維修－更換串聯(lián)系統(tǒng)貯存可用度建模及費(fèi)用分析

楊力，馬小兵

(北京航空航天大學(xué)可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院，北京100191)

0 引言

貯存可用性是指產(chǎn)品在貯存狀態(tài)下，當(dāng)任務(wù)需要時(shí)，產(chǎn)品處于可使用狀態(tài)的程度。貯存可用度作為貯存可用性的概率度量，是一種特殊的工作狀態(tài)可用度。對(duì)于大部分貯存類產(chǎn)品而言，其大修期或報(bào)廢期一般較長(zhǎng)。在該期間內(nèi)，由于貯存環(huán)境和維修管理等因素的影響，產(chǎn)品的貯存可用度會(huì)逐漸降低，直至一個(gè)不可接受的程度。目前，工程上對(duì)長(zhǎng)期貯存產(chǎn)品一般采用定期檢測(cè)維修和定期更換這兩種策略，來保持和恢復(fù)其貯存可用度。

需要注意的是，檢測(cè)和更換間隔時(shí)間過長(zhǎng)，會(huì)使產(chǎn)品長(zhǎng)時(shí)間處于故障狀態(tài)，不可用導(dǎo)致的損失較多，而間隔過短則會(huì)導(dǎo)致過度維修，造成不必要的資金浪費(fèi)。因此，有必要對(duì)基于可用度的貯存系統(tǒng)費(fèi)用問題進(jìn)行研究，尋求最佳維修保障策略。

在貯存可靠性研究方面，文獻(xiàn)［1 -2］基于Bootstrap 對(duì)貯存系統(tǒng)的可靠度進(jìn)行了置信限評(píng)估。文獻(xiàn)［3 -4］構(gòu)建了由3 類部件組成的系統(tǒng)的貯存可靠度模型，旨在尋找實(shí)現(xiàn)使平均可靠度最大的檢修策略。

在工作系統(tǒng)維護(hù)費(fèi)用優(yōu)化方面，文獻(xiàn)［5 -7］建立了包含不同壽命分布組件的系統(tǒng)混合檢測(cè)模型，并用仿真方法確定了長(zhǎng)期運(yùn)行的可用度和費(fèi)用率。文獻(xiàn)［8 -9］提出了基于連續(xù)檢測(cè)的兩部件退化系統(tǒng)視情維修策略，并對(duì)其整體費(fèi)用率進(jìn)行了優(yōu)化。文獻(xiàn)［10 -11］分別針對(duì)單組件和多組件系統(tǒng)建立了基于風(fēng)險(xiǎn)比例模型的視情維修策略，通過費(fèi)用率確定最優(yōu)預(yù)防性維修閾值。文獻(xiàn)［12 -15］對(duì)于定期檢測(cè)與機(jī)會(huì)檢測(cè)、隨機(jī)檢測(cè)結(jié)合的維修更換模型的費(fèi)用進(jìn)行了對(duì)比分析。

然而，目前對(duì)于多部件貯存系統(tǒng)的可用度和維修費(fèi)用缺少研究。該系統(tǒng)的維修保障特點(diǎn)與工作系統(tǒng)差異在于:第一，貯存系統(tǒng)的故障只有通過定期檢測(cè)發(fā)現(xiàn)并予以維修，或通過定期預(yù)防性更換消除;第二，貯存系統(tǒng)一般是由幾類維護(hù)策略和維護(hù)周期均不同的部件構(gòu)成。為此，本文開展了對(duì)由檢修類和更換類部件構(gòu)成的貯存系統(tǒng)的可用度建模和費(fèi)用評(píng)估優(yōu)化工作。該系統(tǒng)中，第一類部件需進(jìn)行定期更換，更換耗時(shí)固定;第二類部件需進(jìn)行定期檢測(cè)，檢測(cè)有一定的概率無法發(fā)現(xiàn)故障，發(fā)現(xiàn)故障則立即維修如新，維修耗時(shí)固定。根據(jù)貯存期間的可靠性變化規(guī)律和具體維護(hù)情況，分別構(gòu)建了兩類部件的瞬時(shí)貯存可用度模型，并推導(dǎo)了系統(tǒng)的平均貯存可用度。在此基礎(chǔ)上，建立了該系統(tǒng)在固定貯存期限內(nèi)的維護(hù)費(fèi)用模型，并基于更新理論對(duì)檢測(cè)周期以及更換周期進(jìn)行了綜合的優(yōu)化。最后，通過具體的數(shù)值和仿真算例對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行分析和驗(yàn)證。

1 貯存可用度模型

1.1 模型假設(shè)

