基于磁懸浮控制力矩陀螺的航天器姿態(tài)角速率測(cè)量方法

王平，王華，任元

(1. 裝備學(xué)院 研究生院，北京101416;2. 裝備學(xué)院 航天裝備系，北京101416)

0 引言

磁懸浮控制力矩陀螺(CMG)是航天器進(jìn)行姿態(tài)控制的一種重要執(zhí)行機(jī)構(gòu)［1-3］，由定常轉(zhuǎn)速的大慣量動(dòng)量飛輪轉(zhuǎn)子及其磁軸承支承系統(tǒng)、高速驅(qū)動(dòng)電機(jī)、框架及其伺服系統(tǒng)等組成［4-5］，通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)框架實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子角動(dòng)量的強(qiáng)制改變，從而向外輸出陀螺力矩，實(shí)現(xiàn)航天器的姿態(tài)控制［6-8］。磁懸浮CMG 主要用作執(zhí)行機(jī)構(gòu)，用作測(cè)量的目前還未見(jiàn)報(bào)道。

目前對(duì)航天器進(jìn)行姿態(tài)角速率檢測(cè)主要是在航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)中附加速率陀螺，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)航天器姿態(tài)的閉環(huán)控制［9-10］。傳統(tǒng)姿控系統(tǒng)的體積重量往往較大，且一旦速率陀螺發(fā)生故障，姿控系統(tǒng)便陷入癱瘓狀態(tài)。此外由于檢測(cè)裝置與執(zhí)行裝置之間往往存在減震隔離裝置，導(dǎo)致控制與檢測(cè)不共位，必然導(dǎo)致異位控制問(wèn)題，從而影響姿態(tài)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。

在磁懸浮CMG 測(cè)控一體化研究中，F(xiàn)ang 等通過(guò)雙框架磁懸浮CMG，將力矩執(zhí)行和姿態(tài)測(cè)量結(jié)合起來(lái)［11］，但此研究將測(cè)量和控制分時(shí)復(fù)用，磁懸浮CMG 某一時(shí)刻只能工作在一種狀態(tài)，測(cè)量和控制未能同時(shí)進(jìn)行。劉彬等提出了一種磁懸浮陀螺飛輪的設(shè)計(jì)方案，磁懸浮陀螺飛輪雖然控制和測(cè)量可以同時(shí)進(jìn)行，但這種方法并沒(méi)有得到3 軸姿態(tài)角速率的解析表達(dá)式，不僅實(shí)用性不強(qiáng)，而且不便于從機(jī)理上分析姿態(tài)角速率與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系［12］。

本文根據(jù)慣量矩定理和測(cè)控一體化原理，通過(guò)金字塔構(gòu)型執(zhí)行機(jī)構(gòu)中的3 個(gè)磁懸浮CMG，利用便于直接測(cè)量和計(jì)算的磁懸浮轉(zhuǎn)子徑向力矩、磁懸浮轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)信息求解出航天器的姿態(tài)角速率的解析表達(dá)式，最后進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1 測(cè)量方法

1.1 測(cè)控一體化原理

根據(jù)慣量矩定理，高速轉(zhuǎn)子角動(dòng)量在慣性空間方向的改變只取決于它所受到的外部力矩。轉(zhuǎn)子所受的力矩是由航天器轉(zhuǎn)動(dòng)、陀螺框架轉(zhuǎn)動(dòng)、轉(zhuǎn)子相對(duì)位移引起的［13-14］，而轉(zhuǎn)子所受力矩的大小，是由磁軸承力唯一決定的［15-16］。航天器角速度可以通過(guò)實(shí)時(shí)檢測(cè)磁軸承電流和轉(zhuǎn)子位移，結(jié)合框架角速率，矢量解算得到。

1.2 測(cè)量方案

根據(jù)測(cè)控一體化原理，轉(zhuǎn)子所受合外力矩Mr在轉(zhuǎn)子系下的表達(dá)式可分解為兩部分:Mr= M0r+，M0r表示框架和星體靜止時(shí)磁懸浮轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)力矩，Mrext表示框架、航天器轉(zhuǎn)動(dòng)引起的等效力矩。根據(jù)磁懸浮轉(zhuǎn)子力矩的分解，轉(zhuǎn)子所受合外力矩Mr和轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)力矩M0r可以通過(guò)測(cè)量計(jì)算得到，從而可以得到航天器、框架轉(zhuǎn)動(dòng)等效加在轉(zhuǎn)子的力矩的大小。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 坐標(biāo)系的選取

首先需要定義坐標(biāo)系，用于描述航天器與執(zhí)行機(jī)構(gòu)中第n 個(gè)磁懸浮CMG 之間的關(guān)系，其中n =1，2，….

