雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型下的復(fù)合期權(quán)定價(jià)

何博雅　劉麗霞

【摘要】復(fù)合期權(quán)是以標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)作為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)，其在企業(yè)融資中有著廣泛的應(yīng)用.本文首先介紹了雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型，然后在此模型下應(yīng)用測(cè)度變換的方法推導(dǎo)出了復(fù)合期權(quán)的定價(jià)公式.

【關(guān)鍵詞】雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型；復(fù)合期權(quán)；測(cè)度變換

一、引言

金融衍生品的定價(jià)是現(xiàn)代金融學(xué)研究的核心問(wèn)題之一.金融衍生品是由某種更為基本的變量派生出來(lái)的金融產(chǎn)品.期權(quán)[1]是指持有者在將來(lái)某一特定時(shí)間以某一特定價(jià)格買(mǎi)入或賣(mài)出某種資產(chǎn)的權(quán)利.期權(quán)價(jià)格是期權(quán)多頭為了獲取未來(lái)的某種權(quán)利而支付給空頭的費(fèi)用.歐式看漲期權(quán)是指期權(quán)持有者在將來(lái)某一規(guī)定時(shí)間按照某一提前約定的價(jià)格買(mǎi)入某種特定資產(chǎn)的權(quán)利，其在到期日$T$的收益為max{S（T）-K，0}.而歐式看跌期權(quán)是指期權(quán)持有者在將來(lái)某一規(guī)定時(shí)間按照某一提前約定的價(jià)格賣(mài)出某種特定資產(chǎn)的權(quán)利，其在T時(shí)刻的收益為max{K-S（T），0}.其中S（T）為資產(chǎn)在到期日$T$的價(jià)格，K為期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格.復(fù)合期權(quán)[1]是以標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)作為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)，其有4種基本形式，分別是：看漲期權(quán)的看漲期權(quán)（call on call）；看跌期權(quán)的看漲期權(quán)（call on put）；看漲期權(quán)的看跌期權(quán)（put on call）；看跌期權(quán)的看跌期權(quán)（put on put）.很多學(xué)者研究了復(fù)合期權(quán)的定價(jià)，1979年，Geske[2]首次研究了復(fù)合期權(quán)并給出了復(fù)合期權(quán)的定價(jià)；李榮華、戴永紅，和常秦[3]研究了參數(shù)依賴于時(shí)間的復(fù)合期權(quán)定價(jià)；董翠玲、師恪[4]研究了股票服從跳-擴(kuò)散過(guò)程的復(fù)合期權(quán)定價(jià)模型等.C（t）表示到期日為T(mén)2，執(zhí)行價(jià)格為X2的歐式期權(quán)C（S（t），T2，X2，w2），則該期權(quán)在T1時(shí)刻的價(jià)格：

C（T1）=e-r（T2-T1）E[max（w2S（T2）-w2X2，0）]，（1.1）

其中w2=±1時(shí)C（t）分別為歐式看漲、看跌期權(quán).則以C（t）為標(biāo)的資產(chǎn)，到期日為T(mén)1（T1

V（C（t），T1，K，w1，w2）=e-r（T1-t）E[max（w1C（T1）-w1K，0）]，（1.2）

其中w1=±1，w2=±1時(shí)，式（1.1）可分別表示以上四種復(fù)合期權(quán).

1976年，Merton用正態(tài)跳擴(kuò)散模型來(lái)描述資產(chǎn)價(jià)格所發(fā)生的變動(dòng).它假設(shè)股票價(jià)格服從復(fù)合Possion跳擴(kuò)散過(guò)程，即：

dS（t）S（t-）=（μ-λk）dt+σdW（t）+d∑Nti=1[Vi-1]，（1.3）

其中Vi，i=1，2，…，表示股票價(jià)格跳躍比例，是一列非負(fù)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，Yi=ln（Vi）～N（μy，σ2y），N=Nt，t≥0是強(qiáng)度為正常數(shù)λ的Possion過(guò)程，k=E（V-1），且W（t）是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，μ，σ為常數(shù).之后很多人研究了跳擴(kuò)散模型下復(fù)合期權(quán)定價(jià)，如李翠香、石凌[5]研究了基于隨機(jī)利率下跳-擴(kuò)散過(guò)程的復(fù)合期權(quán)定價(jià)，雖然Merton的模型已經(jīng)接近實(shí)際的金融市場(chǎng)，但該模型并沒(méi)有很好地反映出股票收益分布的不對(duì)稱性和尖峰厚尾性以及波動(dòng)率微笑.在此基礎(chǔ)上，2002年，Kou[6]提出了雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型，并給出了雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型下歐式期權(quán)定價(jià)公式.雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型指的是資產(chǎn)價(jià)格由一個(gè)連續(xù)變動(dòng)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)和一個(gè)不連續(xù)的、跳躍幅度對(duì)數(shù)服從雙指數(shù)分布的Possion跳過(guò)程組成的模型.和Merton跳擴(kuò)散模型相比，此模型資產(chǎn)的跳躍幅度是非對(duì)稱的，其運(yùn)動(dòng)是服從無(wú)記憶性的，能更好地反映實(shí)際市場(chǎng)的情形，并且能夠解釋期權(quán)收益的非對(duì)稱性和波動(dòng)率微笑.后來(lái)Kou[7，8]等人進(jìn)一步研究了雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型下障礙期權(quán)、回望期權(quán)、美式永久期權(quán)的定價(jià).

