三角函數(shù)的歷史與解題技巧

徐 贏 趙 宇

（長(zhǎng)春外國語學(xué)校）

在數(shù)學(xué)中，三角函數(shù)是一種常見的關(guān)于角度的函數(shù)。三角函數(shù)是將角度作為自變量，而角度對(duì)應(yīng)任意兩邊的比值作為因變量的函數(shù)。三角函數(shù)可以將直角三角形的內(nèi)角和它的兩個(gè)邊長(zhǎng)度的比值相關(guān)聯(lián)，也可以相應(yīng)的用與單位圓有關(guān)的各種線段的長(zhǎng)度來定義。在研究三角形和圓等幾何形狀的性質(zhì)時(shí)，三角函數(shù)發(fā)揮著重要作用，同時(shí)它也是研究周期性現(xiàn)象的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具。高中常見的三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)。

對(duì)于三角函數(shù)的研究最早可以追溯到人類文明的較早階段。在公元前2 世紀(jì)，古希臘三角術(shù)的奠基人喜帕恰斯按照古巴比倫人的做法，將一個(gè)圓周分為360 等份（即將圓周的弧度視為360 度，與目前通用的弧度制有所不同）。對(duì)于給定的弧度，他給出了對(duì)應(yīng)的弦的長(zhǎng)度數(shù)值，這個(gè)記法與目前使用的正弦函數(shù)是相同的，喜帕恰斯也給出了最早的三角函數(shù)數(shù)值表。古希臘的三角學(xué)基本是球面三角學(xué)，這是由于古希臘人研究的主體是天文學(xué)，三角學(xué)僅作為輔助工具。梅涅勞斯在《球面學(xué)》書中通過采用正弦函數(shù)來描述球面的梅涅勞斯定理。古希臘三角學(xué)與其天文學(xué)的應(yīng)用在埃及的托勒密時(shí)代達(dá)到了高峰，托勒密在《數(shù)學(xué)匯編》中計(jì)算了36 度角和72 度角的正弦值，同時(shí)還給出了計(jì)算和（差）公式和半角公式的方法，此外他給出了自0 到180 度區(qū)間內(nèi)的所有整數(shù)和半整數(shù)弧度對(duì)應(yīng)的正弦值。

自從古希臘文化傳播到古印度后，古印度人對(duì)三角術(shù)開展了進(jìn)一步研究。到了公元5 世紀(jì)末，數(shù)學(xué)家阿耶波多提出用弧對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)的一半來對(duì)應(yīng)半弧的正弦，和現(xiàn)代的正弦定義相同，這個(gè)做法被后來的古印度數(shù)學(xué)家使用。阿耶波多的計(jì)算中也使用了余弦和正割。他在計(jì)算弦長(zhǎng)時(shí)使用了不同的單位，重新計(jì)算了0 到90 度中間隔3.75 度的三角函數(shù)值表。但是古印度的數(shù)學(xué)僅停留在計(jì)算方面，未有系統(tǒng)的定義和演繹的證明。再之后的阿拉伯人又延續(xù)采用了古印度人的正弦定義，同時(shí)直接繼承了古希臘的三角學(xué)。之后，阿拉伯天文學(xué)家引入正切和余切、正割和余割的概念，并計(jì)算了間隔10 分的正弦和正切數(shù)值表。到了公元14 世紀(jì)，阿拉伯人將三角計(jì)算代數(shù)化，這為三角學(xué)從天文學(xué)中獨(dú)立出來，成為應(yīng)用范圍更廣的學(xué)科奠定了基礎(chǔ)。

15 世紀(jì)，阿拉伯與歐洲之間交流逐漸增多，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)文化在這樣的形勢(shì)下開始傳入歐洲。在翻譯阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)著作的同時(shí)，歐洲數(shù)學(xué)家開始制作更詳細(xì)精確的三角函數(shù)值表。哥白尼的學(xué)生喬治·約阿希姆·瑞提克斯制作了間隔10 秒的正弦表，其精確值可以達(dá)到9 位。此外，瑞提克斯修改了正弦的定義，原來稱弧對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)是正弦，瑞提克斯則將角度對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)稱為正弦。16 世紀(jì)后，數(shù)學(xué)家開始將古希臘有關(guān)球面三角的結(jié)果和定理轉(zhuǎn)化為平面三角定理。自18 世紀(jì)，隨著解析幾何等分析學(xué)工具的引進(jìn)，數(shù)學(xué)家們開始對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行分析學(xué)上的研究。

三角函數(shù)在現(xiàn)代文明中地位非常重要，是科研研究工作中不可缺少的數(shù)學(xué)工具，在日常的生產(chǎn)生活中同樣有相當(dāng)?shù)膽?yīng)用。同時(shí)，對(duì)于三角函數(shù)在圓與線段間關(guān)系和三角形內(nèi)角與邊長(zhǎng)關(guān)系的研究和各類計(jì)算練習(xí)可以有效地幫助青少年鍛煉數(shù)學(xué)思維能力和圖形分析能力，是高中必修四的主要內(nèi)容，是高考對(duì)學(xué)生思維能力和分析能力考查的手段?？疾榈闹攸c(diǎn)主要是三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、正余弦定理、輔助角公式，出題頻率最多的類型題主要是輔助角公式的應(yīng)用，即函數(shù)y=Asin（ωx+φ）。例如：

［2014·江西卷］已知函數(shù)f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，，時(shí)，求f（x）在區(qū)間［0，π］上的最大值與最小值。

解決函數(shù)y=Asin（ωx+φ）相關(guān)問題，需要將ωx+φ 當(dāng)作整體，類比函數(shù)y=sinx 的性質(zhì)。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要知道數(shù)學(xué)公式，會(huì)用數(shù)學(xué)公式解題，還要了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，數(shù)學(xué)家的奮斗故事，這樣的學(xué)習(xí)才是有滋有味的學(xué)習(xí)，而不是枯燥、機(jī)械地做題。數(shù)學(xué)學(xué)科是其他理工學(xué)科的基礎(chǔ)，在日常的生活中有著廣泛的應(yīng)用，雖然我們摸不到、看不到，但是它一直在為我們的生活更加便利、更加幸福起著重要的作用。希望有更多的人喜歡數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)，從而發(fā)展數(shù)學(xué)。