考慮齒輪軸變形的斜齒輪接觸分析

白恩軍，謝里陽(yáng)，佟安時(shí)，白鑫

(1.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院 現(xiàn)代設(shè)計(jì)與分析研究所，遼寧 沈陽(yáng)110819;2.東北大學(xué) 航空動(dòng)力裝備振動(dòng)及控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧沈陽(yáng)110819)

0 引言

齒輪系統(tǒng)作為變速器的動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)傳遞中樞，其動(dòng)力學(xué)行為和工作性能對(duì)變速器有重要影響［1］。齒輪的工作性能主要受齒輪接觸狀態(tài)的影響，而齒輪軸的變形，直接影響齒輪的接觸狀態(tài)［2］。在齒輪軸工作過(guò)程中，齒輪軸要承受斜齒輪的軸向力、徑向力和切向力，在重載、工況極其惡劣的條件下，會(huì)產(chǎn)生很大的彎矩和扭矩，改變?cè)旋X輪的中心距，本為平行的齒輪軸會(huì)形成一定角度，直接影響齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的工作性能。分析齒輪軸的變形，對(duì)于傳動(dòng)性能有較高要求的傳動(dòng)系統(tǒng)顯得尤為重要。

國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者采用有限元方法分析了齒面接觸狀態(tài)。Hwang 等［3］建立了多齒有限元模型，通過(guò)改變齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度，計(jì)算單個(gè)輪齒嚙合周期的最大接觸應(yīng)力，并與標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了對(duì)比分析。Gonzalez-Perez 等［4］建立了2 對(duì)輪齒有限元模型，分析了齒面接觸應(yīng)力和Tresca 應(yīng)力分布。Patil 等［5］建立了3 對(duì)輪齒有限元模型，通過(guò)改變輪齒螺旋角和摩擦系數(shù)，分析了接觸應(yīng)力的變化趨勢(shì)。李杰等［6］建立了變速器有限元模型，分析了齒輪軸變形對(duì)齒面接觸狀態(tài)的影響。這些研究雖然分析了單齒對(duì)嚙合、多齒對(duì)嚙合的接觸狀態(tài)，或者含齒輪軸的靜態(tài)齒輪接觸應(yīng)力分析，但沒(méi)有分析齒輪軸變形對(duì)載荷沿齒向分布、重合度和齒輪時(shí)變嚙合剛度等的影響。

本文針對(duì)典型變速器建立了含齒輪軸的齒輪接觸模型，以發(fā)動(dòng)機(jī)最大輸出扭矩為輸入載荷，1 擋輸出齒輪為分析對(duì)象，分析了齒輪軸在綜合變形情況下的齒向載荷分布、接觸應(yīng)力分布、齒根彎曲應(yīng)力分布、重合度和時(shí)變嚙合剛度。

1 變速器齒輪軸的變形

1.1 有限差分法計(jì)算軸彎曲變形量

在受彎軸(或桿件)為變截面或載荷比較復(fù)雜的情況下，用積分法求解彎曲變形計(jì)算比較困難，而有限差分法是一種簡(jiǎn)單有效的方法［7］。

如圖1所示，齒輪軸的撓曲線為υ =f(x)，取橫坐標(biāo)分別為0，1，2，…，各相鄰點(diǎn)間距離Δx 可以相等，也可以不等。在任一點(diǎn)i 截面處的彎矩為Mi，任意截面處撓度與彎矩可用如下有限差分方程［8］表示:

圖1 軸的彎曲變形簡(jiǎn)圖Fig.1 Deformation of gear shaft

式中:υi為xi截面處軸心撓度;Mi為xi截面處軸心彎矩;E 為彈性模量;Ii為xi處軸截面慣性矩。對(duì)于實(shí)心軸，Ii=πD4/64，D 為軸圓截面的直徑。對(duì)于空心軸，Ii=πD4(1 -α)4/64，α =d/D，D 和d 分別為空心圓截面的外徑和內(nèi)徑。

