L-fuzzy拓撲濾子收斂空間

楊小飛， 馬生全

(1.西安工程大學 理學院， 陜西 西安 710048；2.海南師范大學 信息科學技術(shù)學院， 海南 ?？?571158)

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·數(shù)理科學·

L-fuzzy拓撲濾子收斂空間

楊小飛1， 馬生全2

(1.西安工程大學 理學院， 陜西 西安 710048；2.海南師范大學 信息科學技術(shù)學院， 海南 ?？?571158)

為給出一種新的濾子收斂結(jié)構(gòu)，利用邏輯和拓撲方法，得到了L-fuzzy拓撲濾子收斂結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)和L-fuzzy拓撲是范疇同構(gòu)的，可以利用它研究多值拓撲空間的性質(zhì)。

L-fuzzy拓撲濾子收斂空間;L-fuzzy拓撲空間; 范疇同構(gòu)

在拓撲學中,借助于鄰域算子可以得到與拓撲結(jié)構(gòu)同構(gòu)的拓撲濾子收斂結(jié)構(gòu)[1-2],用這種濾子收斂描述一些拓撲性質(zhì)是很直觀和方便的。在多值拓撲空間中,由于采用不同的邏輯系統(tǒng)和不同的模糊視角,多值濾子收斂結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了許多不同的版本[3-4]。與本文較為接近的是文獻[3],他們采用了L-fuzzy濾子,這種L-fuzzy濾子要么收斂于xλ要么不收斂。本文采用的是L-濾子,這種L-濾子收斂于點xλ是有程度的(具體見下文)。由此可見,在多值拓撲空間的研究中,由于人們對模糊事物認識的不同,可能會出現(xiàn)形式差別較大的濾子收斂結(jié)構(gòu),但幸運地,它們都和多值拓撲同構(gòu)。由此也說明,多值拓撲不是拓撲的簡單推廣,而是一種更豐富的結(jié)構(gòu)。本文中出現(xiàn)的L是帶有逆合對應的完全分配格,未解釋的其他概念參考文獻[5-6]。

1 預備知識

定義1[5]1)設L是完備格,a∈L(a≠0)。若對滿足a≤b∨c的任意b,c∈L都有a≤b或者a≤c,則稱a是L的余素元。L的余素元的全體記為Copr(L)。對偶地,可以定義L中的素元,L的素元的全體記為Pr(L)。

2)在完備格上定義關系?如下:對任意的a,b∈L,a?b當且僅當對L的任意子集S,當∨S≥b時必存在s∈S使得s≥a。記β(a)={b∈L|b?a}。對偶地可定義?,記α(a)={b∈L|b?a}。

定義2[7]1)設L是完備格,X是一個集合。則稱滿足下面條件的映射τ:LX→L為X上的一個L-fuzzy拓撲:

(LFT1)τ(0x)=τ(1X)=1。

(LFT2)τ(A1)∧τ(A2)≤τ(A1∧A2)(?A1,A2∈LX)。

稱偶對(X,τ)是L-fuzzy拓撲空間。

定義3[8]1)L-fuzzy鄰域算子是一族滿足下列條件的映射(這時稱序?qū)?X,N )是L-fuzzy鄰域空間)N={Nxλ:LX→L|xλ∈Copr(LX)}(A,B∈LX,xλ,yγ∈Copr(LX)):

(LN1)Nxλ(1X)=1,Nxλ(0X)=0。

(LN2)若xAA,則Nxλ(A)=0。

(LN3)Nxλ(A∧B)=Nxλ(A)∧Nxλ(B)。

若N還滿足

則稱N是L-fuzzy拓撲鄰域算子，且稱序?qū)?X,N )是L-fuzzy拓撲鄰域空間。

2)設(X,NX)和(Y,NY)是兩個L-fuzzy鄰域空間，則稱滿足下列條件的映射f:X→Y是一個連續(xù)映射(?A∈LY,?xλ∈Copr(LX)):

容易驗證L-fuzzy鄰域空間(特別地，L-fuzzy拓撲鄰域空間)及其連續(xù)映射構(gòu)成一個范疇，稱這個范疇為L-fuzzy鄰域空間范疇(特別地，L-fuzzy拓撲鄰域空間范疇)，記作LFN(特別地，LFTN)。

定義4[9](1)設L，M是完備格，則稱滿足下列條件的映射F:LX→M是X上的(L,M)-fuzzy濾子(L=M時稱F為L-fuzzy濾子，M=2時稱F為L-濾子)：

(LMFil1)F (1X)=1,F (0X)=0。

(LMFil2)若A≤B,則F (A)≤F (B)。

(LMFil3)F (A)∧F (B)=F (A∧B)。

L-濾子的全體記為F(X,L)。

定義5 1)設X是個集合，則稱滿足下列條件的映射Conv:F(X,L)→LJ(LX)為L-fuzzy主濾子收斂結(jié)構(gòu)(這時稱(X,Conv)為L-fuzzy主濾子收斂空間)：

(LConvF1)Conv[xλ](xλ)=1(?xλ∈J(LX)),這里[xλ]={A∈LX|xλ≤A}。

(LConvF2)若F ?G，則ConvF≤ConvG。

2)稱滿足下列條件的L-fuzzy主濾子收斂結(jié)構(gòu)Conv為L-fuzzy拓撲濾子收斂結(jié)構(gòu)(這時稱(X,Conv)為L-fuzzy拓撲濾子收斂空間)：