OiFi:地心慣性坐標(biāo)系OiXiYiZi，原點(diǎn)位于地心，OiXi指向春分點(diǎn)，OiZi軸指向北極，并與OiYi軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

Fo:軌道坐標(biāo)系OoXoYoZo，原點(diǎn)Oo定義在衛(wèi)星的質(zhì)心，滾動(dòng)軸OoXo在軌道平面內(nèi)并指向衛(wèi)星的速度方向，偏航軸OoZo指向地心，俯仰軸OoYo垂直于軌道平面并構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。

Fb:衛(wèi)星本體坐標(biāo)系ObXbYbZb，原點(diǎn)Ob位于衛(wèi)星質(zhì)心，與Oo重合，3 個(gè)坐標(biāo)軸分別為衛(wèi)星的3 個(gè)慣量主軸。

FCMG，n:第n 個(gè)CMG 參 考 坐 標(biāo) 系OCMG，nXCMG，nYCMG，nZCMG，n，與衛(wèi)星本體系固連，OCMG，n為第n 個(gè)單框架磁懸浮CMG 的轉(zhuǎn)子幾何中心，XCMG，n沿框架軸旋轉(zhuǎn)方向，YCMG，n軸沿框架零位置的轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)方向。

Fg，n:第n 個(gè)框架坐標(biāo)系Og，nXg，nYg，nZg，n，與框架固連，隨框架軸轉(zhuǎn)動(dòng)，Og，n與OCMG，n重合，框架初始零位置時(shí)，F(xiàn)g，n與FCMG，n系重合。

Ff，n:第n 個(gè)磁軸承安裝系Of，nXf，nYf，nZf，n，與框架固連，由框架坐標(biāo)系繞Yg，n旋轉(zhuǎn)45°得到，Of，n與Og，n重合。轉(zhuǎn)子A、B 兩端各有一組磁軸承，兩端運(yùn)動(dòng)呈中心對(duì)稱(chēng)，如無(wú)特殊說(shuō)明，文中Ff，n均表示A 端的磁軸承安裝系。

Fr，n:第n 個(gè)磁懸浮轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系Or，nXr，nYr，nZr，n，與轉(zhuǎn)子固連，但不與轉(zhuǎn)子沿軸向高速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)子初始靜浮未偏轉(zhuǎn)時(shí)，Of，n與Or，n重合。

本文中CF2F1表示從F1到F2系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。

2.2 轉(zhuǎn)子所受合外力矩Mr 模型

單框架磁懸浮CMG 結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 單框架磁懸浮CMG 結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of single frame magnetically suspended CMG

設(shè)Mr為轉(zhuǎn)子所受到的合外力矩，應(yīng)用歐拉動(dòng)力學(xué)方程，則可以得到轉(zhuǎn)子系下磁懸浮轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程為

式中:Hr=［HrxHryHrz］T表示轉(zhuǎn)子系下轉(zhuǎn)子的角動(dòng)量表示轉(zhuǎn)子系下的角動(dòng)量變化率;ωrir表示轉(zhuǎn)子系下轉(zhuǎn)子絕對(duì)角速度，即相對(duì)于慣性空間的轉(zhuǎn)速。

式中:I 表示轉(zhuǎn)子繞CMG 參考坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Ir表示轉(zhuǎn)子徑向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Ia表示轉(zhuǎn)子軸向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Ωi表示轉(zhuǎn)子的絕對(duì)角速度。設(shè)Ω 為高速轉(zhuǎn)子繞Zf軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速率，轉(zhuǎn)子的絕對(duì)角速度Ωi由轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角速度Ωr=［0 Ω 0］T和牽連角速度ωrir組成的表達(dá)式為

式中:γn=［γ1γ2γ3γ4］T=［90°180° -90°0°］T;σn=［σ1σ2σ3σ4］T=［53.13° 53.13° 53.13° 53.13°］T.

圖2 金字塔構(gòu)型執(zhí)行機(jī)構(gòu)Fig.2 Pyramid configuration actuator

下面確定變換矩陣Crf、Cfg、CgCMG.