1.2 軸的扭轉(zhuǎn)變形

軸的扭轉(zhuǎn)變形是橫截面繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。對(duì)于階梯軸，需要分段求和計(jì)算相對(duì)扭轉(zhuǎn)角［8］，即

式中:Ti為扭矩;li為等直徑段軸長(zhǎng);φi為相對(duì)扭轉(zhuǎn)角;G 為剪切彈性模量;Iρi為軸截面極慣性矩;對(duì)于實(shí)心軸，Iρi=πD4/32，D 為軸圓截面的直徑;對(duì)于空心軸，Iρi=πD4(1 -α)4/32，α=d/D.

2 齒輪嚙合傳動(dòng)有限元模型

以輸入齒輪軸與1 擋輸出齒輪組成的1 對(duì)斜齒輪副為對(duì)象，不考慮齒側(cè)間隙、加工及安裝誤差的影響，研究其在齒輪軸變形影響下的接觸特性。斜齒輪副幾何參數(shù)如表1所示。

齒輪輪齒有限元建模是齒輪接觸分析的關(guān)鍵，對(duì)重要區(qū)域細(xì)化出規(guī)整的單元，能夠得到更為準(zhǔn)確的分析結(jié)果。根據(jù)文獻(xiàn)［9］的方法，并進(jìn)行一定調(diào)整，能夠更好地控制單元質(zhì)量，下面詳細(xì)闡述輪齒的建模方法。

步驟1 將輪齒進(jìn)行分割，在輪齒的端面做輔助線1 ～9，將端面分割成10 部分，以控制單元節(jié)點(diǎn)走勢(shì)，如圖2(a).

步驟2 在兩側(cè)端面劃分2D 單元，控制沿齒高方向設(shè)置的單元數(shù)量，在齒面及剖分表面沿齒向方向預(yù)置單元數(shù)量劃分2D 單元，同時(shí)考慮齒高方向單元節(jié)點(diǎn)數(shù)量，劃分結(jié)果如圖2(b).

表1 斜齒輪傳動(dòng)參數(shù)Tab.1 Parameters of helical gears

步驟3 將端面2D 單元沿齒向方向單元節(jié)點(diǎn)路徑進(jìn)行拉伸，并與另一端面單元對(duì)應(yīng)，拉伸成的3D 單元輪齒模型，如圖2(c). 將輪齒3D 單元進(jìn)行陣列，生成齒圈模型，如圖2(d).

圖2 齒輪建模方法Fig.2 Gear modelling method

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線方程和漸開(kāi)線圓柱齒輪嚙合原理［10］以及有限元建模方法［11］，考慮整體模型的單元數(shù)量，建立如圖3所示斜齒輪副嚙合接觸有限元分析模型。

圖3 齒輪嚙合有限元模型Fig.3 Finite element model of gear mesh

在有限元接觸分析中，由于二次單元會(huì)導(dǎo)致等效節(jié)點(diǎn)接觸力在角節(jié)點(diǎn)和邊中節(jié)點(diǎn)之間的震蕩［12］，模型采用8 節(jié)點(diǎn)6 面體減縮積分單元。網(wǎng)格扭曲對(duì)結(jié)果影響小，并且求解速度快。齒輪材料密度ρ=7 800 kg/m3，彈性模量為207 GPa，泊松比為0.25. 模型中輸入端花鍵定義參考點(diǎn)，建立耦合約束，具有轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。齒輪軸與軸承接觸處建立耦合約束，具有旋轉(zhuǎn)自由度。從動(dòng)齒輪與輸出軸綁定約束。嚙合齒對(duì)間設(shè)置面-面接觸［13］。其他未工作齒輪與軸進(jìn)行綁定約束。各參考點(diǎn)的耦合約束建立方法參考示意圖如圖4，在軸心建立坐標(biāo)系Nx1y1z1，N 為參考點(diǎn)(根據(jù)實(shí)際情況釋放參考點(diǎn)自由度)，將耦合面耦合到點(diǎn)N，T1(ω1)為驅(qū)動(dòng)載荷(若無(wú)驅(qū)動(dòng)則不考慮)。為分析齒輪軸變形對(duì)齒輪副接觸特性的影響，本文建立了剛性齒輪軸和柔性齒輪軸兩種分析模型。