1)貯存系統(tǒng)由定期檢測(cè)維修和定期更換兩類相互獨(dú)立的部件串聯(lián)構(gòu)成。出于簡(jiǎn)化模型的考慮，假設(shè)每一類均為單個(gè)部件。

2)兩類部件從同一時(shí)刻開始貯存，設(shè)為零時(shí)刻。

3)更換類部件的更換周期為檢修類部件檢測(cè)周期的整數(shù)倍。

4)對(duì)檢修類部件的檢測(cè)是不完善的，有一定的概率發(fā)生漏檢，而對(duì)該類部件的故障維修是完善的，能將部件恢復(fù)到全新的狀態(tài)。

5)檢修類部件的檢測(cè)時(shí)間忽略不計(jì)，而維修時(shí)間不可忽略，更換類部件的更換時(shí)間不可忽略。

6)更換和故障維修期間系統(tǒng)均為不可用狀態(tài)。

1.2 更換類部件可用度模型

第一類部件通過定期更換策略來保證其高可用度。無論是否發(fā)生故障，該類部件每隔規(guī)定時(shí)間均需被全新的部件替換。實(shí)際貯存中，更換新部件消耗資源較多，且費(fèi)用較高，不宜頻繁進(jìn)行，故更換周期一般應(yīng)大于檢修類部件的檢測(cè)周期。從方便系統(tǒng)整體維護(hù)的角度出發(fā)，可將該類部件的更換周期定為檢修類部件檢測(cè)周期的整數(shù)倍，以避免由于系統(tǒng)處于不可用狀態(tài)而造成的損失。更換-檢測(cè)周期比不為整數(shù)以及兩周期相同的情況將在后續(xù)研究中討論，本文暫不考慮。更換策略如圖1所示。

圖1 定期更換類貯存部件的更換策略示意圖Fig.1 Schematic diagram of replacement strategy of replaceable components

設(shè)T'為更換周期，T 為檢測(cè)周期，則有T' =NT(N≥2). 并設(shè)更換耗時(shí)為Tr，t 時(shí)刻的故障累積分布函數(shù)和可靠度函數(shù)分別為Fr(t)和Rr(t)。該類部件在任意時(shí)刻t 的瞬時(shí)貯存可用度可表示為

式中:m 為正整數(shù)。

具體推導(dǎo)過程如下:

1)當(dāng)0≤t ＜NT 時(shí)，該類部件還未進(jìn)行過任何更換，故瞬時(shí)貯存可用度為Ar(t)=P(Xr(t)=1)=Rr(t)，其中Xr(t)為該類部件的貯存狀態(tài)隨機(jī)變量

2)當(dāng)mNT≤t ＜mNT +Tr時(shí)，該類部件正在更換過程中，即處在不可用狀態(tài)，故瞬時(shí)貯存可用度為Ar(t)=P(Xr(t)=1)=0.

3)當(dāng)mNT+Tr≤t ＜(m+1)NT 時(shí)，部件處于貯存狀態(tài)。注意到部件每一次更換都相當(dāng)于完成一次更新過程，并考慮到t 之前最近的更新時(shí)刻為mNT+Tr，故t 時(shí)刻的瞬時(shí)貯存可用度為Ar(t)=P(Xr(t)=1)=P(Xr(t -mNT -Tr)=1)=Rr(t -mNT-Tr).

1.3 檢修類部件可用度模型

該類部件每隔T 時(shí)刻進(jìn)行定期檢測(cè)，檢測(cè)有p的概率無法檢測(cè)到故障。若檢測(cè)結(jié)果為正常，則不對(duì)部件進(jìn)行任何操作，繼續(xù)貯存;若檢測(cè)結(jié)果為故障，則進(jìn)行故障維修，耗時(shí)Tc(0 ＜Tc＜T)且修復(fù)如新，并繼續(xù)貯存。該類部件的檢測(cè)和維修策略如圖2所示。

圖2 檢修類貯存部件的檢測(cè)維修策略示意圖Fig.2 Schematic diagram of inspection and repair strategy of repairable components

設(shè)t 時(shí)刻的故障累積分布函數(shù)和可靠度函數(shù)分別為Fc(t)和Rc(t). 則該類部件在任意時(shí)刻t 的瞬時(shí)貯存可用度Ac(t)可表示為

式中:k 為正整數(shù);Si=Rc(iT)-Rc((i+1)T).