對(duì)于Crf，由于磁軸承間隙非常小，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)位移α、β 相對(duì)于框架和星體轉(zhuǎn)動(dòng)可以忽略，故

對(duì)于Cfg，工程中考慮到如果一對(duì)磁軸承平行于框架旋轉(zhuǎn)方向安裝，另一對(duì)垂直安裝，則當(dāng)框架旋轉(zhuǎn)時(shí)，主要的控制電流都會(huì)集中在垂直于框架旋轉(zhuǎn)的方向上，使得控制電流容易飽和，對(duì)輸出力矩大小造成限制，因此采用如圖3所示45°斜裝的方案解決這一問(wèn)題。故Cfg表達(dá)式為

圖3 磁軸承45°斜裝示意圖Fig.3 Schematic diagram of magnetic bearing installed at 45°

對(duì)于CgCMG，表示從CMG 參考坐標(biāo)系沿XCMG軸轉(zhuǎn)δ 到框架系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，故CgCMG表達(dá)式為

通過(guò)以上分析，得到

根據(jù)Ωi，計(jì)算出Hr=［HrxHryHrz］T的分量表達(dá)式為

結(jié)合ωrir，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化，求出Mr=［MrxMryMrz］T的分量表達(dá)式為

2.3 轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)力矩M0r 的模型

2.4 航天器運(yùn)動(dòng)和框架轉(zhuǎn)動(dòng)引起力矩Mrext的模型

在Mr的表達(dá)式中去掉M0r并經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化，可得出航天器、框架轉(zhuǎn)動(dòng)情況下等效加在轉(zhuǎn)子徑向的力矩的徑向分量表達(dá)式為

3 計(jì)算方法

3.1 磁懸浮轉(zhuǎn)子合外力矩的測(cè)量和計(jì)算

轉(zhuǎn)子所受合外力矩Mr=［Mr10 Mr2］T的徑向分量表達(dá)式［17］為

式中:lm表示從磁懸浮轉(zhuǎn)子中心到徑向磁軸承中心的距離;磁懸浮轉(zhuǎn)子所受磁力fAx、fBx、fAy、fBy可表示成fλ=kiλiλ+khλhλ，λ=Ax，Ay，Bx，By［18］，kiλ和khλ分別表示磁懸浮轉(zhuǎn)子的徑向Ax、Ay、Bx、By 通道的電流剛度和位移剛度，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)標(biāo)定;iAx、iBx、iAy、iBy是4 個(gè)徑向通道的繞組電流;hAx、hBx、hAy、hBy是磁懸浮轉(zhuǎn)子分別在Ax、Ay、Bx、By 方向上的線性位移量。

iAx、iBx、iAy、iBy可以通過(guò)電流傳感器測(cè)量，hAx、hBx、hAy、hBy可以通過(guò)電渦流位移傳感器測(cè)量，從而可以計(jì)算得到轉(zhuǎn)子所受的徑向合外力矩。

3.2 轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)力矩M0r 的測(cè)量和計(jì)算

轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)力矩的徑向分量表達(dá)式［19］中，

式中:hAx、hBx、hAy、hBy是磁懸浮轉(zhuǎn)子分別在Ax、Ay、Bx、By 方向上的線性位移量;lm表示從磁懸浮轉(zhuǎn)子中心到徑向磁軸承中心的距離。

hAx、hBx、hAy、hBy可以通過(guò)電渦流位移傳感器測(cè)量，從而可以計(jì)算得到轉(zhuǎn)子徑向偏轉(zhuǎn)力矩。

3.3 姿態(tài)角速率解析解

航天器、框架轉(zhuǎn)動(dòng)情況下等效加在轉(zhuǎn)子徑向力矩分量表達(dá)式Mrext1、Mrext2比較復(fù)雜，令得到

因?yàn)镮r遠(yuǎn)小于IaΩ，航天器調(diào)姿過(guò)程中較小，故化簡(jiǎn)為

分量表達(dá)式為

帶入(12)式，得

在金字塔構(gòu)型磁懸浮CMG 中，初始框架角為δ0=［δ10δ20δ30δ40］T=［90° -90° 90° -90°］T. 金字塔構(gòu)型參數(shù)γ=［γ1γ2γ3γ4］T=［90°180° -90°0°］T，σ=［σ1σ2σ3σ4］T=［53.13° 53.13° 53.13° 53.13°］T.在(13)式中，若系數(shù)矩陣第1 列為0，則計(jì)算出δ1=90°或者δ1=270°;δ2=0°或者δ2=180°;δ3=90°或者δ3=270°;δ4=0°或者δ4=180°.

