基于地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)方法的孔壓靜力觸探錐尖阻力固有空間變異性研究

鄒海峰，蔡國軍，劉松玉，林 軍

（東南大學(xué) 巖土工程研究所, 江蘇 南京 210096）

1 引 言

巖土工程可靠度設(shè)計建立在對土體固有空間變異性的客觀、準(zhǔn)確評價基礎(chǔ)之上[1－3]。地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)模型是模擬土體固有空間變異性的一種有效方法，最初應(yīng)用于采礦工程中，其后擴展至各類工程學(xué)中。

目前地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)已經(jīng)成為巖土工程空間變異性分析中常用的方法之一，Jones等[4]將不同孔壓靜力觸探CPTU參數(shù)的地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)理論變差函數(shù)模型參數(shù)進行了匯總，包括錐尖阻力、側(cè)壁摩阻力和孔隙水壓力，給出了模型參數(shù)的經(jīng)驗取值范圍。Dawson等[5]將地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)應(yīng)用美國 Northridge兩個沖積相地區(qū)的液化評估中，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)貫入試驗（SPT）結(jié)果，估算了液化概率的空間分布規(guī)律。Murakami等[6]將地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)方法應(yīng)用于獲取日本北 Kanto平原的地面沉降大小分布圖。Lee等[7]采用地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)方法評價了次壓縮系數(shù)的空間不確定性。Saftner等[8]將地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)方法用于定量評價 Indiana西南部某地區(qū)CPT錐尖阻力的空間變異性。Dasaka等[9]采用地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)結(jié)合隨機場理論，分析了香港風(fēng)化土地區(qū)決定樁基礎(chǔ)深度取值的3項關(guān)鍵指標(biāo)空間變異性特征。

受到設(shè)計成本的限制，常規(guī)工程中難以獲得大量具有代表性的原狀試樣，使得設(shè)計參數(shù)的空間變異性分析受到樣本容量的限制?？讐红o力觸探（CPTU）是一種高精度原位測試技術(shù)[10－11]，具有快速、經(jīng)濟和高重復(fù)性等優(yōu)點，非常適合于土體固有空間變異性分析。本文以宿－新高速公路建設(shè)為工程背景，進行了CPTU測試，采用地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)方法模擬了錐尖阻力 qt的固有空間變異性。宿-新高速沿線廣泛分布粉土和粉質(zhì)砂土，受到歷史上廢黃河演變導(dǎo)致沉積環(huán)境變化的影響，其工程性質(zhì)復(fù)雜多變，工程設(shè)計中應(yīng)當(dāng)充分考慮土體強度參數(shù)的空間分布規(guī)律。本研究有助于提高后續(xù)設(shè)計的可靠度。

2 地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)模型

2.1 變差函數(shù)

獲得對區(qū)域化變量X的觀測值x(z)時，若空間點z只在一維z軸上變化，則將區(qū)域化變量x(z)在z，z+h兩點處的值之差的方差之半定義為區(qū)域化變量x(z)在z方向上的實驗變差函數(shù)，假設(shè)N(h)是間距為h的所有點對的總數(shù)，則實驗變差函數(shù)的計算公式[12]為

式中：N(h)為步距為h數(shù)據(jù)對的數(shù)量；x(zi)、x(zi+h)為間距為h的2個采樣點值。

實驗變差函數(shù)本質(zhì)上是跟據(jù)離散樣本獲得的非連續(xù)分布函數(shù)。為得到連續(xù)的空間變異性評價，需要采用理論變差函數(shù)對實驗變差函數(shù)進行擬合。巖土工程中常用的理論變差函數(shù)模型見表1[4]。具體的選擇取決于實驗變差函數(shù)的特征。

表1 常用理論變差函數(shù)模型[4]Table 1 Typical theoretical semi-variogram models[4]

變差函數(shù)有變程、基臺值和塊金值3個模型參數(shù)。變程是用來度量空間自相關(guān)結(jié)構(gòu)的最大距離，是變差函數(shù)達到某一穩(wěn)定值時的空間距離[4]?；_值是變差函數(shù)在變程處達到的平穩(wěn)值，趨近于樣本的方差[4]。塊金值表示區(qū)域化變量在小于采樣間距（或稱為微尺度）時非連續(xù)變異，取決于區(qū)域化變量的微尺度變異性、采樣或統(tǒng)計誤差和測試誤差[3，13]。對多維條件下的地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)模型，可建立各個方向上的變差函數(shù)，從而簡便地擴展模型維數(shù)。