設(shè)T*f為檢修類部件的首次故障發(fā)生時(shí)間，Tf為其首次維修開始時(shí)間。根據(jù)貯存時(shí)刻的不同，其瞬時(shí)貯存可用度可分為以下兩種情況:

1)當(dāng)0 ＜t≤T +Tc時(shí)，檢修類部件的瞬時(shí)貯存可用度可以表示為

式中:Xc(t)為該類部件的貯存狀態(tài)隨機(jī)變量，Xc(t)=)表示該類部件貯存到t 時(shí)刻未發(fā)生過故障的概率，故有P(Xc(t)= 1，t ＜T*

f)= Rc(t);P(Xc(t)=1，T*f≤t≤Tf+Tc)表示該類部件從故障發(fā)生到故障維修完成這段時(shí)間內(nèi)處于可用狀態(tài)的概率，顯然有P(Xc(t)=1，T*f≤t≤Tf+Tc)=0. 因此，當(dāng)0 ＜t≤T+Tc時(shí)，該類部件的瞬時(shí)貯存可用度為Ac(t)=Rc(t)+0 =Rc(t).

2)當(dāng)t ＞T+Tc時(shí)，該類部件的瞬時(shí)貯存可用度可表示為

結(jié)合情況1 中的推導(dǎo)結(jié)果，可化簡(jiǎn)為Ac(t)=Rc(t)+P(Xc(t)=1，t ＞Tf+Tc)，式中:P(Xc(t)=1，t ＞Tf+Tc)表示部件在t 時(shí)刻之前已完成過故障的維修，且在t 時(shí)刻部件處于正常貯存狀態(tài)的概率。

設(shè)kT+Tc＜t≤(k+1)T+Tc，k =1，2，…. 若部件在t 時(shí)刻可用，則部件在t 之前的首次故障可能發(fā)生在［iT，(i+1)T］(i=0，1，…，k-1)內(nèi)。由于每一次定檢均有p 的概率無法發(fā)現(xiàn)故障，因此該故障可能在jT(j=i +1，i +2，…，k)時(shí)刻被檢測(cè)到，繼而在jT+Tc時(shí)刻完成首次故障維修。從零時(shí)刻開始至首次故障維修結(jié)束即為一次更新過程。因此:

故當(dāng)kT+Tc＜t≤(k+1)T+Tc時(shí)，部件的瞬時(shí)貯存可用度為

1.4 貯存系統(tǒng)可用度模型

貯存系統(tǒng)由1.2 節(jié)和1.3 節(jié)中的定期更換和定期檢修兩類部件串聯(lián)構(gòu)成，且兩類部件相互獨(dú)立，故障間無影響。因此，某一時(shí)刻任意一類部件處于不可用狀態(tài)時(shí)，貯存系統(tǒng)也將處于不可用狀態(tài)。綜上，該系統(tǒng)在t 時(shí)刻的瞬時(shí)貯存可用度為

假定更換耗時(shí)Tr大于維修耗時(shí)Tc，且N≥2，即不考慮更換周期等于檢測(cè)周期的情況。此時(shí)系統(tǒng)的瞬時(shí)貯存可用度可表示為

式中:m 為正整數(shù);nt=?t/T」;Si=Rc(iT)-Rc((i +1)T).

該貯存系統(tǒng)在時(shí)間區(qū)間［0，L］內(nèi)的平均貯存可用度可表示為

式中:L 為固定貯存期限。

2 貯存系統(tǒng)費(fèi)用模型

實(shí)際工程中，大部分貯存產(chǎn)品具有固定的貯存期限，超過該期限一般對(duì)產(chǎn)品予以報(bào)廢處理。本節(jié)將研究在固定期限內(nèi)系統(tǒng)的貯存費(fèi)用情況。關(guān)于無貯存期限的系統(tǒng)費(fèi)用建模將在后續(xù)研究中進(jìn)行，本文暫不考慮。

系統(tǒng)貯存期內(nèi)產(chǎn)生的費(fèi)用主要由以下四部分組成:更換類部件的更換費(fèi)用、檢修類部件的檢測(cè)費(fèi)用、檢修類部件的維修費(fèi)用、貯存系統(tǒng)不可用導(dǎo)致的損失。費(fèi)用參數(shù)設(shè)置如下:更換類部件單次更換費(fèi)用為Cr;檢修類部件單次檢測(cè)費(fèi)用為CI;單次維修費(fèi)用為Cc，系統(tǒng)單位時(shí)間不可用導(dǎo)致的損失為Cd.