本文首先介紹了雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型，然后應(yīng)用測(cè)度變換的方法給出了雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型下復(fù)合期權(quán)的定價(jià)公式.

二、雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型

設(shè)（Ω，{it}，P）為帶有σ-域流{it}的概率測(cè)度空間，P為風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度.在測(cè)度P下，資產(chǎn)價(jià)格S（t）服從的過(guò)程為

dS（t）S（t-）=（μ-λξ）dt+σdW（t）+d∑N（t）i=1[Vi-1]，（2.1）

其中W（t）是測(cè)度P下的標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)，N（t）是服從參數(shù)為λ的Possion過(guò)程，ξ是指數(shù)隨機(jī)變量，其均值為η，方差為η2，{Vi}，i=1，2，…是一列獨(dú)立同分布序列，且與N（t），W（t）相互獨(dú)立，σ為常數(shù)，短期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)，非負(fù)隨機(jī)變量Yi=ln（Vi）服從非對(duì)稱雙指數(shù)分布，且Yi的密度函數(shù)為

f（y）=pη1e-η1yI{y≥0}+qη2eη2yI{y<0}，（2.2）

其中η1>1，η2>0，p+q=1，p，q≥0表示跳上或者跳下的概率，即P（Yi=ξ+）=p，P（Yi=ξ-）=q.解式（21）得

S（T）=S（t）er-λξ-12σ2 τ+σ（W（T）-W（t））+∑N（τ）i=1Yi，（2.3）

其中τ=T-t，N（τ）=N（T）-N（t）.

定義2.1[6]令

Z（T）-Z（t）=μτ+σ（W（T）-W（t））+∑N（τ）i=1Yi，（2.4）

Yi服從非對(duì)稱的雙指數(shù)分布，Yi的密度函數(shù)為式（22）N（t）為服從參數(shù)為λ的Possion過(guò)程.定義：

Y（μ，σ，λ，p，η1，η2，w1，τ；A）：=P（w1（Z（T）-Z（t））≥A）.（2.5）

引理2.1[5]設(shè)Λ（t）是正的Q-鞅過(guò)程，且EQ[Λ（T）]=1.定義概率測(cè)度P：P（A）=∫AΛ（T）dQ（記為dPdQ=Λ（T））.則對(duì)任意隨機(jī)變量X都有

Ep[X|it]=EQΛ（T）Λ（t）X|it.（2.6）

其中EQ[·]，EQ[·|it]分別表示概率測(cè)度Q下的期望和條件期望.

引理2.2[5]設(shè)在測(cè)度Q下，B（t）為Brown運(yùn)動(dòng)，N（t）是服從參數(shù)為Possion的過(guò)程，Yn的密度函數(shù)為m（y），如果：H（t）為平方可積的可料過(guò)程； ψ≥0；m（y）≥0，∫+∞0m（y）h（y）dy=1.則

Λ（T）=e-12∫T 0H（s）2ds-∫T 0H（s）dB（s）eλT（1-ψ）∏N（T）i=1ψh（ui），（2.7）

是Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)過(guò)程.定義測(cè)度P：

dPdQ=Λ（T），（2.8）

則有

（1）B～（t）=B～（t）+∫t0H（s）ds為測(cè)度P下的Brown運(yùn)動(dòng)；

（2）N（t）為在測(cè)度P下服從參數(shù)為λ～=ψλ的Possion過(guò)程；Yn在測(cè)度P下的密度函數(shù)為h（y）m（y）.

