灰色預(yù)測(cè)技術(shù)研究進(jìn)展綜述

黨耀國(guó),　王俊杰,　康文芳

(南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院， 南京 210016)

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灰色預(yù)測(cè)技術(shù)研究進(jìn)展綜述

黨耀國(guó),王俊杰,康文芳

(南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院， 南京 210016)

摘要:灰色預(yù)測(cè)技術(shù)是灰色系統(tǒng)理論的重要分支之一。分析了GM(1，1)模型的性質(zhì)、GM(1，1) 模型的改進(jìn)與優(yōu)化、GM(1，1)模型參數(shù)估計(jì)、GM(1，1)模型初始條件優(yōu)化、GM(1,1)模型的擴(kuò)展與應(yīng)用及冪模型的研究進(jìn)展；最后對(duì)灰色預(yù)測(cè)模型的未來(lái)研究方向提出了建議。

關(guān)鍵詞:灰色系統(tǒng)； GM(1,1)模型； 灰色預(yù)測(cè)； 優(yōu)化

20世紀(jì)60年代，鄧聚龍教授首先提出“去余控制”理論；隨后其在1982年提出灰色控制理論。灰色系統(tǒng)理論是一種解決信息不完備系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法，以控制論的觀點(diǎn)構(gòu)建數(shù)學(xué)控制模型，用來(lái)分析樣本小、信息不完全的不確定系統(tǒng)問(wèn)題。目前，該理論已被國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注?；疑到y(tǒng)理論通過(guò)30多年的發(fā)展，理論體系不斷完善，分支結(jié)構(gòu)越發(fā)清晰，實(shí)際應(yīng)用面越來(lái)越寬泛，應(yīng)用領(lǐng)域觸及到了水文、能源、經(jīng)濟(jì)、管理、工程、交通等諸多方面。

灰色預(yù)測(cè)理論作為灰色系統(tǒng)理論的重要內(nèi)容之一，同時(shí)也是一個(gè)新的現(xiàn)代預(yù)測(cè)方法?；疑A(yù)測(cè)方法在解決數(shù)據(jù)獲取性較差的問(wèn)題時(shí)，以少量可獲取的信息為基礎(chǔ)，利用灰色算子提高序列的光滑度、準(zhǔn)指數(shù)性，生成新序列，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)，提高了預(yù)測(cè)的精度，有效解決了經(jīng)濟(jì)社會(huì)系統(tǒng)中數(shù)據(jù)缺失、不真實(shí)等影響研究工作的瓶頸問(wèn)題，彌補(bǔ)了大樣本建模要求的不足。

隨著灰色預(yù)測(cè)方法的不斷拓展，它越來(lái)越受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛認(rèn)可。近期，在常用的中英文數(shù)據(jù)庫(kù)中以“grey forecasting”和“灰色預(yù)測(cè)”為關(guān)鍵詞進(jìn)行搜索，共有13433篇中英文文獻(xiàn)被檢索到，其涉足領(lǐng)域包括了教育、能源、經(jīng)濟(jì)、環(huán)境、交通等多個(gè)領(lǐng)域(見(jiàn)表1)。

表1　灰預(yù)測(cè)論文常用數(shù)據(jù)庫(kù)收錄情況Tab.1　Search results of gray prediction papers from common databases

注：檢索時(shí)間為2015年1月20日

對(duì)檢索到的灰色預(yù)測(cè)論文進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)有關(guān)灰色預(yù)測(cè)方法的應(yīng)用文獻(xiàn)占到了絕大多數(shù)，而對(duì)灰色預(yù)測(cè)理論方法研究的文獻(xiàn)相對(duì)較少。本文通過(guò)對(duì)灰色預(yù)測(cè)模型的研究，從GM(1,1)模型的性質(zhì)研究、灰色微分方程的改進(jìn)、參數(shù)估計(jì)方法的優(yōu)化、初始條件的選擇優(yōu)化和GM(1,1)模型的擴(kuò)展與應(yīng)用研究以及GM(1,1)的冪模型研究三方面綜述灰色預(yù)測(cè)模型的研究進(jìn)展。