更換類部件的更換次數(shù)mr為

檢修類部件的檢測(cè)次數(shù)mI為

檢修類部件的期望維修次數(shù)E(Nc)為(檢修類部件在iT 時(shí)刻不可用)=

貯存系統(tǒng)在［0，L］上期望不可用時(shí)間E(Td)為

本模型的優(yōu)化目標(biāo)唯一，即為系統(tǒng)固定貯存期限內(nèi)的平均貯存費(fèi)用該優(yōu)化目標(biāo)與2 個(gè)決策變量相關(guān):1)檢測(cè)周期T;2)更換周期與檢測(cè)周期長(zhǎng)度比N. 由于更換周期NT 不能超過固定貯存期L，且N≥2，故檢測(cè)周期T 不能超過L/2. 此外，維修和更換時(shí)間一般遠(yuǎn)小于檢測(cè)周期，故T ＞max (Tr，Tc).

將(6)式～(9)式代入(10)式并化簡(jiǎn)，可得到該費(fèi)用優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)描述:

式中:Ac(iT)為關(guān)于T 的可用度函數(shù)，可通過(2)式求得(0，L)為關(guān)于(N，T)的可用度函數(shù)，可通過(4)式、(5)式求得?？梢园l(fā)現(xiàn)，該貯存系統(tǒng)費(fèi)用率與貯存部件及貯存系統(tǒng)的可用度均密切相關(guān)。

由于2 個(gè)優(yōu)化變量取值均為整數(shù)且數(shù)據(jù)量相對(duì)較小，因此擬采用枚舉法，從滿足約束條件(11)式的若干組決策變量(T，N)中搜索使(T，N)達(dá)到最小的最優(yōu)解(T*，N*)。

3 算例

3.1 貯存可用度分析

設(shè)系統(tǒng)的固定貯存期限L 為180 個(gè)月。更換類部件故障時(shí)間服從威布爾分布，其尺度參數(shù)ηr為550 個(gè)月，形狀參數(shù)mr= 1.1，部件更換耗時(shí)為0.2 個(gè)月;檢修類部件的故障時(shí)間服從威布爾分布，其尺度參數(shù)ηc為120 個(gè)月，形狀參數(shù)mI=1.7，每次檢測(cè)未能檢出故障的概率為0.05，故障維修耗時(shí)為0.1 個(gè)月。

更換類部件的更換周期T'為24 個(gè)月時(shí)其瞬時(shí)貯存可用度變化規(guī)律如圖3所示。

圖3 更換類部件瞬時(shí)貯存可用度變化曲線(更換周期為24 個(gè)月)Fig.3 The curres of transient storage availability of replaceable components (replacement cycle:24 moaths)

由圖3可見，首個(gè)更換周期內(nèi)貯存可用度不存在零點(diǎn)。從第2 個(gè)周期開始，在初始的更換階段可用度為0. 而更換完成時(shí)變?yōu)?，且各周期內(nèi)變化規(guī)律相同。該部件的貯存可用度一直維持在某一較高的水平，表明定期更換對(duì)部件可用度的保持和恢復(fù)作用較顯著。

當(dāng)檢測(cè)周期T 為12 個(gè)月時(shí)，檢修類部件的瞬時(shí)貯存可用度變化規(guī)律如圖4所示。

圖4 檢修類部件瞬時(shí)貯存可用度變化曲線(檢測(cè)周期為12 個(gè)月)Fig.4 The curves of transient storage availability of repairable components (inspestion cycle:24 months)

由圖4可見，瞬時(shí)貯存可用度周期性上下振蕩。隨時(shí)間增大，振蕩區(qū)間內(nèi)的最低可用度將收斂于某一固定值。此外，由于受維修期間不可用時(shí)間的影響，零時(shí)刻之后的可用度峰值無法達(dá)到1.

當(dāng)定檢周期為12 個(gè)月，更換周期為24 個(gè)月時(shí)，該系統(tǒng)平均貯存可用度變化規(guī)律如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)平均貯存可用度變化規(guī)律(檢測(cè)和更換周期分別為12 個(gè)月、24 個(gè)月)Fig.5 The change rule of average availability of system (inspetion cycle:12 months;raplacement cycle:24 months)

從圖5可看到，系統(tǒng)平均貯存可用度整體上逐漸下降并趨近于某一定值。通過計(jì)算表明，該維修-更換串聯(lián)系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)平均貯存可用度。此外，平均貯存可用度在局部范圍內(nèi)呈周期性的先增后減的變化規(guī)律，但這種變化逐漸趨于不明顯。

3.2 系統(tǒng)貯存費(fèi)用研究

貯存期間的各項(xiàng)費(fèi)用如下:更換類部件單次更換費(fèi)用Cr=100 000 元，檢修類部件單次檢測(cè)費(fèi)用CI=5 000 元，檢修類部件單次維修費(fèi)用Cc=40 000 元，系統(tǒng)單位時(shí)間不可用導(dǎo)致?lián)p失Cd=180 000 元/月。