定義2.2若T2，T1時(shí)刻的資產(chǎn)價(jià)格分別為

S（T2）=S（t）er-λξ-12σ2 τ2+σ（W（T2）-W（t））+∑N（τ2）i=1Yi，

S（T1）=S（t）er-λξ-12σ2 τ1+σ（W（T1）-W（t））+∑N（τ1）i=1Yi，

其中Yi服從非對(duì)稱的雙指數(shù)分布，Yi的密度函數(shù)為式（2.2），N（t）為服從參數(shù)為λ的Possion過(guò)程，τ1=T1-t，τ2=T2-t，N（τ1）=N（T1）-N（t），N（τ2）=N（T2）-N（t），μ=r-λξ-12σ2，ρ（σ（W（T2）-W（t））+∑N（τ2）i=1Yi，σ（W（T1）-W（t））+∑N（τ1）i=1Yi）記為ρ，

定義函數(shù)Γ（μ，σ，ρ，λ，p，η1，η2，t，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2，）：

Γ（μ，σ，ρ，λ，p，η1，η2，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）：

=Pw2lnS（T2）S（t）≥A2，w1lnS（T1）S（t）≥A1.（2.9）

三、雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型下復(fù)合期權(quán)定價(jià)

定理3.1C（t）表示到期日為T(mén)2，執(zhí)行價(jià)格為X2的歐式期權(quán)C（S（t），T2，X2，w2），則該期權(quán)在T1時(shí)的價(jià)格：C（T1）=e-r（T2-T1）E[max（w2S（T2）-w2X2，0）]，其中w2=±1時(shí)C（t）分別為歐式看漲、看跌期權(quán).則以C（t）為標(biāo)的資產(chǎn)，到期日為T(mén)1（T1

V（C（t），T1，K，w1，w2）

=w1w2S（t）Γ（μ～，σ，ρ，λ～，p～，η1～，η2～，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）+w1w2X2e-rτ2Γ（μ，σ，ρ，λ，p，η1，η2，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）+w1Ke-rτ1Y（μ，σ，λ，p，η1，η2，τ1，w1；A1）.（3.1）

其中，τ1=T1-t，τ2=T2-t，w1，w2=±1，μ=r-λξ-12σ2，μ～=r-λξ+12σ2，λ～=（1+ξ）λ，w2lnX2S（t）=A2，w1lnX1S（t）=A1.

證明令τ1=T1-t，τ2=T2-t，μ=r-λξ-12σ2，w2lnX2S（t）=A2，w1lnX1S（t）=A1，

復(fù)合期權(quán)V（C（t），T1，K，w1，w2）在t時(shí)刻的價(jià)格：

V（C（t），T1，K，w1，w2）=e-rτ1E[max（w1C（S（T1），T2，X2，w2）-w1K，0）]，（3.2）

其中w1，w2=±1.

因?yàn)榭礉q期權(quán)連續(xù)單調(diào)遞增，看跌期權(quán)連續(xù)單調(diào)遞減，故存在唯一的X1[3]，使得C（X1，T1，X2，w2）=K.所以有w1C（X1，T1，X2，w2）≥w1Kw1S（T1）≥w1X1.

因此，在T1時(shí)刻，標(biāo)的期權(quán)C（S（T1），T2，X2，w2）的價(jià)格為

C（S（T1），T2，X2，w2）

=e-r（T2-T1）E[max（w2S（T2）-w2X2，0）|iT1]

=e-r（T2-T1）E[w2（S（T2）-X2）I{w2S（T2）≥w2X2}|iT1]

=w2e-r（T2-T1）E[（S（T2）-X2）I{w2S（T2）≥w2X2}|iT1]

=w2e-r（T2-T1）E[S（T2）I{w2S（T2）≥w2X2}|iT1]

-w2X2e-r（T2-T1）E[I{w2S（T2）≥w2X2}|iT1].（3.3）

所以，在時(shí)刻t復(fù)合期權(quán)V（C（t），T1，K，w1，w2）的價(jià)格為

V（C（t），T1，K，w1，w2）

=e-rτ1E[max{w1C（S（T1），T2，X2，w2）-w1K，0}|it]

=w1e-rτ1E[（C（S（T1），T2，X2，w2）-K）I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

=w1e-rτ1E[C（S（T1），T2，X2，w2）I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

-w1Ke-rτ1E[I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

=w1e-rτ1E{w2e-r（T2-T1）（E[S（T2）I{w2S（T2）≥w2X2}|iT1]

-X2E[I{w2S（T2）≥w2X2}|FT1]）I{w1S（T1）≥w1X1}|it}

-w1Ke-rτ1E[I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

=w1w2e-rτ2E[S（T2）I{w2S（T2）≥w2X2}I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

-w1w2X2e-rτ2E[I{w2S（T2）≥w2X2}I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

-w1Ke-rτ1E[I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

=A-B-C.（3.4）

由定義2.1可得，

C=w1Ke-rτ1E[Iw1lnS（T1）S（t） ≥A1|it]