1灰色預(yù)測(cè)模型的研究進(jìn)展綜述

1.1　GM(1,1)模型研究進(jìn)展

GM(1,1)模型既是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分，也是灰色預(yù)測(cè)理論的基礎(chǔ)模型和核心模型。對(duì)于灰色預(yù)測(cè)模型的理論研究也主要集中在 GM(1,1) 模型的優(yōu)化與拓展方面。1985年，鄧聚龍教授[1]首先提出了GM(1,1)模型，并對(duì)其建模條件進(jìn)行研究，提出了光滑比和級(jí)比檢驗(yàn)等先驗(yàn)檢驗(yàn)方法，求解了GM(1,1)模型的參數(shù)包，并提出多種擴(kuò)展形式。此后，諸多國(guó)內(nèi)外學(xué)者加入到灰色預(yù)測(cè)模型的理論研究中，并從模型性質(zhì)、改進(jìn)和應(yīng)用等方面改進(jìn)了GM(1,1)模型。

(2) 若序列x(0)(k)單調(diào)遞增，則a<0；若序列x(0)(k)單調(diào)遞減，則a>0；

吉培榮等[3]以白指數(shù)序列為研究對(duì)象，通過(guò)分析GM(1,1)預(yù)測(cè)白指數(shù)序列的模擬誤差，給出了無(wú)偏GM(1,1)模型。無(wú)偏GM(1,1)預(yù)測(cè)白指數(shù)規(guī)律的序列不存在預(yù)測(cè)和模擬誤差。

王文平等[4]對(duì)帶有非線(xiàn)性項(xiàng)的GM(1,1)和無(wú)偏GM(1,1)模型的混合特征進(jìn)行研究；王正新等[5]在此基礎(chǔ)上，通過(guò)研究其混合特性，合理闡述了GM(1,1)和無(wú)偏GM(1,1)的禁區(qū)現(xiàn)象：

(1) 在GM(1,1)模型中，發(fā)展系數(shù)為-1.2

(2) 在GM(1,1)模型中，發(fā)展系數(shù)為-1

(3) 在GM(1,1)模型中，當(dāng)發(fā)展系數(shù)a<-1.124 時(shí)，原始GM(1,1)模型進(jìn)入混沌區(qū)；無(wú)偏模型中，當(dāng)發(fā)展系數(shù)a<-1.272538 時(shí)，無(wú)偏GM(1,1) 模型進(jìn)入混沌區(qū)。由此可見(jiàn)，無(wú)偏GM(1,1) 模型的混沌區(qū)域比原始GM(1,1)模型縮小了。

鄭照寧等[6]通過(guò)對(duì)GM(1,1)模型性質(zhì)的研究，指出灰色預(yù)測(cè)模型全都存在嚴(yán)重的病態(tài)性，而且模型的病態(tài)性問(wèn)題源自模型自身，并以此否定了灰預(yù)測(cè)模型的理論與應(yīng)用價(jià)值。黨耀國(guó)等[7]從矩陣的角度，利用矩陣條件對(duì)灰色預(yù)測(cè)模型的病態(tài)性問(wèn)題進(jìn)行研究，否定了灰色模型都存在病態(tài)性的結(jié)論，指出只有在常數(shù)序列中，并且除去首項(xiàng)、其余項(xiàng)都接近零的情況下，GM(1,1)模型才會(huì)出現(xiàn)此類(lèi)病態(tài)問(wèn)題。因此，GM(1,1)不存在嚴(yán)重的病態(tài)問(wèn)題。李希燦等[8]提出了GM(1,1,β)模型的拓展形式： 參數(shù)包形式和內(nèi)涵型，并對(duì)這兩類(lèi)拓展模型的性質(zhì)進(jìn)行研究，進(jìn)而提出優(yōu)化算法；研究結(jié)果表明，GM(1,1,β)灰微分方程模型參數(shù)a的客觀取值范圍是(-∞,+∞)，經(jīng)典模型則為(-2,+2);發(fā)展系數(shù)a的客觀取值范圍是由背景值系數(shù)β決定的，與原始數(shù)據(jù)無(wú)關(guān)?；椅⒎址匠棠Ｐ屯耆m合齊次指數(shù)數(shù)列。