計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)T 為4 個(gè)月且N =6 時(shí)，即更換類部件更換周期為24 個(gè)月，檢修類部件檢測(cè)周期為4 個(gè)月時(shí)，系統(tǒng)在固定貯存期限180 個(gè)月內(nèi)的平均費(fèi)用率最小，為19 026 元/月。平均費(fèi)用率與兩決策變量的關(guān)系如圖6所示。

圖6 平均費(fèi)用率與檢測(cè)周期及周期比的關(guān)系Fig.6 Average cost rate vs. inspection cycle and cycle radio

當(dāng)更換-檢測(cè)周期比N 分別為4、6、8 時(shí)，平均費(fèi)用率與檢測(cè)周期的關(guān)系如圖7所示。

圖7 平均費(fèi)用率與檢測(cè)周期的關(guān)系(N 分別為4、6、8)Fig.7 Average cost rate vs. inspection cycle (N=4，6，8)

當(dāng)檢測(cè)周期分別為2 個(gè)月、4 個(gè)月、6 個(gè)月時(shí)，期望費(fèi)用率與更換-檢測(cè)周期比N 的關(guān)系如圖8所示。

由圖7可見，當(dāng)N 確定時(shí)，系統(tǒng)平均費(fèi)用率隨檢測(cè)周期增大先單調(diào)減后單調(diào)增，存在唯一最小值。類似的，由圖8可見，當(dāng)T 確定時(shí)，隨著倍數(shù)N 的增大，系統(tǒng)期望費(fèi)用率先減后增，存在唯一最小值。圖6～圖8綜合分析表明:若檢測(cè)和更換周期過短，部件維護(hù)過于頻繁，相應(yīng)費(fèi)用較多，導(dǎo)致費(fèi)用率偏高;而若周期過長(zhǎng)，則系統(tǒng)不可用時(shí)間較多，不可用損失較大，同樣不利于降低費(fèi)用率。因此，對(duì)檢測(cè)周期和更換周期進(jìn)行合理的規(guī)劃配比是節(jié)省系統(tǒng)貯存費(fèi)用的重要途徑。

圖8 平均費(fèi)用率與周期比N 的關(guān)系(T 為2、4、6 個(gè)月)Fig.8 Averge cost rate vs. replacement-inspestion cycle radio N(T=2，4，6 monts)

3.3 費(fèi)用仿真驗(yàn)證

費(fèi)用蒙特卡洛仿真的各項(xiàng)故障分布、費(fèi)用及維修相關(guān)參數(shù)值見3.1 節(jié)。需要生成的隨機(jī)變量包括:1)服從威布爾分布的更換類部件故障時(shí)間f1、f2;2)服從二項(xiàng)分布的檢修類部件故障檢測(cè)結(jié)果P(P 取1 或0，1 表示檢測(cè)結(jié)果為正常，0 表示檢測(cè)結(jié)果為故障)。仿真運(yùn)行次數(shù)K=10 000. 仿真流程如圖9所示。

部分仿真和計(jì)算結(jié)果如表1所示。通過對(duì)比可以看到，貯存費(fèi)用率的計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果基本吻合，從而驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。

表1 貯存費(fèi)用的計(jì)算值和仿真值Tab.1 The calculated and simulated values of storage cost

4 結(jié)論

圖9 貯存費(fèi)用仿真流程圖Fig.9 Flow chart of storage cost simulation

本文基于實(shí)際中長(zhǎng)期貯存產(chǎn)品的特點(diǎn)，分別對(duì)定期檢修類和定期更換類貯存部件的維修保障策略及特點(diǎn)進(jìn)行了研究，并以此為基礎(chǔ)構(gòu)建了貯存系統(tǒng)可用度模型及貯存費(fèi)用模型。通過對(duì)檢測(cè)周期以及更換周期的優(yōu)化選取，實(shí)現(xiàn)固定貯存期限內(nèi)平均費(fèi)用率最低的目標(biāo)。計(jì)算結(jié)果表明，最優(yōu)系統(tǒng)維護(hù)策略存在且唯一，且不同的檢測(cè)-更換周期組合對(duì)費(fèi)用率有較為明顯的影響。因此對(duì)系統(tǒng)各類周期的合理計(jì)劃安排是提升貯存經(jīng)濟(jì)性的重要途徑。最后，通過蒙特卡洛仿真驗(yàn)證了該優(yōu)化計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

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