基于灰色馬爾科夫的徑流序列趨勢預(yù)測

張 銳，馬 靜

（1.吉林省水文水資源局白城分局，吉林 白城137000；2.吉林省水文水資源局延邊分局，吉林 延吉133001）

近些年來，由人類活動(dòng)帶來下墊面改變及大氣循環(huán)異常使水文要素發(fā)生改變，水文要素變異使水文序列的關(guān)系也發(fā)生了變異[1]，正確分析復(fù)雜變化環(huán)境下流域各種水文序列變化規(guī)律，具有非常重大的現(xiàn)實(shí)意義。渭河流域的水文氣象要素變化趨勢及其影響因子一直受到諸多學(xué)者的關(guān)注[2]。研究發(fā)現(xiàn)，近50年來在氣候變化與人類活動(dòng)的雙重作用下，該流域的各水文序列都在不同程度上發(fā)生了變異[3]。本文將選取張家山、咸陽、狀頭、華縣4 個(gè)水文站，應(yīng)用灰色馬爾科夫模型對渭河流域徑流序列的趨勢進(jìn)行預(yù)測。

1 模型原理

1.1 GM（1，1）模型

GM 模型[4]是基于灰色系統(tǒng)理論的微分方程，x（0）（k）+az（1）（k）=b 是GM(1，1)模型，表示一階1個(gè)變量的微分方程，式中a，b 為模型參數(shù)。

1.2 馬爾科夫模型

馬爾科夫模型[4]在現(xiàn)代預(yù)測方法中占有重要的地位，是利用事物不同狀態(tài)的初始概率和狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移概率來預(yù)測事物未來狀態(tài)的一種數(shù)學(xué)方法，具有比較高的準(zhǔn)確性、科學(xué)性、及適應(yīng)性。

馬爾科夫模型預(yù)測過程：首先以原始數(shù)據(jù)及灰色模型的預(yù)測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，建立狀態(tài)的劃分標(biāo)準(zhǔn)；其次確定轉(zhuǎn)移概率矩陣P，即為P（n）=P（n-1）·P，m 步轉(zhuǎn)移概率Pij（m）（i，j=1，2，…，n）指系統(tǒng)從狀態(tài)i 經(jīng)m 步轉(zhuǎn)移到j(luò) 的概率；最后根據(jù)某年所處狀態(tài)預(yù)測下一年有可能出現(xiàn)狀態(tài)，再對各個(gè)狀態(tài)所處區(qū)間范圍進(jìn)行加權(quán)平均，并最終求出灰色馬爾科夫預(yù)測值。

綜上所述，將灰色理論與馬爾柯夫鏈結(jié)合起來，形成灰色-馬爾柯夫鏈預(yù)測模型，不僅能揭示時(shí)間序列的發(fā)展變化趨勢，并且能預(yù)測狀態(tài)的規(guī)律，使預(yù)測具有更強(qiáng)的科學(xué)性及實(shí)用性[5]。

2 灰色馬爾科夫模型徑流序列趨勢預(yù)測

以渭河流域各水文站最后一個(gè)變異點(diǎn)年份至今的年徑流序列為主要研究對象，因其具有一定的隨機(jī)性，符合灰馬爾科夫的研究范圍。將各站數(shù)據(jù)按上述步驟計(jì)算可得該模型參數(shù)，計(jì)算得到各水文站的結(jié)果。

2.1 咸陽站徑流序列趨勢預(yù)測

以咸陽站1986—2010年的年徑流序列為初始數(shù)據(jù)，計(jì)算出a，b，并將其代入可得GM(1，1)灰微分方程的時(shí)間響應(yīng)序列為：

同樣采用后驗(yàn)差檢驗(yàn)法對該模型進(jìn)行檢驗(yàn)，經(jīng)過分析計(jì)算：P=1，C=0.508。由等級表可知，該灰色模型精度較好。

根據(jù)殘差的變化范圍在-21.25～27.34 之間，將殘差劃分為5 種狀態(tài)，其對應(yīng)區(qū)間分別為（-22，-12），（-12，-2），（-2，8），（8，18），（18，28）。

故一步轉(zhuǎn)移矩陣為：

同樣以2010年的徑流數(shù)據(jù)預(yù)測為例，由于2010年的徑流數(shù)據(jù)處于狀態(tài)1，則2011年的徑流數(shù)據(jù)處于狀態(tài)1，2 和5 的概率分別為0.778，0.111和0.111，則可求出2011年的馬爾科夫預(yù)測值=灰色預(yù)測值+［0.778×（-22-12）+0.11×（-12-2）+0.111×（18+28）］=-5。以此類推求出其他年份的馬爾科夫預(yù)測值。通過計(jì)算可得未來45年徑流的條件概率分布如圖1所示。

圖1 咸陽站未來年徑流序列概率分布

由于灰色馬爾科夫預(yù)測模型函數(shù)為減函數(shù)，故預(yù)測咸陽站未來徑流量有減少的趨勢；又由于該站未來45年徑流量偏向前幾種狀態(tài)，預(yù)測徑流量較變異后的實(shí)測徑流量偏少。

2.2 華縣站徑流序列趨勢預(yù)測

以華縣站1990—2010年的年徑流序列為初始數(shù)據(jù)，計(jì)算出a，b 并將其代入可得GM(1，1)灰微分方程的時(shí)間響應(yīng)序列為：

