基于微分幾何和擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的勵磁控制

常鮮戎，張海生，崔趙俊

（華北電力大學(xué)電力工程系，保定 071003）

同步發(fā)電機(jī)勵磁控制系統(tǒng)是現(xiàn)代電力系統(tǒng)的重要組成部分，對整個電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著重要作用。從PID 控制、電力系統(tǒng)穩(wěn)定器到線性最優(yōu)勵磁控制，顯著提高了系統(tǒng)電壓和功角的穩(wěn)定性。但設(shè)計所依據(jù)的是在電力系統(tǒng)某一特定狀態(tài)下近似線性化的數(shù)學(xué)模型，在系統(tǒng)遭受大干擾、偏離設(shè)計平衡點(diǎn)較遠(yuǎn)時，控制效果就會減弱。近年來，非線性控制理論在電力系統(tǒng)得到大量研究[1-2]，很大程度上改善了系統(tǒng)大干擾的穩(wěn)定性。但因電力系統(tǒng)模型及參數(shù)有不確定性，使得非線性勵磁控制器在實(shí)際應(yīng)用中有一定誤差。

自抗擾控制技術(shù)[3]針對模型不精確和擾動等問題，提供一條新的解決思路。擴(kuò)張狀態(tài)觀測器ESO（extended state observer）是其核心部分，在低階情況下能有效觀測系統(tǒng)的內(nèi)外擾動，將此內(nèi)外擾動的估計值補(bǔ)償?shù)娇刂埔?guī)律中，以實(shí)現(xiàn)非線性模型動態(tài)補(bǔ)償線性化[4]。文獻(xiàn)[5]根據(jù)非線性控制系統(tǒng)的微分幾何理論，提出非線性勵磁控制器NEC（nonlinear excitation control）。雖然這種NEC 可顯著改善電力系統(tǒng)的靜態(tài)和暫態(tài)穩(wěn)定性，但在穩(wěn)定機(jī)端電壓方面效果不是很理想[6]，而比例積分控制對機(jī)端電壓具有良好的控制效果。

輸出函數(shù)的選取會直接影響變換后的線性空間構(gòu)成，從而影響控制器的最終控制效果[7-8]。文獻(xiàn)[9]將輸出函數(shù)選為發(fā)電機(jī)角速度的偏差，構(gòu)造含有機(jī)端電壓偏差ΔUt的偽線性系統(tǒng)，將ΔUt引入反饋，提高了機(jī)端電壓的調(diào)節(jié)能力。變結(jié)構(gòu)控制最大優(yōu)點(diǎn)是滑動摸態(tài)對內(nèi)部參數(shù)的變動和外部擾動作用具有不變性，或不靈敏性、自適應(yīng)性[10]。

本文提出一種基于微分幾何和擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的非線性變結(jié)構(gòu)勵磁控制。首先根據(jù)微分幾何理論進(jìn)行坐標(biāo)變換，然后構(gòu)造二階的ESO 得到動態(tài)補(bǔ)償線性化的系統(tǒng)，利用變結(jié)構(gòu)理論設(shè)計虛擬控制量，并引入基于機(jī)端電壓偏差的比例積分控制，從而實(shí)現(xiàn)非線性勵磁控制規(guī)律的設(shè)計。

1 數(shù)學(xué)模型

對于單機(jī)無窮大系統(tǒng)，當(dāng)同步發(fā)電機(jī)采用靜止可控硅快速勵磁方式時，發(fā)電機(jī)勵磁控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型可用非線性微分方程組描述為

式中：δ 為發(fā)電機(jī)功角；ω 為角速度；Eq′為q 軸暫態(tài)電勢；H 為轉(zhuǎn)動慣量；xd和分別為發(fā)電機(jī)直軸同步電抗和暫態(tài)電抗；Td0為發(fā)電機(jī)定子開路時勵磁繞組時間常數(shù)；Td′為發(fā)電機(jī)定子閉路時勵磁繞組時間常數(shù)為阻尼系數(shù)；Pm為發(fā)電機(jī)機(jī)械功率；Us為無窮大系統(tǒng)母線電壓。