1.1.2GM(1,1)灰色微分方程的優(yōu)化與改進(jìn)眾多學(xué)者對(duì)GM(1,1)模型的灰導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)研究。目前灰導(dǎo)數(shù)的改進(jìn)思路大致分為向后差商和向前差商后進(jìn)行加權(quán)平均。張彤等[9]利用梯形面積和中點(diǎn)公式的求解思路，對(duì)GM(1,1)的灰導(dǎo)數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)，改進(jìn)了灰導(dǎo)數(shù)的求解方法，提高了模型預(yù)測(cè)精度。王義鬧等[10]首先對(duì)原始序列進(jìn)行向后差商和向前差商，然后求解加權(quán)平均值，并以此作為GM(1,1)灰導(dǎo)數(shù)的白化公式，求解灰導(dǎo)數(shù)；得出該模型通過(guò)線(xiàn)性變化后，預(yù)測(cè)結(jié)果不變的性質(zhì)，同時(shí)模擬和預(yù)測(cè)精度也得到提高。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[11]中提出逐步求解灰導(dǎo)數(shù)，動(dòng)態(tài)優(yōu)化GM(1,1)模型的灰導(dǎo)數(shù)，不僅提高了灰預(yù)測(cè)模型的精度，更解決了發(fā)展系數(shù)a絕對(duì)值過(guò)大時(shí)無(wú)法進(jìn)行預(yù)測(cè)的問(wèn)題。穆勇[12]對(duì)GM(1,1)灰導(dǎo)數(shù)的白化值求解方法進(jìn)行改進(jìn)，使得GM(1,1)模型具有無(wú)偏性，并且給出了無(wú)偏GM(1,1)模型有白指數(shù)重合性的證明。李玻等[13]通過(guò)研究文獻(xiàn)[10]中灰導(dǎo)數(shù)的白化方法，給出了其白化方法的合理性，進(jìn)而改進(jìn)了加權(quán)系數(shù)的確定方法，給出了表達(dá)式，提高了預(yù)測(cè)模型的精度。張凌霜等[14]對(duì)非等間距的時(shí)間序列進(jìn)行研究，并改進(jìn)了非等間距序列的背景值求解方法，利用逐步遞推的思想對(duì)背景值求解中的加權(quán)系數(shù)進(jìn)一步優(yōu)化。

GM(1,1)的背景值z(mì)(1)(k)是通過(guò)一次累加后均值生成的，背景值的生成過(guò)程是否準(zhǔn)確將直接影響模型的預(yù)測(cè)精度，因?yàn)楸尘爸祵?duì)GM(1,1)模型的參數(shù)包求解造成直接影響，發(fā)展系數(shù)a和灰作用量b都依賴(lài)于背景值，而GM(1,1)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)的準(zhǔn)確度取決于a和b。背景值構(gòu)造的偏差與數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)相關(guān)度較大，時(shí)間序列數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)平緩時(shí)，背景值精確度較高，反之偏差較大。因此，許多學(xué)者都對(duì)背景值的優(yōu)化進(jìn)行了探討。其中，譚冠軍[15]第一個(gè)提出GM(1,1)模型的背景值優(yōu)化，并從z(1)(k)的幾何意義入手定義了一個(gè)全新的背景值求解公式：

(m-1)x(1)(k+1)]

m=2,3,…,n

其他一些學(xué)者將背景值推廣為

z(1)(k)=αx(1)(k-1)+(1-α)x(1)(k)

其中，α∈(0,1)為待求參數(shù)。從以上公式可以看出確定公式中的參數(shù)α是求解背景值的關(guān)鍵。向躍霖[16]采用黃金分割法對(duì)α值進(jìn)行搜索，并以模擬誤差的平方和最小為搜索目標(biāo)，進(jìn)而求解參數(shù)α。謝開(kāi)貴等[17]提出利用遺傳算法來(lái)確定參數(shù)α，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)不一定可微，而且α與模擬誤差之間是非線(xiàn)性關(guān)系。王義鬧等[18]通過(guò)探討發(fā)展系數(shù)a與背景值公式中的參數(shù)α之間的聯(lián)系，得出結(jié)論如下：