在以初始框架角為［90° -90° 90° -90°］T的調(diào)姿過(guò)程中，(13)式系數(shù)矩陣每列不可能同時(shí)為0，故航天器姿態(tài)角速率的解析表達(dá)式系數(shù)矩陣不存在奇異。

4 仿真分析

航天器慣量矩陣

設(shè)置磁懸浮CMG 參數(shù)如表1所示。

表1 磁懸浮CMG 參數(shù)Tab.1 Parameters of MSCMG

航天器姿態(tài)角速率測(cè)量值和實(shí)際值數(shù)據(jù)獲取如圖4所示。

航天器從初始姿態(tài)角［-20° 50° 30°］機(jī)動(dòng)到［0° 0° 0°］過(guò)程中，測(cè)量姿態(tài)角速率和實(shí)際姿態(tài)角速率對(duì)比仿真如圖5～圖7所示。

從仿真結(jié)果可以看出，測(cè)量值和實(shí)際值的誤差僅在10-3數(shù)量級(jí)上，因此磁懸浮CMG 金字塔構(gòu)型可以同時(shí)檢測(cè)出航天器的3 軸姿態(tài)角速率。

姿態(tài)控制器施加給磁懸浮CMG 的控制信息為框架角和框架角速度，金字塔構(gòu)型4 個(gè)磁懸浮CMG的框架角和框架角速度曲線如圖8、圖9所示。

從圖8、圖9可以看出，金字塔構(gòu)型磁懸浮CMG框架角速度、角加速度均在允許的范圍內(nèi)。

金字塔構(gòu)型磁懸浮CMG 輸出控制力矩曲線如圖10 所示。

圖4 姿態(tài)角速率測(cè)量值和實(shí)際值數(shù)據(jù)獲取方法Fig.4 Data acquisition method for measuring and actual values of attitude angular rate

圖5 滾動(dòng)角速率比較Fig.5 Comparison of roll angular rates

圖6 俯仰角速率比較Fig.6 Comparison of pitch angular rates

從圖10 可以看出，利用金字塔構(gòu)型磁懸浮CMG 進(jìn)行航天器姿態(tài)角速率測(cè)量并未影響控制力矩的輸出。

5 結(jié)論

本文提出的姿態(tài)測(cè)量方法，可以替代姿控系統(tǒng)的速率陀螺，減少姿控系統(tǒng)的體積、質(zhì)量。隨著傳感器技術(shù)的發(fā)展，用于量測(cè)磁懸浮轉(zhuǎn)子位移的電渦流位移傳感器的精度可以達(dá)到亞微米級(jí)，電流傳感器的精度可達(dá)到微安級(jí)，因此本測(cè)量方法是有著廣闊應(yīng)用前景的高精度姿態(tài)測(cè)量方法。

圖7 偏航角速率比較Fig.7 Comparison of yaw angular rates

圖8 磁懸浮CMG 框架角曲線Fig.8 Frame angles of magnetically suspended CMG

圖9 磁懸浮CMG 框架角速度曲線Fig.9 Frame angular rates of magnetically suspended CMG

圖10 金字塔構(gòu)型磁懸浮CMG 控制力矩曲線Fig.10 Control torque of magnetically suspended CMG withpyramid configuration

References)

［1］房建成，任元.磁懸浮控制力矩陀螺技術(shù)［M］. 北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2013.FANG Jian-cheng，REN Yuan. Magnetically suspended control moment gyroscope technology［M］. Beijing:National Defense Industry Press，2013.(in Chinese)

［2］Ren Y，F(xiàn)ang J C. Current sensing resistor design to include current derivative in PWM H-bridge unipolar switching power amplifiers for magnetic bearings［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics，2012，59(12):4590 -4600.

［3］房建成，孫津濟(jì)，樊亞洪.磁懸浮慣性動(dòng)量輪技術(shù)［M］. 北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2012.FANG Jian-cheng，SUN Jin-ji，F(xiàn)AN Ya-hong. Magnetically suspended inertial momentum wheel technology［M］. Beijing:National Defense Industry Press，2012.(in Chinese)

［4］韓邦成，虎剛，房建成. 磁懸浮控制力矩陀螺高速轉(zhuǎn)子的優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］. 光學(xué)精密工程，2006，14(4):662 -666.HAN Bang-cheng，HU Gang，F(xiàn)ANG Jian-cheng. Optimization design of magnetic suspended gyroscope rotor［J］. Optics and Precision Engineering，2006，14 (4):662 -666.(in Chinese)

［5］Park S，Lee C. Decoupled control of a disk-type rotor equipped with a three-pole hybrid magnetic bearing［J］. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics，2010，15(5):793 -804.