系統(tǒng)（1）化為仿射非線性系統(tǒng)，即

2 非線性勵磁控制規(guī)律的設(shè)計

2.1 坐標(biāo)變換

考慮到轉(zhuǎn)速的變化超前于功角的變化和控制便于實(shí)現(xiàn)，同時也為了把輸出函數(shù)的穩(wěn)態(tài)值選取在新坐標(biāo)系的原點(diǎn)上，將輸出函數(shù)選為

經(jīng)計算可得：h（x）對系統(tǒng)的關(guān)系度為r=2。由于LgΔδ=0，故可選取以下坐標(biāo)變換[11]，即

將式（1）變換成標(biāo)準(zhǔn)型方程為

根據(jù)微分幾何理論，得

式中，w（x）為參數(shù)不確定造成的擾動。

可驗(yàn)證，φ（x）的雅可比矩陣是非奇異的，即

式（4）是狀態(tài)空間[Eq′，ω，δ]T與[z1，z2，z3]T之間的一個局部微分同胚。

2.2 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器

ESO 利用非線性函數(shù)來設(shè)計比系統(tǒng)多一維的狀態(tài)觀測器，從而估計對象的各階狀態(tài)變量，對不確定模型和擾動實(shí)時作用量補(bǔ)償。ESO 是動態(tài)過程，只需知道對象的輸入和輸出信息，對于系統(tǒng)構(gòu)造ESO[4]為

選擇合適的增益系數(shù)β01，β02，…，β0，n+1，使ESO更好地跟蹤系統(tǒng)的各個狀態(tài)：z1→x，z2→x˙，…，zn→x(n-1)，zn+1→f（x，…，x(n-1)）+w（t）。有了估計值zn+1，控制量可表示為

根據(jù)上述ESO 的動態(tài)反饋線性化理論，由于系統(tǒng)的非線性變量集中式（5）中的第2 個方程，觀測器的階數(shù)比對象高一階，故對式（5）中的第2 個方程構(gòu)造相應(yīng)的二階ESO。

式中：m1為z2的估計值；m2為擴(kuò)張變量，即

取控制量

2.3 變結(jié)構(gòu)控制

變結(jié)構(gòu)控制是一種控制系統(tǒng)的設(shè)計方法，可用于控制系統(tǒng)的跟蹤、調(diào)節(jié)、自適應(yīng)和不確定等，適用于線性和非線性系統(tǒng)。

根據(jù)變結(jié)構(gòu)控制理論，取切換函數(shù)為

式中，c1為常數(shù)。

為了使滑?？刂凭哂辛己玫膭討B(tài)品質(zhì)，選擇指數(shù)趨近律為

式中，ε、m 為正常數(shù)。

由式（5）、（16）、（17），可得

為了抑制滑模面上抖動，采用飽和函數(shù)代替式（18）的符號函數(shù)為

式（18）又可寫成為

式（20）代入式（15），得非線性勵磁控制規(guī)律為

在式（21）的非線性勵磁控制規(guī)律中加入機(jī)端電壓偏差的比例積分控制，用以調(diào)節(jié)機(jī)端電壓，得到最終的勵磁控制規(guī)律為

3 仿真分析

為論證本文所設(shè)計的非線性勵磁控制器具有較好的控制效果，與文獻(xiàn)[5]提出的非線性勵磁控制器比較，圖1 所示單機(jī)無窮大系統(tǒng)為例。

