一種改進(jìn)的灰色關(guān)聯(lián)度算法及其推廣應(yīng)用

陳友軍，何洪英

西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009

1 引言

灰色系統(tǒng)關(guān)聯(lián)分析不僅是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分之一，而且是灰色系統(tǒng)分析、建模、預(yù)測(cè)、決策的基石。通過(guò)近年來(lái)的研究表明，灰色關(guān)聯(lián)理論無(wú)疑是灰色系統(tǒng)理論應(yīng)用最廣泛、最具活力的部分。正是由于所有的灰色關(guān)聯(lián)分析均是在灰色關(guān)聯(lián)度的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，灰色關(guān)聯(lián)度模型直接影響著關(guān)聯(lián)分析和應(yīng)用結(jié)果，因此研究關(guān)聯(lián)度模型及其算法具有十分重要的意義[1-9]。

現(xiàn)有的灰色關(guān)聯(lián)分析是基于思想：根據(jù)序列曲線幾何形狀的相似程度來(lái)判斷其聯(lián)系是否緊密，曲線越接近，相應(yīng)序列之間的關(guān)聯(lián)度就越大，反之就越小[1]；由于其以序列曲線的相似性為研究基礎(chǔ)，因此，這里所謂的曲線越接近是指曲線的相似性，并非是曲線本身的接近（貼近），所以這種關(guān)聯(lián)分析是一種相似性分析，不是接近性分析；而灰色聚類、灰色決策等實(shí)際應(yīng)用中也經(jīng)常使用各已知模式與理想模式的接近程度的關(guān)聯(lián)分析，已知模式與理想模式越接近，接近程度就越高，接近度的值就越大，也就是說(shuō)這種關(guān)聯(lián)分析是一種接近性分析，不是相似性分析。接近性應(yīng)當(dāng)根據(jù)序列曲線的幾何形狀特征以及空間位置關(guān)系差異判定其關(guān)聯(lián)是否緊密，接近程度與相似程度是完全不同的兩個(gè)概念，對(duì)數(shù)據(jù)處理的要求也不相同，因而應(yīng)有不同的定義和表達(dá)式以及不同的規(guī)范性和接近性[1-5]。

對(duì)于劉思峰教授提出的廣義灰色關(guān)聯(lián)度模型，由于其計(jì)算方便，不會(huì)出現(xiàn)量化結(jié)果與定性分析結(jié)果不符等一些優(yōu)勢(shì)，因而在現(xiàn)實(shí)中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用[10-16]。但是深入研究發(fā)現(xiàn)其存在嚴(yán)重的不足之處，從某些實(shí)際例子來(lái)看，廣義灰色關(guān)聯(lián)度以及劉思峰教授在此基礎(chǔ)上提出的灰色接近性關(guān)聯(lián)度和灰色相似性關(guān)聯(lián)度都無(wú)法反映序列間的真實(shí)接近性或相似性，也就是實(shí)際上是存在量化結(jié)果與定性分析結(jié)果不一致的問(wèn)題。

2 問(wèn)題提出

劉思峰教授在文獻(xiàn)[1]中以及前幾版的書中都給出了灰色廣義關(guān)聯(lián)度，其中包括灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度和灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度，并在最新版的文獻(xiàn)[1]中根據(jù)灰色廣義關(guān)聯(lián)度的相關(guān)命題和定義給出了灰色接近性關(guān)聯(lián)度和灰色相似性關(guān)聯(lián)度。然而，正是因?yàn)檫@些文獻(xiàn)中所給命題與灰色序列關(guān)系的實(shí)際意義（接近或相似）存在不一致而導(dǎo)致了一系列的問(wèn)題。

2.1 相關(guān)命題及定義

命題2.1.1設(shè)系統(tǒng)行為序列Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))，記拆線 (xi(1)-xi(1),xi(2)-xi(1),…,xi(n)-xi(1))為Xi-xi(1)，令

則

（1）當(dāng)Xi為增長(zhǎng)序列時(shí)，si≥0；

（2）當(dāng)Xi為衰減序列時(shí)，si≤0；

（3）當(dāng)Xi為振蕩序列時(shí)，si符號(hào)不定。

類似地可以給出Si的符號(hào)變化情況。

定義2.1.1設(shè)系統(tǒng)行為序列Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))，D為序列算子，且

