京房何以作此“變律”，易學家和樂理家有不同解釋，此不贅言。

（6）比較上列5表中5個十二律的數(shù)量關系，可知它們互呈比例：

表2為第2十二律，可由第1十二律各乘0.986 540 37(=2193-12)而得；

表3為第3十二律，可由第1十二律各乘0.973 261 90(=2383-24)而得；

表4為第4十二律，可由第1十二律各乘0.960 162 15(=2573-36)而得；

表5為第5十二律，可由第1十二律各乘0.947 238 72(=2763-48)而得。

易于得知，各表之間皆可乘以放大或縮小的系數(shù)實現(xiàn)互求。

（7）第60律為南事293·3-48，所謂“南事窮”，“下不生”。為什么算到第60律后不再繼續(xù)算下去了呢？按照京房自己的說法，從十二律擴展到六十律，就像推衍八卦成六十四卦一樣。但從數(shù)學上看，八卦推衍到六十四卦應用將下卦、上卦視為兩類元素的有重排列(23)2，與京房迭用三分損益法屢求十二律立意有別。一般認為京房的做法是為了附會周易。“并沒有發(fā)明什么律的新的計算方法”，“導向了唯心的樂律神秘主義”。而在孫繼南、周柱銓的《中國音樂通史簡編》中指出它“顯示了律學思維的精微性”，“出現(xiàn)了五十三平均律的計算成果，這是前所未有的?！盵15]近年陳應時接連發(fā)表文章，為六十律申辯、再辯、三辯[10-12]，引起了更多的興趣。

但無論如何，京房的確設計了一個精巧的音樂—數(shù)字系統(tǒng)，在兩千多年里吸引了一代又一代學者。

4 京房六十律分段計算公式

分數(shù)或奇零之數(shù)（漢時不叫小數(shù)）在實際運用中有不便之處，可以放大，沒有長度的限制，成為抽象的數(shù)值，這就是所謂“黃鐘大數(shù)”和“十二律大數(shù)”。在放馬灘秦簡“律書”和京房六十律的第1十二律里，人們看到的正是這種放大的數(shù)值。

各律的“生序”按照生成的先后而定，是一種遞推序列；黃鐘大呂的排法將陰陽交織起來，顯見為交錯排列。表1十二律大數(shù)的“算法”是按照算術基本定理給出其素數(shù)（質因數(shù)）的唯一分解式，其規(guī)律性歷歷在目，這里仍然仿照公式（1）來歸納其通項公式。

于是獲得分成兩段的第1十二律求值通項公式為（推導從略）：

經過試值，不難看出式（2）的結果與十二律大數(shù)的記錄完全一致，并且不包含其他任何值，因此，這是京房第1十二律的正確的通項公式。

比較式（1）和（2），其區(qū)別僅在于3的指數(shù)，后者是前者的37=2 187倍。同樣地，對于第2-5表，我們也可調整公式（2）中3的指數(shù)，易于獲得六十律的另4個公式（其中僅將第54律色育作為例外），此不贅述。

綜上可知：京房六十律是5種比例不等的十二律的推衍和疊加。無論京房的用意何在，也無論從易學或樂理上給予何種解釋和評價，從數(shù)學上看，就其結果必然導出這樣的結論，可供對音樂史感興趣者參考，也可從中看出古代數(shù)學的應用。

對京房六十律的評價，在楊蔭瀏1962年著、1980年再版的《中國古代音樂史稿》中基本持否定意見[14]：

[1]中華書局編輯部.歷代天文律歷等志匯編（五）[M].北京：中華書局，1976.

[2]程貞一.黃鐘大呂——中國古代和十六世紀聲學成就[M].王翼勛，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.

[3]甘肅省文物考古研究所.天水放馬灘秦簡[M].北京：中華書局，2009：96-97.

[4]谷杰.從放馬灘秦簡《律書》再論《呂氏春秋》生律次序[J].音樂研究，2005（3）：29-34.

[5]陳應時.再談《呂氏春秋》的生律法——兼評“從放馬灘秦簡《律書》再論《呂氏春秋》生律次序”[J].音樂研究，2005（4）：39-46.

[6]NEEDHAM J.Science and civilisation in China(Vol1)[M]. Cambridge:Cambridge University Press,1962.

[7]張雙棣.淮南子校釋[M].北京：北京大學出版社，1997.

[8]李純一.中國古代音樂史稿：第1分冊[M].北京：人民音樂出版社，1998.

[9]逯璐.京房六十律研究綜述[J].黃河之聲，2007（10）：112-115.

[10]陳應時.“京房六十律”中的三種音差[J].中國音樂，2007（1）：34-37.

[11]陳應時.“京房六十律”三辯[J].黃鐘(武漢音樂學院學報)，2010（2）：113-120.

[12]陳應時.解讀“京房六十律”的律數(shù)[J].文化藝術研究，2012（1）：55-66.

[13]谷杰.京房六十律的蕤賓之“重上”、色育之“違例”——《五經算術》中的京房六十律[J].天津音樂學院學報，2009（4）：44-50.

[14]楊蔭瀏.中國古代音樂史稿：上冊[M].北京：人民音樂出版社，1980：131-132.

[15]孫繼南.周柱銓.中國音樂通史簡編[M].濟南：山東教育出版社，1993：69.

AnAnalysis on theAlgorithm of the Sixty Musical Scales Created by Jing Fang(77BC—37BC)

LUO Jianjin
(Institute for the History of Science and Technology,Inner Mongolia Normal University,Huhhot 010022,Inner Mongolia,China)

Using the method of Sanfen Sunyi(三分損益法)to identify twelve musical scales is an important issue both in the music history and science history in ancient China.This paper analyzes three kinds Huang Zhong initials(黃鐘初值)of the twelve scales,i.e.30,34,311,and presents algorithm in a general formula of the twelve scales.In history of the Later Han Dynasty——Musical Scales and Calendar,the sixty musical scales created by Jing Fang(京房,77BC—37BC)were accurately documented with great length.Based on these historical records,this paper lists 5 tables(totaling 560 pieces of information),makes textual explanations to these records,and details the constructing methods and calculation accuracy of these sixty scales.The paper concludes that the sixty scales created by Jing Fang are superposition of five kinds of twelve scales which proportions are different.

the method of Sanfen Sunyi;the formula for twelve musical scales;the big numbers of Huang Zhong;the sixty musical scales created by Jing Fang;ancient Chinese music;tonality

J609.2；J612.1

A

1672-2914（2015）02-0001-06

2015-01-25

羅見今(1942-)，男，河南新野縣人，內蒙古師范大學科學技術史研究院教授，博士生導師，研究方向為數(shù)學史。