3)設(X,ConvX)和(Y,ConvY)是L-fuzzy主濾子收斂空間，則稱滿足下列條件的映射f:X→Y是一個連續(xù)映射(?F∈F(X,L),?xλ∈J(LX))：

L-fuzzy主濾子收斂空間(特別地，L-fuzzy拓撲濾子收斂空間)及連續(xù)映射構(gòu)成一個范疇，記為LPFConv(特別地,LTFConv)。

注1 1)稱(X,Conv)為L-fuzzy主濾子收斂空間的緣由之一是條件(LConvF3)可以推出

2)由(LConvF4)和(LConvF3)可知當xλ≤xμ時ConvF(xλ)≤ConvF(xμ)(這說明在這樣的L-fuzzy拓撲濾子收斂空間中有層次結(jié)構(gòu))。

2 主要結(jié)果

(LN2)若xλA,則A?[xλ]。因此

由(LConvF4)知(LN4)成立。

設(X,N )是L-fuzzy拓撲鄰域空間，xλ∈J(LX)。定義如下映射ConvN:F(X,L)→LJ(LX)

則下面命題成立。

命題2 ConvN是L-fuzzy拓撲濾子收斂結(jié)構(gòu)。

證 明 (LConvF1)對任意的A?[xλ]，有xλA,從而由(LN2)知Nxλ(A)=0。因此ConvN[xλ] (xλ)=1。

任取α∈α(Nxλ(A))∩Pr(L),令

Fα={C∈LX|Nxλ(C)α}。

下面證明Fα是L-濾子。(LFil1)因為Nxλ(1X)=1α和Nxλ(0X)=0≤α,所以1X∈Fα和0X?Fα。(LFil2)設B∈Fα且B≤C，則Nxλ(B)≤Nxλ(C)。又因為Nxλ(B)α,所以Nxλ(C)α，這說明C∈Fα。(LFil3)設B,C∈Fα,則Nxλ(B∧C)=Nxλ(B)∧Nxλ(C)α,從而B∧C∈Fα。否則，由α是素元可知Nxλ(B)≤α或者Nxλ(C)≤α,這與條件B，C∈Fα矛盾。顯然有A?Fα,從而Fα∈I。對任意的都有f(Fα)?Fα，從而可得Nxλ(f(Fα))≤α。因此由L是完全分配格和α的任意性知由f的任意性知

命題3 設(X,N )是L-fuzzy拓撲鄰域空間，則NConvN=N。

證 明 由命題2中的(LConvF3)的證明可得。

命題4 設(X,Conv)是L-fuzzy拓撲濾子收斂空間，則ConvNConv=Conv。

證 明 對任意的F∈F(X,L)及xλ∈J(LX)，由命題2及定義5中的條件(LConvF3)知

反之，令I={A∈LX|A?F},JA={G∈F (X,L)|A?G }。因為L是完全分配格，所以

命題5 若f:(X,NX)→(Y,NY)是連續(xù)的，則f:(X,ConvNX)→(Y,ConvNY)也是連續(xù)的。

命題6 若f:(X,ConvX)→(Y,ConvNY)是連續(xù)的，則f:(X,NConvX)→(Y,NConvY)也是連續(xù)的。

這說明f:(X,NConvX)→(Y,NConvY)是連續(xù)的。

由命題1～6知LTFConv與LFTN范疇同構(gòu),另外,在文獻[8]中證明了LFTN與LFTop范疇同構(gòu)。所以下面定理成立。

定理1 LTFConv與LFTop范疇同構(gòu)。

從上面證明過程也可以看到,這個同構(gòu)函子可以擴張到更大的范圍。

定理2 LPFConv與LFN范疇同構(gòu)。

[1] PREUSS G. Foundation of Topology[M]. London: Kluwer Academic Publishers, 2002.

[2] 楊小飛,李生剛.用預鄰域系算子、預開鄰域基算子和預基確定預拓撲[J].西北大學學報(自然科學版),2008, 38(3): 349-353.

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[4] YAO W. Moore-Smith convergence in (L,M)-fuzzy topology[J].Fuzzy Sets and Sestems, 2012, 190: 47-62.

[5] LIU Y M, LUO M K. Fuzzy Topology[M].Singapore: World Scientific Publishing, 1997.

[6] 王國俊. 拓撲分子格理論[M].西安:陜西師范大學出版社, 1990.

[7] KUBIAK T. On fuzzy topologies[D].Poland: Adam Mickiewicz University, 1985.

[8] SHI F G.L-fuzzy interiors andL-fuzzy closures[J].Fuzzy Sets and Systems, 2009, 160: 1218-1232.

(編 輯亢小玉)

L-fuzzy topological filter convergence spaces

YANG Xiao-fei1, MA Sheng-quan2

(1.College of Science, Xi′an Polytechnic University, Xi′an 710048, China; 2.College of Information Science and Technology, Hainan Normal University, Haikou 571158， China)

To give a new fuzzy filter convergence structure.Using methods of logical and topological theory.It is proved thatL-fuzzy topological filter convergence spaces are categorically isomorphic toL-fuzzy topological spaces.In this case, some properties in many-valued topological space can be studied by convergence ofL-filters.

L-fuzzy topological filter convergence spaces;L-fuzzy topological spaces; categorical isomorphism

2014-01-18

國家自然科學基金資助項目(11271297)；陜西省教育廳基金資助項目(2013JK0568；2013JK0591)；西安工程大學博士科研啟動費基金資助項目(BS1319)

楊小飛,男,河南洛陽人,博士,從事格上拓撲學研究。

O157.5

：ADOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2015-03-004