其中xi(k)d=xi(k)-xi(1)，k=1,2,…,n，則稱D為始點(diǎn)零化算子，XiD為Xi的始點(diǎn)零化像，記為

則

（1）當(dāng)恒在上方，si-sj≥0；

如圖 1所示，圖（a）中，恒在上方，所以si-sj≥0，圖（b）中，與相交，si-sj的符號(hào)不定。

對(duì)于Si-Sj不難得到類似的結(jié)論。

圖1 拆線關(guān)系示意圖

2.2 存在的問(wèn)題

由上面的命題和定義知si為經(jīng)始點(diǎn)零化后序列拆線與時(shí)間軸所圍圖形的面積，而Si為原始序列拆線與時(shí)間軸所圍圖形的面積；當(dāng)然si-sj即為兩原始序列經(jīng)始點(diǎn)零化后的拆線與時(shí)間軸所圍圖形的面積之差，Si-Sj即為兩原始序列的拆線與時(shí)間軸所圍圖形的面積之差。那這些面積差是不是圖1中所示的面積差（圖中陰影部分所示）呢？

很遺憾的是，這些面積差并不表示圖中所示的陰影部分的面積，這種計(jì)算方法得到的是兩個(gè)總面積之差，并不是交叉的陰影面積。然而，現(xiàn)實(shí)中人們更關(guān)心的是圖中陰影部分的情況，也就是兩種拆線圖形的真實(shí)差異情況。

2.3 實(shí)例分析

例2.1設(shè)系統(tǒng)行為序列X1=(1,3,5,7)，X2=(1,5,3,7)，它們經(jīng)始點(diǎn)零化后的序列分別為=(0,2,4,6)和=(0,4,2,6)，拆線如圖2所示，試計(jì)算它們的灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度、灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度、灰色接近性關(guān)聯(lián)度和灰色相似性關(guān)聯(lián)度。

圖2 拆線樣式

解：很明顯，兩個(gè)序列既不接近，也不相似。

利用2.1節(jié)的相關(guān)命題及定義計(jì)算數(shù)據(jù)：

依據(jù)文獻(xiàn)[1]中所給灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度、灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度、灰色接近性關(guān)聯(lián)度、灰色相似性關(guān)聯(lián)的計(jì)算公式計(jì)算得到的這些關(guān)聯(lián)度均為1。然而，從某種意義上說(shuō)，只有當(dāng)兩序列完全重合時(shí)這些關(guān)聯(lián)度才可能為1，因此，劉思峰教授所提出灰色廣義關(guān)聯(lián)度的計(jì)算方式是不符合實(shí)際意義的，其根本原因在于對(duì)前述“面積之差”的理解有誤。

本例所給兩序列一是單調(diào)增長(zhǎng)的，另一個(gè)是振蕩序列，根據(jù)例子的形式，還可以列舉出無(wú)窮多類似的例子。對(duì)于常見(jiàn)的兩個(gè)或多個(gè)序列同為單調(diào)增或單調(diào)減的，也可以找到無(wú)窮多的實(shí)例。

實(shí)際上，劉思峰教授提出的廣義灰色關(guān)聯(lián)度計(jì)算方法問(wèn)題的根本原因就是忽略了圖形的本質(zhì)特征而僅考慮面積之差，這就好比如果一個(gè)三角形的面積等于一個(gè)圓的面積時(shí)，是不能說(shuō)三角形和圓是相似的或接近的。雖然劉思峰教授在文獻(xiàn)[1-3]中給出了接近性關(guān)聯(lián)度、相似性關(guān)聯(lián)度等的新性質(zhì)，但這些卻給實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)了麻煩，特別是在進(jìn)行灰色聚類分析和灰色決策分析時(shí)，到底應(yīng)該對(duì)這樣的序列怎樣歸類，他們到底是不是屬于同類行為導(dǎo)致的呢?很明顯，現(xiàn)實(shí)中是不允許這樣做的。比如某同學(xué)的成績(jī)排名從第一學(xué)期到第四學(xué)期分別是1、3、5、7，而另一個(gè)同學(xué)的成績(jī)排名是1、5、3、7，這兩個(gè)序列的幾種灰色關(guān)聯(lián)度均為1，那我們能說(shuō)這兩同學(xué)的學(xué)習(xí)情況是完全相似、他們的成績(jī)是完全接近的嗎？很明顯不是的，當(dāng)然我們也無(wú)法得出結(jié)論說(shuō)這兩個(gè)同學(xué)的學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)方法等是差不多的。