［6］段洪棟，吳忠. 基于磁懸浮控制力矩陀螺的航天器動(dòng)力學(xué)與仿真［J］. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2009，21(9):2783 -2786.DUAN Hong-dong，WU Zhong. Dynamics and simulation of spacecraft with magnetically suspended control moment gyroscope［J］.Journal of System Simulation，2009，21 (9):2783 -2786. (in Chinese)

［7］楊倩，崔培玲，韓邦成，等. 航天器機(jī)動(dòng)時(shí)DGMSCMG 磁懸浮轉(zhuǎn)子干擾補(bǔ)償控制［J］. 宇航學(xué)報(bào)，2012，33(6):720 -727.YANG Qian，CUI Pei-ling，HAN Bang-cheng，et al. Disturbance compensation control of magnetically suspended rotor of DGMSCMG during spacecraft attitude maneuver［J］. Journal of Astronautics，2012，33 (6):720 -727.(in Chinese)

［8］魏彤，房建成，劉珠榮，等. 雙框架磁懸浮控制力矩陀螺動(dòng)框架效應(yīng)補(bǔ)償方法［J］. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010，46(2):159 -165.WEI Tong，F(xiàn)ANG Jian-cheng，LIU Zhu-rong，et al. Moving -gimbal effects compensation of double gimbal magnetically suspended control moment gyroscope based on compound control［J］.Journal of Mechanical Engineering，2010，46 (2):159 -165.(in Chinese)

［9］Ousaloo H S. Magnetic attitude control of dynamically unbalanced spinning spacecraft during orbit raising［J］. American Society of Civil Engineers，2014，27(2):262 -278.

［10］Paramonov P P，Shukalov A V，Raspopov V Y，et al. Backup strapdown attitude control system on the Russian-made inertial sensors［J］. Russian Aeronautics，2015，57(3):319 -323.

［11］Fang J，Zheng S，Han B. Attitude sensing and dynamic decoupling based on active magnetic bearing of MSDGCMG［J］. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement， 2012，61(2):338 -348.

［12］劉彬，房建成，劉剛. 一種磁懸浮陀螺飛輪方案設(shè)計(jì)與關(guān)鍵技術(shù)分析［J］. 航空學(xué)報(bào)，2011，32(8):1478 -1487.LIU Bin，F(xiàn)ANG Jian-cheng，LIU Gang. Design of a magnetically suspended gyrowheel and analysis of key technologies［J］. Chinese Journal of Aeronautics，2011，32 (8):1478 -1487. (in Chinese)

［13］魏彤，房建成. 磁懸浮控制力矩陀螺高速轉(zhuǎn)子高頻自激振動(dòng)的抑制［J］. 宇航學(xué)報(bào)，2006，27(2):291 -296.WEI Tong，F(xiàn)ANG Jian-cheng. Self-excited vibration depression of high-speed rotor in magnetically suspended control moment gyroscope［J］. Journal of Astronautics，2006，27 (2):291 -296.(in Chinese)

［14］Fang J，Ren Y. Decoupling control of magnetically suspended rotor system in control moment gyros based on an inverse system method［J］. IEEE-ASME Transactions on Mechatronics，2012，17(6):1133 -1144.

［15］魏彤，房建成. 高速大慣量磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)章動(dòng)交叉控制的保相角裕度設(shè)計(jì)［J］. 光學(xué)精密工程，2007，15 (6):858 -865.WEI Tong，F(xiàn)ANG Jian-cheng. Proof-phase-margin design of nutation cross-feedback control in magnetically suspended highspeed rotor system with large rotary inertia［J］. Optics and Precision Engineering，2007，15 (6):858 -865.(in Chinese)

［16］Fang J C，Ren Y，F(xiàn)an Y. Nutation and precession stability criterion of magnetically suspended rigid rotors with gyroscopic effects based on positive and negative frequency characteristics［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2014，61 (4):2003 -2014.

［17］Ren Y，F(xiàn)ang J C. High-stability and fast-response twisting motion control for the magnetically suspended rotor system in a control moment gyro［J］. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics，2013，18(6):1625 -1634.

［18］Ren Y，F(xiàn)ang J C. High-precision and strong-robustness control for an MSCMG based on modal separation and rotation motion decoupling strategy［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics，2014，61(3):1539 -1551.

［19］Ren Y，F(xiàn)ang J C. Current sensing resistor design to include current derivative in PWM H-bridge unipolar switching power amplifiers for magnetic bearings［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics，2012，59(12):4590 -4600.