(3)α(a)是嚴(yán)格的單調(diào)遞減函數(shù)。

羅黨等[19]從另一個(gè)角度改進(jìn)了背景值的公式，利用齊次指數(shù)函數(shù)對(duì)一次累加生成序列進(jìn)行擬合，進(jìn)而構(gòu)造了新的背景值公式，提高了預(yù)測(cè)精度。Lin等[20]結(jié)合殘差傅里葉變換思路，根據(jù)灰預(yù)測(cè)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)，構(gòu)造了一種新型的背景值公式，改進(jìn)了GM(1,1)模型。王正新等[21]認(rèn)為經(jīng)過(guò)一次累加后，離散的齊次指數(shù)函數(shù)將變?yōu)殡x散的非齊次指數(shù)函數(shù)；反之離散的非齊次指數(shù)函數(shù)經(jīng)過(guò)一次累減后將變?yōu)殡x散的非齊次指數(shù)函數(shù)，并給出了證明，在此基礎(chǔ)上改進(jìn)了背景值。

1.1.3GM(1,1)模型參數(shù)估計(jì)方法穆勇[22]認(rèn)為，由于線(xiàn)性規(guī)劃中折扣系數(shù)是依靠經(jīng)驗(yàn)得來(lái)，從而導(dǎo)致了參數(shù)確定偏差，故提出采用折扣最小二乘法對(duì)GM(1,1)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并求解出了折扣最小二乘法的小生境遺傳算法，削弱了參數(shù)的偏差問(wèn)題。肖新平等[23]采用模擬誤差平方和最小化的準(zhǔn)則，對(duì)GM(1,1)模型的參數(shù)估算方法進(jìn)行優(yōu)化，通過(guò)探討原始序列的平移變換對(duì)參數(shù)確定的作用給出了參數(shù)優(yōu)化方法。何文章等[24]從3種不同的差商方式出發(fā)上，提出了GM(1,1)參數(shù)的線(xiàn)性規(guī)劃優(yōu)化方法。Wang等[25]為了提高預(yù)測(cè)精度，利用遺傳算法對(duì)GM(1,1)的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，效果良好。張岐山[26]將微粒群算法引入GM(1,1)模型參數(shù)估計(jì)中，對(duì)背景值求解公式中的參數(shù)α和邊值進(jìn)行優(yōu)化，提高了灰色預(yù)測(cè)的精度。Hsu等[27]的研究對(duì)象為電力需求，屬于長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，其將小樣本參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)方法引入到GM(1,1)的參數(shù)估計(jì)中，拓寬了灰預(yù)測(cè)方法的適應(yīng)范圍，使其能應(yīng)用于中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。Shih等[28]引入遺忘因子的概念和遞推的思想，對(duì)具有時(shí)變參數(shù)的 GM(1,1) 模型運(yùn)用遞推最小二乘法進(jìn)行估計(jì)，提高了預(yù)測(cè)精度。王義鬧等[29]針對(duì)灰預(yù)測(cè)模型檢驗(yàn)與模型優(yōu)化脫節(jié)的問(wèn)題，基于平均相對(duì)誤差最小化的原則，提出了一類(lèi)估計(jì)指數(shù)型參數(shù)估計(jì)方法，從理論上最小化了預(yù)測(cè)模型的平均相對(duì)誤差絕對(duì)值。

1.1.4GM(1,1)模型初始條件的優(yōu)化經(jīng)典GM(1,1)模型是以序列中第一個(gè)數(shù)據(jù)為白化微分方程的初始條件進(jìn)行求解的，鄧聚龍[30]考慮到灰色系統(tǒng)理論中的新信息優(yōu)先原理，并同時(shí)證明了序列第一個(gè)數(shù)據(jù)與模型的預(yù)測(cè)值和發(fā)展系數(shù)并無(wú)關(guān)系。隨后，許多研究學(xué)者對(duì)GM(1,1)模型的初始條件進(jìn)行深入研究。黨耀國(guó)等[31]提出以時(shí)間序列中最新的一個(gè)數(shù)據(jù)作為模型求解的初始條件，是對(duì)灰色系統(tǒng)新信息優(yōu)先原理的重要體現(xiàn)；此外，基于樣本綜合最優(yōu)化原理，可選取最小偏差中間數(shù)據(jù)為初始條件，以及原始累加序列與模擬累加序列偏差平方和最小和平均相對(duì)偏差最小、原始序列與模擬序列偏差平方和最小等方法。王育紅等[32]從線(xiàn)性組合的角度，以首個(gè)數(shù)據(jù)和最后一個(gè)數(shù)據(jù)作線(xiàn)性組合作為初始條件，并用最優(yōu)化思想求解權(quán)重系數(shù)。