2.2 Kriging差值

Kriging插值是根據(jù)待估計點周圍的已知資料，以變差函數(shù)為工具，在平穩(wěn)性假定的基礎(chǔ)上，將待估計點處的參數(shù)值表述為變程內(nèi)所有已知點處參數(shù)值的線性加權(quán)平均，對待估計點作出最優(yōu)（即估計方差最?。?、無偏（即估計方差的數(shù)學(xué)期望為0）的估計。根據(jù)權(quán)重系數(shù)計算方法的不同，Kriging插值更進一步分為簡單 Kriging、普通 Kriging和泛Kriging等[14]，其中普通Kriging具有計算簡便和可靠性高而更為常用，本文應(yīng)用了這一方法。

普通Kriging插值假定區(qū)域化變量x(z)的數(shù)學(xué)期望為未知常量E[ x( z)]=m，從而推導(dǎo)出插值加權(quán)系數(shù)的表達式。假定任一點z0處的估計值[14]為

3 試驗資料

3.1 工程概況

試驗段位于江蘇省宿－新高速公路宿遷一標(biāo)某施工段，地質(zhì)構(gòu)造主要為古北東向構(gòu)造處于活動狀態(tài)的郯廬斷裂帶，是一條地震活動帶。試驗段地貌類型以廢黃河堆積沖積平原、堆積波狀平原為主，零星分布剝蝕殘丘。該地段全為第四系全新統(tǒng)及上、中、下更新統(tǒng)松散沉積物。場區(qū)表層為近期人工雜填土及耕值土，其下均為粉土、粉砂，地下水位3.8 m，試驗段土層主要物理指標(biāo)見表2。

表2 試驗場地土層的主要物理性質(zhì)指標(biāo)Table 2 Main physical characteristics indexes of soils

3.2 CPTU試驗

多功能CPTU試驗采用美國原裝進口多功能數(shù)字式車載 CPTU 系統(tǒng)， 配備了最新的多功能測試探頭。探頭規(guī)格符合國際標(biāo)準(zhǔn)：錐角為60°，錐底直徑為35.7 mm，錐底截面積為10 cm2，側(cè)壁摩擦筒表面積為150 cm2，孔壓測試元件厚5 mm，位于錐肩位置（u2位置）。貫入速率為2 cm/s，沿深度每5 cm測試1組讀數(shù)。貫入過程中連續(xù)測讀錐尖阻力qt、側(cè)壁摩擦力fs，孔隙水壓力u2。

圖1為所選擇的5個CPTU 的qt測試剖面及相應(yīng)的坐標(biāo)。當(dāng)不同的地質(zhì)單元未被分開時，空間變異性分析結(jié)果將會趨向于高估土體的變異性，同時產(chǎn)生不合理的趨勢項估計，導(dǎo)致不平穩(wěn)的觀測資料。第③層粉質(zhì)砂土土層單元是實踐中需要重點考慮的抗液化加固對象，本文中選擇該單元為研究對象，深度范圍為5～15 m。

圖1 CPTU測試剖面與坐標(biāo)Fig.1 Piezocone profiles and coordinates

4 地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)分析

4.1 趨勢項移除

由于CPTU剖面在豎直方向上表現(xiàn)出隨深度增加而增大的趨勢，水平方向上趨勢不明顯，本文選擇移除線性趨勢項來獲得弱平穩(wěn)的數(shù)據(jù)。二維條件下測量值Z(s)表達式[9]為

式中：m(si)為趨勢項；R(si)為殘差或稱為波動分量；si為坐標(biāo)值，包含常量、x、y軸3項；β為趨勢項系數(shù)，采用最小平方根法進行線性回歸分析獲得。圖 2為宿-新高速公路粉質(zhì)砂土層qt沿空間的趨勢項回歸分析結(jié)果，其趨勢項方程為

式中：x為里程坐標(biāo)；y為深度坐標(biāo)。

圖2 CPTU測試剖面的線性趨勢項移除Fig.2 Linear trend removal on CPTU profiles

從圖2中可以看出，CPTU錐尖阻力qt具有隨深度增加而增大的趨勢，沿里程方向趨勢并不明顯，這一結(jié)果并未超出意料，因為趨勢項的存在具有一定的物理意義[3]。在深度方向，隨著圍壓的增加，土體強度參數(shù)趨向于增大，qt具有明顯的增大趨勢；在水平方向上，同一土層大致經(jīng)歷了類似的沉積作用，趨于具有類似的強度特征。

4.2 變差函數(shù)擬合

對移除趨勢項之后的殘差進行分析，計算其實驗變差函數(shù)。圖3為4種理論變差函數(shù)模型對豎向?qū)嶒炞儾詈瘮?shù)的擬合結(jié)果。指數(shù)型模型對本文研究數(shù)據(jù)給出了最優(yōu)擬合度，采用該模型建立地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)的理論變差函數(shù)，公式為

圖3 CPTU殘差剖面的變差函數(shù)計算及擬合Fig.3 Curves fitting for semivariogram of CPTU residuals