=w1Ke-rτ1P（w1（μτ1+σ（W（T1）-W（t））+∑N（τ1）i=0Y（i））≥A1）

=w1Ke-rτ1Υ（μ，σ，ρ，η1，η2，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）.（3.5）

由定義2.2可得，

B=w1w2X2e-rτ2E[I{w2S（T2）≥w2X2}I{w1S（T1）≥w1X1}]

=w1w2X2e-rτ2EIw2lnS（T2）S（t） ≥w2lnX2S（t） Iw1lnS（T1）S（t） ≥w2lnX1S（t）

=w1w2X2e-rτ2Pw2μτ2+σ（W（T2）-W（t））+∑N（τ2）i=1Yi

≥A2，w1μτ1+σ（W（T1）-W（t））+∑N（τ1）i=1Yi≥A1

=w1w2X2e-rτ2Γ（μ，σ，ρ，λ，ρ，η1，η2，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）.（3.5）

其中ρ=τ1τ2.

已知在T時(shí)刻資產(chǎn)價(jià)格S（T）在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度P下服從

lnS（T）S（t）=r-λξ-12σ2τ+σ（W（T）-W（t））+∑N（τ）i=1Yi，（3.6）

定義Λ（T）=e-12∫T 0σ2ds+∫T 0σdB（s）e-λξT∏N（T）i=1eYi，（3.7）

則Λ（T）是導(dǎo)Radon-Nikdon數(shù)，且Λ（T）滿足引理21、引理2.2的條件.

Λ（T2）Λ（t）=e-12σ2τ2+σ（W（T2）-W（t））e-λξτ2∏N（τ2）i=1eYi，（3.8）

定義新測(cè)度Q：dQdP=Λ（T2）Λ（t）.（3.9）

由引理2.1、引理2.2得，W～（t）=W（t）-σt為測(cè)度Q下的Brown運(yùn)動(dòng)，在測(cè)度Q下，跳擴(kuò)散過(guò)程中的λ～=λ（1+ξ），h（y）=ey1+ξ，Yi的密度函數(shù)為

fY～（y）=h（y）m（y）

=ey1+ξ fY（y）

=pη1（1+ξ）（η1-1）（η1-1）e-（η1-1）yI{y≥0}

+qη2（1+ξ）（η2+1）（η2+1）e（η2+1）yI{y<0}

=p～η1～e-η1～yI{y≥0}+q～η2～eη2～yI{y≥0}.（3.9）

其中p～=pη1（1+ξ）（η1-1），η1～=η1-1，

q～=qη2（1+ξ）（η2+1），η2～=η2+1.

令μ～=r-λξ+12σ2，由引理2.1得，

A=w1w2e-rτ2EP[S（T2）I{w2S（T2）≥w2X2}I{w1S（T1）≥w1X1}|it]

=w1w2S（t）EPΛ（T2）Λ（t）Iw2lnS（T2）S（t） ≥w2lnX2S（t）Iw1lnS（T1）S（t） ≥w2lnX1S（t）it

=w1w2S（t）EQIw2lnS（T2）S（t） ≥w2lnX2S（t）Iw1lnS（T1）S（t） ≥w2lnX1S（t）it

=w1w2S（t）e-rτ2Qw2（μ～τ2+σ（W～（T2）-W～（t））+∑N（τ2）i=1Yi

≥A2，w1μ～τ1+σ（W～（T1）-W～（t））+∑N（τ1）i=1Yi≥A1

=w1w2S（t）Γ（μ～，σ，ρ，λ～，p～，η1～，η2～，τ2，w1，w2；A1，A2）.

因此，

V（C（t），T1，K，w1，w2）

=w1w2S（t）Γ（μ～，σ，ρ，λ～，p～，η1～，η2～，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）+w1w2X2e-rτ2Γ（μ，σ，ρ，λ，p，η1，η2，τ1，τ2，w1，w2；A1，A2）+w1Ke-rτ1Υ（μ，σ，λ，p，η1，η2，τ1，w1；A1），

其中，τ1=T1-t，τ2=T2-t，μ=r-λξ-12σ2，μ～=r-λξ+12σ2，λ～=（1+ξ）λ，w1，w2=±1，w2lnX2S（t）=A2，w1lnX1S（t）=A1.

四、總結(jié)

本文在資產(chǎn)價(jià)格S（t）服從雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型下，利用帶跳的測(cè)度變換及鞅方法得到了復(fù)合期權(quán)的定價(jià).復(fù)合期權(quán)是以標(biāo)準(zhǔn)的期權(quán)作為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)，在市場(chǎng)上應(yīng)用廣泛，因此，求復(fù)合期權(quán)的定價(jià)公式很有現(xiàn)實(shí)意義.

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