3 改進(jìn)算法

綜上，廣義灰色關(guān)聯(lián)度的不足之處在于對(duì)序列間存在的面積理解和計(jì)算方法有誤，因此，改進(jìn)算法就從面積入手進(jìn)行。

陳友軍在文獻(xiàn)[6]中提出了灰色面積關(guān)聯(lián)度，后來(lái)又有很多學(xué)者提出了以圖形的面積差異來(lái)計(jì)算關(guān)聯(lián)度的方法[7-9]，然而這些文獻(xiàn)中的計(jì)算多是針對(duì)特殊例子而言的，且計(jì)算過(guò)程大多過(guò)于麻煩（使用很多的絕對(duì)值計(jì)算方式），因此本文以陳友軍提出的灰色面積關(guān)聯(lián)度來(lái)對(duì)劉思峰教授提出的灰色廣義關(guān)聯(lián)度等進(jìn)行改進(jìn)。

3.1 灰序列圖形間的面積

設(shè)系統(tǒng)行為序列Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))，Xj=(xj(1),xj(2),…,xj(n))，且都為1-時(shí)距序列，則這兩個(gè)序列的折線圖分布的可能情況如圖1所示。對(duì)于兩序列的折線圖所圍面積的情況，總的來(lái)說(shuō)有三種，但是第一種情況可看作是第三種情況的特例，即當(dāng)?shù)谌N情況的某一對(duì)端點(diǎn)重合時(shí)的情況，最特殊的是兩對(duì)端點(diǎn)都重合時(shí)的情況，這也是第三種的特例；而第二種面積，即是兩曲線段有交叉的情況。

（1）對(duì)面積①和③，此時(shí)有xi(k)≤xj(k)且xi(k-1)≤xj(k-1)或者xi(k)≥xj(k)且xi(k-1)≥xj(k-1)，它們的計(jì)算可由下式得到：

（2）對(duì)面積②，它由兩條線段交叉形成，而線段的端點(diǎn)已知，因此可以先計(jì)算出交點(diǎn)坐標(biāo)，再分別計(jì)算兩個(gè)三角形的面積，于是得到：

由此，可以得到兩任意灰序列Xi與Xj的拆線圖所圍成的面積Sij，其計(jì)算方式為：

其中，當(dāng)序列對(duì)應(yīng)項(xiàng)滿足xi(k)≤xj(k)且xi(k-1)≤xj(k-1)或者xi(k)≥xj(k)且xi(k-1)≥xj(k-1)時(shí)按式①計(jì)算，其他情況按式②計(jì)算。

3.2 灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度與灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度

實(shí)際上灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度與灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度的差異在于是否先對(duì)序列作初值化處理，故在此只給出計(jì)算灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度的算法。

步驟1計(jì)算序列的始點(diǎn)零化像和；

步驟2 計(jì)算|si|和|sj|；

步驟3計(jì)算sij；

若要計(jì)算灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度，只需在算法最前面加上一步計(jì)算原始序列的初值像即可。

3.3 灰色接近性關(guān)聯(lián)度和灰色相似性關(guān)聯(lián)度

根據(jù)劉思峰教授在文獻(xiàn)[1]中所給灰色接近性關(guān)聯(lián)度與灰色相似關(guān)聯(lián)度的計(jì)算公式，不難得出這兩種關(guān)聯(lián)度的計(jì)算新方法。

對(duì)于灰色相似性關(guān)聯(lián)度，計(jì)算方法和公式與灰色接近性關(guān)聯(lián)度類似，只不過(guò)應(yīng)當(dāng)先計(jì)算系統(tǒng)行為序列的始點(diǎn)零化像。后面的計(jì)算都是針對(duì)始點(diǎn)零化像來(lái)做的，在此不再贅述。

有了上面對(duì)各類灰色關(guān)聯(lián)度的新算法，在實(shí)際應(yīng)用中，依據(jù)序列的幾何形狀進(jìn)行聚類或進(jìn)行決策分析等時(shí)則選用灰色相似性關(guān)聯(lián)度；若要依據(jù)序列的空間位置關(guān)系進(jìn)行聚類、決策等時(shí)則可選用灰色接近性關(guān)聯(lián)度。