從圖3中可以看出，間距h < 1.05 m時，實驗變差函數(shù)逐漸增大；h > 1.05 m后，在γ=4.45 MPa2附近穩(wěn)定地上下波動，可以認為殘差中不再包含趨勢項，表現(xiàn)出弱平穩(wěn)性，故線性趨勢項的移除是可以接受的。根據(jù)曲線擬合結(jié)果，殘差的塊金值為0.01，趨近于 0，表明在豎直方向上采樣誤差和 qt的測試誤差非常小。豎直方向的變程為3a=1.05 m，表明宿遷粉土qt資料在1.05 m的豎向間距范圍內(nèi)，數(shù)據(jù)具有較強的自相關(guān)性，而超過該范圍則幾乎不存在自相關(guān)特征。同時這一數(shù)值落在Jones等[4]推薦的取值范圍之內(nèi)，符合文獻資料。

水平方向，由于CPTU鉆孔數(shù)量有限，難以直接采用實驗變差函數(shù)和理論變差函數(shù)擬合方法進行計算，采用鄰域的方法進行估算。設(shè)置水平方向的容差角為30°，則沿x軸方向±30°范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)均可認為是處于水平方向，從而可以獲得多組不同間距時的實驗變差函數(shù)值。鄰域的概念在地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)中已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用[14]，以克服采樣間距不等和采樣不規(guī)則的問題。同樣利用曲線擬合方法，得到水平方向的變程為4.05 m。注意到水平方向的變程大約為豎直方向的4倍，表明試驗段內(nèi)土體的空間自相關(guān)結(jié)構(gòu)具有顯著的各向異性，而豎直方向上變異性的變化速率要遠遠高于水平方向，這也與以往的研究成果相符合[4]。

4.3 Kriging插值

根據(jù)殘差剖面得到空間變異性特征之后，即可采用普通 Kriging插值預(yù)測空間中未采樣點處的土體工程性質(zhì)的殘差值，然后與趨勢項相加，得到土工參數(shù)空間分布的最優(yōu)線性無偏估計。

圖4為研究區(qū)域內(nèi)qt值的空間分布規(guī)律，圖5為相應(yīng)的二維投影圖。圖中，不連續(xù)的數(shù)據(jù)點為實測資料。從圖中可以看出，整體上qt仍然服從隨深度增加而增大的趨勢。Kriging插值方法能夠相對準(zhǔn)確地估計不同空間點處的qt值，大部分數(shù)據(jù)點均位于預(yù)測曲面上或在預(yù)測曲面附近變化，因此，Kriging插值估計結(jié)果能夠與實測資料形成較好的對比。另一方面，在某些采樣點處 qt變化劇烈，qt具有極大值或極小值。在這些采樣點處，預(yù)測值往往相應(yīng)地偏小或偏大。這是由于連續(xù)的理論變差函數(shù)描述的是整個空間范圍內(nèi)自相關(guān)結(jié)構(gòu)的變化規(guī)律。從某種程度上講，基于該理論變差函數(shù)的Kriging插值是一種平滑估計，也即更加符合整個空間的平均趨勢，而不是某些極值附近的波動規(guī)律，因此可能會降低極值點處估計值的準(zhǔn)確性。

圖4 研究區(qū)域qt值的Kriging預(yù)測結(jié)果Fig.4 Kriging estimates of qt values at target site

圖5 Kriging預(yù)測結(jié)果平面投影Fig.5 2D distribution of Kriging estimates of qt values

從圖5中還可以看出，當(dāng)未知點與已知點間距較大（里程為710～720 m處）時，Kriging預(yù)測值表現(xiàn)出平緩的波動性，這是由于土體的自相關(guān)性受到距離限制，未知點與已知點間距過大時超出變程范圍之后，難以采用已知點觀測值進行準(zhǔn)確估計。此時，Kriging插值算法往往給出接近于整個空間范圍內(nèi)平均值的估計結(jié)果。圖5中當(dāng)未知點遠離測試剖面時預(yù)測值在趨勢項附近平緩變化。一種提高預(yù)測可靠性的方法為增加測試資料，因此，Kriging插值方法能夠為工程實踐的補孔提供有用信息。

5 結(jié) 論

（1）宿-新高速公路某試驗段內(nèi)的 qt具有隨深度增加而增大的趨勢，然而隨里程的變化并不顯著，可以通過移除二維線性趨勢項獲得具有弱平穩(wěn)性的殘差剖面。

（2）指數(shù)型理論變差函數(shù)能夠精確描述宿新高速公路某試驗段內(nèi)尖錐阻力 qt殘差的空間變異性特征，豎直向和水平向的變程分別約為1.20 m和4.05 m，表明土體空間變異性具有顯著的各向異性。

（3）普通Kriging插值能夠準(zhǔn)確地描述qt在整個試驗段空間范圍內(nèi)的整體變化規(guī)律，提供未采樣點處的最優(yōu)線性無偏估計。然而，當(dāng)極值點變化劇烈或未知點遠離采樣點時，估計值可靠度略微降低。

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