圖4 邊界條件示意圖Fig.4 Boundary conditions

3 仿真結(jié)果分析與討論

3.1 齒輪軸變形有限元結(jié)果與有限差分法計(jì)算結(jié)果對(duì)比

為模擬齒輪軸的受載變形，將輸入扭矩施加于輸入端花鍵齒輪，限制輸出軸差速器小齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，以實(shí)現(xiàn)齒輪副的接觸分析。表2為輸出齒輪軸彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形的經(jīng)典計(jì)算和有限元計(jì)算結(jié)果。

表2 齒輪軸變形計(jì)算結(jié)果Tab.2 Caculated results of gear shaft deformation

比較表2中數(shù)據(jù)可見(jiàn)，有限差分法結(jié)果大于有限元方法計(jì)算結(jié)果，但二者變化趨勢(shì)相同。這是因?yàn)榻?jīng)典計(jì)算中將齒輪視為剛體，沒(méi)有考慮齒輪的受載變形。有限元法中考慮了主動(dòng)齒輪輪齒和從動(dòng)齒輪的變形，這些因素將使有限元計(jì)算結(jié)果偏小，這也說(shuō)明有限元法更能真實(shí)反應(yīng)齒輪軸的變形。

3.2 載荷分布

使用傳統(tǒng)的方法很難預(yù)測(cè)齒面載荷分布和接觸應(yīng)力分布，而有限元法通過(guò)正確定義齒輪幾何形狀、載荷和邊界條件，能夠精確預(yù)測(cè)載荷和應(yīng)力分布［14］。

圖5顯示了剛性與柔性齒輪軸時(shí)載荷在齒寬上的分布。當(dāng)齒輪軸為剛性時(shí)，齒1 所受載荷在齒寬中間位置相對(duì)邊緣位置小，齒2 所受載荷從齒寬中間向兩側(cè)遞減，比較均勻分布在整個(gè)齒寬上。當(dāng)考慮齒輪軸變形時(shí)，齒1 所受載荷在中間位置有所增加，齒2 所受載荷從齒寬左端向右端有遞減趨勢(shì)，載荷發(fā)生偏移。這是因?yàn)楫?dāng)考慮齒輪軸變形時(shí)，由于軸受載發(fā)生彎曲和扭轉(zhuǎn)變形，使得齒輪發(fā)生傾斜，改變了原有齒輪的接觸狀態(tài)，引起偏載現(xiàn)象。

圖6為剛性與柔性齒輪軸在相同扭矩載荷作用下產(chǎn)生的等效應(yīng)力。從圖6中可以看出，當(dāng)考慮齒輪軸變形時(shí)，齒對(duì)嚙合線上Mises 應(yīng)力最大值為1 909 MPa，相對(duì)剛性軸時(shí)增加448 MPa，并且齒對(duì)嚙合線上Mises 應(yīng)力分布相對(duì)于剛性軸時(shí)產(chǎn)生偏移，全齒嚙合區(qū)域相對(duì)于剛性軸時(shí)接觸區(qū)域在齒寬左端略有增加，從左向右呈現(xiàn)遞減。這和沿齒寬方向的接觸力分布分析趨勢(shì)相同，并且從輪齒等效應(yīng)力分布上亦可以看出接觸面積從左到右呈現(xiàn)遞減趨勢(shì)。

圖5 齒寬方向載荷分布Fig.5 The distribution of contact force along tooth width

圖6 齒輪接觸Mises 應(yīng)力Fig.6 The von Mises stress of gear

圖7為剛性與柔性齒輪軸雙齒嚙合狀態(tài)時(shí)的齒根彎曲應(yīng)力。圖8為剛性與柔性齒輪軸接近單齒嚙合狀態(tài)時(shí)的齒根彎曲應(yīng)力。圖8中，由于加載，輪齒和輪體變形，使得齒輪嚙合重合度大于2，原本為單齒嚙合狀態(tài)變成了雙齒嚙合，如圖9所示。