4 計(jì)算實(shí)例

例4.1序列數(shù)據(jù)如例2.1所示，計(jì)算它們的灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度、灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度、灰色接近性關(guān)聯(lián)度和灰色相似性關(guān)聯(lián)度。

解：系統(tǒng)原始行為序列為X1=(1,3,5,7)，X2=(1,5,3,7)，很明顯，它們的初值化像與原始序列相同，它們經(jīng)始點(diǎn)零化后的序列分別為=(0,2,4,6)和=(0,4,2,6)。

因此這兩個(gè)序列間的各種關(guān)聯(lián)度分別為：

灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度：

灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度：由于兩序列的初值化像與原始序列相同，故它們的灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度等于灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度。

灰色接近性關(guān)聯(lián)度：

灰色相似性關(guān)聯(lián)度：

從這些結(jié)果來(lái)看，它們與例2.1的計(jì)算結(jié)果是完全不相同的。從灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度大小來(lái)看，說(shuō)明兩序列間存在一定的關(guān)聯(lián)性；而從灰色接近性關(guān)聯(lián)度和灰色相似性關(guān)聯(lián)度來(lái)看，則說(shuō)明兩序列既不接近也不相似。因此，在實(shí)際做聚類分析、決策分析時(shí)應(yīng)當(dāng)根據(jù)實(shí)際要分析的目標(biāo)選取統(tǒng)一的關(guān)聯(lián)度來(lái)分析，不能有的選用灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度，有的選擇灰色接近性關(guān)聯(lián)等。

5 結(jié)束語(yǔ)

灰色系統(tǒng)關(guān)聯(lián)分析是近幾年來(lái)灰色系統(tǒng)理論研究中最活躍的分支之一，其關(guān)聯(lián)度的計(jì)算結(jié)果直接影響到系統(tǒng)聚類、決策分析、灰色預(yù)測(cè)模型的建立等各個(gè)方面。本文對(duì)劉思峰教授提出的經(jīng)典廣義灰色關(guān)聯(lián)度及新提出的灰色接近性關(guān)聯(lián)度和灰色相似性關(guān)聯(lián)度提出了部分改進(jìn)算法，通過(guò)實(shí)例分析發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)算法比原算法更貼近實(shí)際應(yīng)用目的。但是這些關(guān)聯(lián)度的計(jì)算仍然還有很多工作要做。

（1）對(duì)于采用本文提出的方法計(jì)算灰色接近性關(guān)聯(lián)度和灰色相似性關(guān)聯(lián)度，由于以序列拆線所圍面積直接參與計(jì)算，可能會(huì)出現(xiàn)得到的關(guān)聯(lián)度相對(duì)偏小的情況，因此，是否可以通過(guò)對(duì)Sij和sij進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算、取算術(shù)平均等方式讓計(jì)算結(jié)果更直觀，實(shí)際應(yīng)用中到底取哪種更合適。

（2）對(duì)于灰色接近性關(guān)聯(lián)度的研究，很多學(xué)者比較統(tǒng)一的觀點(diǎn)是接近性反映的是序列的接近程度，因此可以通過(guò)拆線所圍面積或者直接通過(guò)序列對(duì)應(yīng)點(diǎn)的差值（點(diǎn)距）來(lái)計(jì)算；然而對(duì)于相似性關(guān)聯(lián)度來(lái)說(shuō)，到底什么才算相似，有學(xué)者提出：對(duì)系統(tǒng)行為序列Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))和Xj=(xj(1),xj(2),…,xj(n))，若存在常數(shù)α(≠0)和β，使得xj(k)=αxi(k)+β，則認(rèn)為兩序列完全相似（以絕對(duì)值方式計(jì)算，相似性關(guān)聯(lián)度為1），那如果是這樣，序列X1=(1,3,5,7)與X2=(7,5,3,1)就完全相似，因?yàn)橛衳2(k)=-x1(k)+8成立，同理，X1也與序列X3=(2,4,6,8)完全相似，因?yàn)橛衳3(k)=x1(k)+1成立；但是從實(shí)際圖形來(lái)看，這些拆線卻并不滿足有學(xué)者提出相似性關(guān)聯(lián)度的性質(zhì)。事實(shí)上，X1和X2就好比上山和下山所做的功，上山和下山雖然道路相同，但是運(yùn)動(dòng)效果明顯不相似。那是否有必要對(duì)關(guān)聯(lián)度引入負(fù)相關(guān)的概念值得進(jìn)一步研究。

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