從具體事例看概率論教育的重要性

陳鐵重

（海裝天津局 北京 100073）

從具體事例看概率論教育的重要性

陳鐵重

（海裝天津局 北京 100073）

在實際工作中，一批產(chǎn)品的檢驗驗收中，全數(shù)檢查是不現(xiàn)實或者是完全沒有必要的，如產(chǎn)品的破壞性檢驗、批量很大檢驗時間長、檢驗費用高等等，都不適宜全數(shù)檢驗，而受各種因素的影響，總有個別產(chǎn)品的指標(biāo)偏離接受值，不可能100%合格，而我們接受或拒絕該批產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)是抽樣合格率。在可靠性評價時，面對龐大的數(shù)據(jù)，如何去偽存真，同樣需要制定數(shù)據(jù)選取的規(guī)則和評價方法。如此等等，制定抽樣合格率和數(shù)據(jù)選取規(guī)則均需要很強的數(shù)理統(tǒng)計和概率論知識。下面，以具體例子來闡明概率論教育和學(xué)習(xí)的重要性。

17世紀(jì)中葉，法國貴族公子、作家梅累參加賭博，和朋友擲骰子，各押賭注24個金幣。雙方約定：梅累如果先擲出三次6點，或者朋友先擲出三次4點，就算贏了對方。賭博進行了一段時間，梅累已經(jīng)兩次擲出6點，朋友已經(jīng)一次擲出4點，這時候梅累接到通知，要他馬上陪國王接見外賓，賭博只好中斷。于是兩人碰到了一個問題：應(yīng)該怎樣分配這48個金幣才算合理呢？

朋友說：“我要再碰上兩次4點，或者你再碰上一次6點才能贏。所以你得到48個金幣的2/3，我得到48個金幣的1/3?！泵防鄣倪@個朋友說的對嗎？

解法一：對于該題的解答，不少讀者會存在疑惑。認為這符合古典概型，即骰子每面出現(xiàn)的概率都相同，還認為金幣的分配應(yīng)以各自可能獲勝的概率的比值來分配。也就是：梅累贏的概率是1/6+5/6*1/6=11/36，朋友贏得概率是1/6*1/6=1/36。所以應(yīng)按照11∶1分配，梅累應(yīng)得44枚，朋友得4枚。

再換一種思路，也就是再擲兩次骰子，可能出現(xiàn)的情形有：1、1-6、6共36中情形，而梅累可在1、6；2、6；3、6；4、6；5、6；6、1；6、2；6、3；6、4；6、5；6、6共11種情形中贏，而朋友只能在4、4一種情形中贏。所以，比率仍為11∶1。

所以，按照這個思路：

①如果骰子只有4點和6點兩個點，無疑3∶1的分配方案是對的；

②骰子是6個面，分配比例應(yīng)為11∶1；

③進一步想象，如果骰子有1萬個面，朋友獲勝的概率僅有一億分之一，而梅累獲勝至少為一萬分之一，這里是至少，實際概率要大于一萬分之一。

④即便沒有擲出4點或6點時作廢，應(yīng)重新擲，那也應(yīng)是無形之中梅累獲勝的概率大。

解法二：經(jīng)請教數(shù)學(xué)專家晁政老師，他給出了另外一種解釋，他認為如果考慮擲出1、2、3、5的情況，結(jié)論應(yīng)該是這樣的：梅累在今后的游戲中只要擲出1次6，就可以獲勝，而朋友必須擲出2次4，還要確保梅累不能擲6。因此直接從朋友的角度出發(fā)進行分析，朋友獲勝的條件是：在梅累擲出6之前擲出2次4，枚舉如下：

再擲3次朋友獲勝：則要求這3次中出現(xiàn)2個4，但另一次不是6，而且4還必須出現(xiàn)在最后1次，從前2次中選1次擲4，概率為：

再擲4次朋友獲勝：則要求這4次中出現(xiàn)2個4，但沒有出現(xiàn)過6，而且最后1次是4，從前3次中選1次擲4，概率為：

還可換一種思考方法：一方面，由于無論擲出1、2、3還是5，都不會對比分產(chǎn)生影響，也可以把擲出1、2、3或5的局?jǐn)?shù)都當(dāng)做廢局，就好比罰點球有人提前進線要重新罰一樣，這個情況不符合任何人贏的標(biāo)準(zhǔn)，于是作廢重擲。因此就不需要考慮擲出1、2、3、5的情況了。

兩種解法的比較：兩種解法似乎都有道理，但經(jīng)過認真思考后，就會發(fā)現(xiàn)第一種解法存在著錯誤，忽略了在擲完兩次骰子后，在未決出勝負的區(qū)域里，還有一部分特殊區(qū)域，那就是出現(xiàn)1個4的區(qū)域，那就是1、4；2、4；3、4；5、4；4、1；4、2；4、3；4、5；在這8種情形中，梅累和朋友再賭一局獲勝的概率就相同了。即：

梅累：11/36+8/36*1/2=15/36

朋友：1/36+8/36*1/2=5/36。

即獲勝概率為15/36∶ 5/36=3∶1，而在占16/36的其余區(qū)域，相當(dāng)于重新來，仍將延續(xù)梅累和朋友獲勝概率為3∶1的格局。

到此該題已解答完畢。由此看出，概率論的知識在此題的應(yīng)用，需要耐心細致地一步一步地計算，任何的疏忽將導(dǎo)致錯誤的產(chǎn)生。

由此可見，對這一沒有認識和理解偏差的理論問題，不同的人尚存在不同的解答。而在我們的實際工作中，產(chǎn)品質(zhì)量評價、可靠性評價以及檢驗驗收過程中，更需要運用到大量的概率論知識。當(dāng)不能全數(shù)驗收時，樣本量的選取、各種檢驗驗收方法的確定都是以概率論作為依托。合格判據(jù)一旦確定，接收和拒收的差距可能就在毫厘之間，有時甚至評價方法的不同也將導(dǎo)致不同的結(jié)果。在因故打亂原來的試驗過程，重新開始質(zhì)量檢測試驗時，綜合運用概率論的相關(guān)知識更是顯得尤為重要。當(dāng)出現(xiàn)認識上的分歧，召開相關(guān)會議進行討論時，不同類型的人參雜其中，大家各自發(fā)表意見，極易模糊決策者的判斷。所以，合格判據(jù)的制定、產(chǎn)品試驗方法的選取、計算方法的確定，兼顧生產(chǎn)者和消費者雙方風(fēng)險損失的抽樣方案等，均需要有較深厚的數(shù)理統(tǒng)計和概率論背景知識的相關(guān)人員進行思考和計算，而具備這些知識的前提是進行相關(guān)的培訓(xùn)和教育。遇到難解的實際問題或意見分歧時，有必要請求無利害關(guān)系的第三方專業(yè)人員協(xié)助。