從圖7中可以看出，當(dāng)齒輪軸為柔性時(shí)，齒根彎曲應(yīng)力分布相對(duì)剛性軸時(shí)向左側(cè)發(fā)生偏移，并且彎曲應(yīng)力大小由剛性軸時(shí)的最大值717.5 MPa 增加到823.3 MPa. 從圖8中接近單齒嚙合狀態(tài)也可以得到圖7中相似的結(jié)論。由于齒輪軸的變形引起的偏載使得齒輪在靠近左側(cè)區(qū)域載荷增加，易引起破壞現(xiàn)象。

圖7 齒根彎曲應(yīng)力Fig.7 Bending stress of tooth root

圖8 齒根彎曲應(yīng)力Fig.8 Bending stress of tooth root

當(dāng)齒輪受載轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，齒輪輪齒將經(jīng)歷從進(jìn)入嚙合產(chǎn)生接觸力到退出嚙合接觸力消失的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程所消耗的時(shí)間便是輪齒實(shí)際嚙合的時(shí)間。通過(guò)測(cè)出單齒參加嚙合的時(shí)間ΔT 和相鄰兩齒進(jìn)入嚙合的時(shí)間差Δt，則重合度［12］為

式中:ΔT 可以寫成角位移Δθ1與角速度ω 的商;Δt可以寫成角位移Δθ2與角速度ω 的商。則(3)式可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

式中:Δθ1為一對(duì)齒完成嚙合過(guò)程的主動(dòng)(從動(dòng))齒輪角位移;Δθ2為相鄰一對(duì)輪齒進(jìn)入嚙合的主動(dòng)(從動(dòng))齒輪角位移差;ω 為主動(dòng)(從動(dòng))齒輪角速度。

圖9為柔性齒輪軸時(shí)從動(dòng)齒輪輪齒的接觸力隨轉(zhuǎn)角的變化曲線。

圖9 輪齒接觸力曲線Fig.9 Contact force curves of each tooth pair during meshing

圖9中從動(dòng)齒輪齒3 經(jīng)歷了一個(gè)完整的從開(kāi)始接觸到脫離接觸的過(guò)程，同時(shí)計(jì)算了齒3 接觸時(shí)相鄰的輪齒接觸力。將齒3 經(jīng)過(guò)完整嚙合的轉(zhuǎn)角Δθ1與相鄰齒4 進(jìn)入嚙合的轉(zhuǎn)角差Δθ2代入(4)式，可得考慮齒輪軸變形時(shí)的重合度為2.273. 比較文中齒輪設(shè)計(jì)重合度為1.983，可見(jiàn)由于齒輪軸和齒輪的變形，其實(shí)際嚙合重合度比設(shè)計(jì)重合度增大了14.62%，其結(jié)果更接近于實(shí)際情況［15］。

3.3 嚙合剛度

嚙合剛度是指使一對(duì)或幾對(duì)同時(shí)嚙合的輪齒在1 mm 齒寬上產(chǎn)生1 μm 撓度所需的載荷，其計(jì)算公式［16］可表達(dá)為

式中:cγα為齒輪切向嚙合剛度;c'為單齒嚙合剛度均值;εT為端面重合度;CM為理論修正系數(shù);CR為輪坯結(jié)構(gòu)系數(shù);CB為基本齒廓系數(shù);β 為螺旋角;zn1和zn2分別為主、從動(dòng)齒輪當(dāng)量齒數(shù);q'、C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7、C8、C9各系數(shù)值見(jiàn)ISO 6336-1 標(biāo)準(zhǔn)［16］。