圖1 單機(jī)無窮大系統(tǒng)Fig.1 Single-generator infinite bus power system

仿真軟件采用Matlab。電力系統(tǒng)的模型參數(shù)為：xd= 1.0，xq= 0.6，xσ= 0.15，xd′ = 0.3，xd″ = 0.21，xq″=0.31，H=6 s，D=0.1，Td0=4 s，xT=0.088，xL=0.2。系統(tǒng)平衡點(diǎn)參數(shù)為：δ0= 22.15°，ω0= 1，Pe0=0.835，Qe0=0.26。設(shè)計的ESO 參數(shù)為：α1=0.5，α2=0.25，δ=0.01，β01=70，β02=10。設(shè)計變結(jié)構(gòu)控制器參數(shù)為：c1=10，ε=0.1，m=10，Δ=0.1。PI 控制器參數(shù)為：kp=60，Ti=600。

3.1 機(jī)械功率擾動實(shí)驗(yàn)

機(jī)械功率Pm在t=1 s 時發(fā)生20%的階躍擾動。機(jī)端電壓Ut、功角δ、有功功率Pe和角速度偏差量Δω 的動態(tài)響應(yīng)曲線如圖2 所示。圖中，實(shí)線為本文提出的改善機(jī)端電壓的非線性勵磁控制，虛線為文獻(xiàn)[5]提出的非線性勵磁控制器。

圖2 表明，系統(tǒng)在小擾動情況下，常規(guī)非線性勵磁控制器使發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓偏離擾動前的狀態(tài)，而本文設(shè)計的勵磁控制器使發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓在擾動后基本恢復(fù)到擾動前的值，同時使系統(tǒng)在擾動結(jié)束后較快地穩(wěn)定下來。

3.2 三相短路實(shí)驗(yàn)

在t=1 s 時一回輸電線路首端發(fā)生三相短路，0.2 s 后故障切除，系統(tǒng)單回路供電。發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓Ut、功角δ、有功功率Pe和角速度的偏差量Δω的動態(tài)響應(yīng)曲線分別如圖3 所示。

從圖3 看出，本文設(shè)計的勵磁控制器在大擾動下，發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓基本恢復(fù)到短路前的值，滿足電壓精度要求，同時系統(tǒng)功角和角速度進(jìn)入穩(wěn)態(tài)所需時間略短，對大干擾有一定的抑制作用。

3.3 參數(shù)擾動實(shí)驗(yàn)

令參數(shù)Td0發(fā)生+50%擾動，從而引起b0值變化，通過觀察系統(tǒng)響應(yīng)來驗(yàn)證控制器的魯棒性。機(jī)端電壓Ut、功角δ、有功功率Pe和角速度偏差量Δω 的動態(tài)響應(yīng)曲線如圖4 所示。由圖4 可看出，當(dāng)參數(shù)發(fā)生擾動時，由于ESO 補(bǔ)償系統(tǒng)模型擾動，本文設(shè)計的勵磁控制器恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)的時間比常規(guī)非線性勵磁控制器要短，狀態(tài)響應(yīng)產(chǎn)生的偏差也小，說明本文方法具有較好的魯棒性。

圖2 機(jī)械功率擾動實(shí)驗(yàn)Fig.2 Mechanical power disturbance experiment

4 結(jié)語

圖3 三相短路實(shí)驗(yàn)Fig.3 Three-phase short circuit experiment

本文將微分幾何理論、ESO 理論和變結(jié)構(gòu)控制理論相結(jié)合，提出了一種基于微分幾何和擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的非線性變結(jié)構(gòu)勵磁控制。仿真結(jié)果表明，在機(jī)械功率擾動和三相短路故障下，所設(shè)計的勵磁控制器的控制效果優(yōu)于常規(guī)非線性勵磁控制器，能改善機(jī)端電壓的調(diào)節(jié)精度，較好地保證發(fā)電機(jī)角速度、功角的穩(wěn)定。同時，采用ESO 來估計未知參數(shù)和非線性模型，降低了控制器的復(fù)雜程度，對系統(tǒng)不確定性具有較好的魯棒性。

圖4 參數(shù)擾動實(shí)驗(yàn)Fig.4 Parameter disturbance experiment

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