Kantorovich 型 Bernstein-Stancu 算子的點態(tài)逼近

董呂修，虞旦盛

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

Kantorovich 型 Bernstein-Stancu 算子的點態(tài)逼近

董呂修，虞旦盛

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

摘要：針對?z 引入的一種 Kantorovich 型 Bernstein-Stancu 算子及其逼近的正定理，文章進(jìn)一步推廣了相關(guān)結(jié)論, 并建立了點態(tài)的逼近正、逆定理.

關(guān)鍵詞：Bernstein-Stancu 型算子；點態(tài)與整體估計；正、逆定理

0引言

(1)

本文的首要目的就是在移動區(qū)間An上建立一個包含點態(tài)估計與整體估計的正定理. 為陳述本文結(jié)果，需要以下概念和記號:

(2)

這里x～y表示存在正常數(shù)c使得c-1y≤x≤cy.

本文的結(jié)論如下:

貫穿全文，C或者表示一個絕對正常數(shù)，或者表示一個依賴于某些參數(shù)但不依賴于f,x,n的正常數(shù).它們的值在不同的地方可以不同.

對于逆定理，有

1預(yù)備引理

引理1[7]對于任意給定的γ≥0,成立不等式

(3)

引理2對于任意的x∈An,有

(4)

(5)

(6)

另一方面，有

因此，由式(3) 和(6)，可以推出

這就證明了式(4).

這就證明了式(5).

(7)

證明由Leibniz 公式，有

證畢.

令

引理4如果 0≤λ≤1，0<α<2，那么

(8)

(9)

證明首先，證明式(8). 考慮以下兩種情形.

(10)

簡單計算可得

(11)

由式(10)，(11) 以及 H?lder 不等式，有

由式(3)，(4)，(10)，并再次利用H?lder不等式，有

(12)

情形Ⅱ此時，有

(13)

(14)

由式(3)，(13)，(14) 以及H?lder不等式，得到

(15)

結(jié)合式(12)與(15)，式(8)得證.

(16)

由式(16)及H?lder不等式，可得

再利用H?lder不等式，有

其中在最后一個不等式中利用了式(5).

引理5如果 0≤λ≤1, 0<α<2, 那么

證明證明方法類似于引理 4，在此略去詳細(xì)過程.

引理8對于每一個m∈N,以下不等式成立：

證明利用積分中值定理，有

(17)

由式(17)與(3)，可以得到

2定理的證明

(18)

(19)

(20)

(21)

利用式(19)可以推出

(22)

(23)

(24)

(25)

由式(21)與(23)，可得

(26)

(27)

(28)

當(dāng)x∈Bn時，由式(10)，(27)，(19)以及引理8，有

(29)

(30)

其中在最后一個不等式中利用了式(24)與(25) .

結(jié)合式(18)，(22)，(26)，(29)以及(30)，定理1得證.

定理2的證明類似于文獻(xiàn)[8]的證明方法，由引理5，6，7，即可完成定理2的證明. 此處省略具體細(xì)節(jié).

(31)

(32)

(33)

(34)

對于一切x∈An.

由H?lder不等式以及引理8，有

(35)

因此，由式(31)，(35)與引理8，可得

(36)

(37)

當(dāng)x∈Bn時，由式(10)，(32)，(35)與引理8，可得

(38)

結(jié)合式(34)，(36)～(38)，定理3得證.

參考文獻(xiàn):

[1] Gadjiev A D, Ghorbanalizaeh A M. Approximation properties of a new type Bernstein-Stancu polynomials of one and two variables[J]. Appl Math Comput,2010,216(3):890-901.

[2] Stancu D D. Approximation of functions by a new class of linear polynomial operators[J]. Rev Roum Math Pure Appl,1968,13(8):1173-1194.

[4] Ditzian Z, Totik V. Moduli of smoothness[M]. New York: Spring-Verlag,1987.

[5] Kirov G, Popova L. A generalization of the linear positive operators[J]. Math Balkanica,1993,7:149-162.

[7] Wang M L, Yu D S, Zhou P. On the approximation by operators of Bernstein-Stancu type[J]. Appl Math Comput,2014,246(1):79-87.

[8] Guo S S, Liu L X, Liu X W. The pointwise estimate for modified Bernstein operators[J]. Stud Sci Math Hung,2001,37(1):69-81.

Pointwise Approximation of Kantorovich Type Bernstein-Stancu Operators

DONG Lyuxiu, YU Dansheng

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

Abstract:Recently, ?z introduced a new type of Kantorovich type Bernstein-Stancu operators, and obtained a direct theorem about approximation. The present paper further generalized ?z’s results, and established the direct and converse theorems about pointwise approximation.

Key words:Bernstein-Stancu type operators; pointwise and global estimates; direct and inverse theorems

文章編號:1674-232X(2015)06-0632-09

中圖分類號:O174.41MSC2010: 41A25; 41A35

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.06.013

通信作者：虞旦盛(1976—)，男，教授，主要從事函數(shù)逼近論研究.E-mail：dsyu_math@163.com

收稿日期：2015-01-09