根據(jù)以上公式計(jì)算的齒輪嚙合剛度是均值嚙合剛度，而齒輪的嚙合剛度是時(shí)變的，通過(guò)有限元方法可以求得齒輪在任意嚙合位置的齒輪嚙合剛度。Amezketa 等［17］通過(guò)將齒輪嚙合點(diǎn)延圓周方向的轉(zhuǎn)角位移轉(zhuǎn)換到延嚙合線方向的位移，進(jìn)而很容易地求解齒輪嚙合剛度，公式為

式中:kgear為齒輪切向嚙合剛度;Ft為切向力;B 為齒寬;rF為圓周力作用點(diǎn)半徑;rb為基圓半徑;δrF為嚙合點(diǎn)沿圓周方向位移。

計(jì)算齒輪嚙合剛度時(shí)，大齒輪轉(zhuǎn)角從0° ～22.7561°為1 個(gè)周期，即1 個(gè)齒從齒根開(kāi)始接觸，到齒頂脫離嚙合結(jié)束，具體方法參見(jiàn)文獻(xiàn)［3］.

從圖10 中可見(jiàn)，當(dāng)齒輪軸為柔性時(shí)，嚙合剛度相對(duì)剛性時(shí)有所減小。這是因?yàn)槿嵝暂S時(shí)，由于軸的變形，使齒輪中心距增大，嚙合點(diǎn)相對(duì)遠(yuǎn)離軸心，輪齒嚙合剛度下降。當(dāng)齒輪軸為柔性時(shí)，嚙合剛度曲線相對(duì)平緩，其剛度均值為15.235 4 N/(mm·μm).剛性軸時(shí)，嚙合剛度曲線相對(duì)波動(dòng)較大，其剛度均值為18.343 1 N/(mm·μm). 通過(guò)(5)式～(7)式計(jì)算的均值剛度為17.564 5 N/(mm·μm)，可以看出有限元方法計(jì)算的剛度值與ISO 6336-1 標(biāo)準(zhǔn)［6］的結(jié)果比較接近。通過(guò)有限元方法可以反映出齒輪嚙合的時(shí)變剛度，清楚地顯示齒輪在嚙合過(guò)程中的嚙合剛度較小值的位置，為齒輪的可靠性設(shè)計(jì)提供更有利的依據(jù)，而通過(guò)公式計(jì)算僅得出嚙合剛度均值。

圖10 嚙合剛度曲線Fig.10 Mesh stiffness curves of gear during meshing

4 結(jié)論

1)通過(guò)與有限差分法計(jì)算齒輪軸變形量的對(duì)比分析，證明本文有限元方法以及所建模型的正確性、準(zhǔn)確性，并能更真實(shí)地反應(yīng)齒輪軸的變形。

2)分析了柔性齒輪軸和剛性齒輪軸兩種有限元模型的齒輪載荷分布差異。柔性齒輪軸相對(duì)剛性齒輪軸齒寬接觸力，齒面等效應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力均呈現(xiàn)左側(cè)增大，右端減小趨勢(shì)，并且從等效應(yīng)力分布圖上可以明顯看出左端接觸面積增大，右端減小。這些分布差異可以為齒輪的設(shè)計(jì)提供更有利的參考。

3)由于齒輪軸和齒輪的變形，使齒輪重合度增大，時(shí)變嚙合剛度減小。通過(guò)有限元方法計(jì)算的齒輪嚙合剛度均值與ISO 6336-1 標(biāo)準(zhǔn)［16］中齒輪嚙合剛度計(jì)算結(jié)果比較接近(當(dāng)齒輪軸為柔性時(shí)，其剛度均值為15.235 4 N/(mm·μm). 剛性軸時(shí)，其剛度均值為18.343 1 N/(mm·μm). 通過(guò)ISO 6336-1 標(biāo)準(zhǔn)［16］計(jì)算的均值剛度為17.564 5 N/(mm·μm)，有限元方法能反映出齒輪嚙合剛度的時(shí)變特性，并能清楚顯示嚙合剛度較小值的嚙合位置，為齒輪的優(yōu)化設(shè)計(jì)和可靠性設(shè)計(jì)提供更有利的設(shè)計(jì)依據(jù)。

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