同樣采用后驗(yàn)差檢驗(yàn)法對該模型進(jìn)行檢驗(yàn)，經(jīng)過分析計(jì)算：P=1，C=0.415。由等級表可知，該灰色模型精度較好。

根據(jù)殘差的變化范圍在-25.13～48.84 之間，將殘差劃分為5 種狀態(tài)，其對應(yīng)區(qū)間分別為（-26，-11），（-11，4），（4，19），（19，34），（34，49）。

故一步轉(zhuǎn)移矩陣為：

以2010年的徑流數(shù)據(jù)預(yù)測為例，由于2010年的徑流數(shù)據(jù)處于狀態(tài)3，則2011年的徑流數(shù)據(jù)處于狀態(tài)4 的概率為1，則可求出2011年的馬爾科夫預(yù)測值=灰色預(yù)測值+1×(19+34）=101.26。以此類推求出其他年份的馬爾科夫預(yù)測值。通過計(jì)算可得未來45年徑流的條件概率分布如圖2所示。

圖2 華縣站未來年徑流序列概率分布

由于灰色馬爾科夫預(yù)測模型函數(shù)為增函數(shù)，故預(yù)測華縣站未來徑流量有增加的趨勢；又由于該站未來45年徑流量偏向前幾種狀態(tài)，預(yù)測徑流量較變異后的實(shí)測徑流量偏少。

2.3 張家山站徑流序列趨勢預(yù)測

以張家山站1997—2010年的年徑流序列為初始數(shù)據(jù)，計(jì)算出a，b 并將其代入可得GM（1，1）灰微分方程的時(shí)間響應(yīng)序列為：

同樣采用后驗(yàn)差檢驗(yàn)法對該模型進(jìn)行檢驗(yàn)，經(jīng)過分析計(jì)算：P=1，C=0.55。由等級表可知，該灰色模型精度較好。

根據(jù)殘差的變化范圍在-5.71～11.89 之間，將殘差劃分為5 種狀態(tài)，其對應(yīng)區(qū)間分別為（-6，-2），（-2，2），（2，6），（6，10），（10，14）。

故一步轉(zhuǎn)移矩陣為：

同樣以2010年的徑流數(shù)據(jù)預(yù)測為例，由于2010年的徑流數(shù)據(jù)處于狀態(tài)3，則2011年的徑流數(shù)據(jù)處于狀態(tài)1 的概率為1，則可求出2011年的馬爾科夫預(yù)測值=灰色預(yù)測值+1×（-6-2）=2.53。以此類推求出其他年份的馬爾科夫預(yù)測值。通過計(jì)算可得未來45年徑流的條件概率分布如圖3所示。

圖3 張家山站未來年徑流序列概率分布

由于灰色馬爾科夫預(yù)測模型函數(shù)為增函數(shù)，故預(yù)測張家山站未來徑流量有增加的趨勢；又由于該站未來45年徑流量偏向前幾種狀態(tài)，預(yù)測徑流量較變異后的實(shí)測徑流量偏少。

2.4 狀頭站徑流序列趨勢預(yù)測

以狀頭站2002—2010年的年徑流序列為初始數(shù)據(jù)，計(jì)算出a，b 并將其代入可得GM(1，1)灰微分方程的時(shí)間響應(yīng)序列為：

同樣采用后驗(yàn)差檢驗(yàn)法對該模型進(jìn)行檢驗(yàn)，經(jīng)過分析計(jì)算：P=1，C=0.518。由等級表可知，該灰色模型精度較好。

根據(jù)殘差的變化范圍在-1.96～3.12 之間，將殘差劃分為5 種狀態(tài)，其對應(yīng)區(qū)間分別為（-2，-0.9），（-0.9，0.2），（0.2，1.3），（1.3，2.4），（2.4，3.5）。

故一步轉(zhuǎn)移矩陣為：

同樣以2010年的徑流數(shù)據(jù)預(yù)測為例，由于2010年的徑流數(shù)據(jù)處于狀態(tài)5，則2011年的徑流數(shù)據(jù)處于狀態(tài)1 的概率為1，則可求出2011年的馬爾科夫預(yù)測值=灰色預(yù)測值+1×(2.4+3.5）=0.2。以此類推求出其他年份的馬爾科夫預(yù)測值。通過計(jì)算可得未來45年徑流的條件概率分布如圖4所示。

圖4 狀頭站未來年徑流序列概率分布

由于灰色馬爾科夫預(yù)測模型函數(shù)為減函數(shù)，故預(yù)測狀頭站未來徑流量有減少的趨勢；又由于該站未來45年徑流量偏向前幾種狀態(tài)，預(yù)測徑流量較變異后的實(shí)測徑流量偏少。

3 結(jié) 語

將灰色理論與馬爾科夫模型相結(jié)合對渭河流域各典型水文站年徑流序列變化趨勢進(jìn)行預(yù)測。預(yù)測林家村站及咸陽站未來年徑流序列有減少趨勢，且年徑流序列較變異后的實(shí)測年徑流序列偏少；預(yù)測華縣站及張家山站未來年徑流序列有增多趨勢，但年徑流序列較變異后的實(shí)測年徑流序列偏少；預(yù)測狀頭站未來年徑流序列有減少趨勢，且年徑流序列較變異后的實(shí)測年徑流序列偏少。

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