1.1.5GM(1,1)模型擴(kuò)展及其應(yīng)用研究鄧聚龍[33]提出了GM(1,1)模型群，在GM(1,1)模型的基礎(chǔ)上，從定義和白化過(guò)程出發(fā)，推導(dǎo)出了 GM(1,1,x(1))、GM(1,1,x(0))、GM(1,1,b)、GM(1,1,exp) 和GM(1,1,C)5種派生模型。宋中民等[34]通過(guò)深入研究建模機(jī)理提出了中心逼近式的灰色GM(1,1)模型。Chen等[35]為了進(jìn)一步體現(xiàn)GM(1,1)模型的動(dòng)態(tài)性，結(jié)合時(shí)間序列ARMA的建模機(jī)理，提出了 DGDM(1,1,1) 模型，并得到廣泛應(yīng)用。Hsu等[36]應(yīng)用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)修正GM(1，1)模型的殘差，取得了較好的預(yù)測(cè)效果。謝乃明等[37]構(gòu)建了離散GM(1,1)模型，并給出了遞推求解算法，通過(guò)研究該模型的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)離散GM(1,1)模型對(duì)于白指數(shù)序列建模具有完全重合性。姚天祥等[38]在離散GM(1,1)模型的基礎(chǔ)上，對(duì)其建模的初始條件進(jìn)行深入研究。Wang等[39]研究了離散GM(1,1)模型的無(wú)偏性，并給出了遞推解法，同時(shí)求解了不同初始條件下無(wú)偏模型的對(duì)推公式，對(duì)兩種不同準(zhǔn)則下的初始條件進(jìn)行了優(yōu)化。王正新等[40]提出利用時(shí)間系數(shù)修正等間距時(shí)序，解決了GM(1,1)模型無(wú)法應(yīng)用在大波動(dòng)序列的問(wèn)題；同時(shí)，給出了時(shí)間權(quán)重系數(shù)的計(jì)算方法，利用反向累加生成算子，建立GOM(1,1)模型，結(jié)合GM(1,1)和GOM(1,1)模型，提出兩階段灰色預(yù)測(cè)模型。錢(qián)吳永等[41]引入序列轉(zhuǎn)換法則，對(duì)振蕩序列利用轉(zhuǎn)換法則轉(zhuǎn)化為單調(diào)序列，再利用灰色預(yù)測(cè)模型有效地解決了振蕩序列預(yù)測(cè)問(wèn)題。

實(shí)際問(wèn)題中存在著大量的非等間距時(shí)序問(wèn)題，而經(jīng)典的GM(1,1)模型僅適用于等間距序列的預(yù)測(cè)和模擬。因此，許多學(xué)者對(duì)非等間距序列的預(yù)測(cè)問(wèn)題展開(kāi)研究。羅佑新等[42]通過(guò)研究給出了直接建模法的前提條件： 初始序列需具備單調(diào)性、非負(fù)性、上凹性等性質(zhì)，并且需要滿(mǎn)足

[max Δtk/min Δtk]<2

Shi[43]首先利用線(xiàn)性變化負(fù)責(zé)將非等間距序列轉(zhuǎn)化為等間距序列，然后通過(guò)逆變換還原。史雪榮等[44]運(yùn)用上述文獻(xiàn)的序列生成方法，分析了變參數(shù)非等間距 GM(1,1) 模型及應(yīng)用。蔣衛(wèi)東等[45]避免了對(duì)原始非等間距序列的人為改造，提出時(shí)數(shù)分離法，通過(guò)概念的轉(zhuǎn)換得到兩個(gè)等間距序列，但對(duì)于這類(lèi)轉(zhuǎn)換需進(jìn)一步研究其同步預(yù)測(cè)性。戴文戰(zhàn)等[46]借用文獻(xiàn)[19]中所提出的背景值優(yōu)化模型，構(gòu)建了非等間距GM(1,1)模型，提高了建模的精度。王葉梅等[47]則利用文獻(xiàn)[40]中提出的背景值最優(yōu)模型，構(gòu)建了新的非等間距模型，得到了較高的模擬精度。但是，對(duì)于非等間距序列的建模條件、生成方法等研究較少，目前較多的是對(duì)非等間距灰預(yù)測(cè)模型的簡(jiǎn)單推廣，建模機(jī)理、生成原則和轉(zhuǎn)換前提等有待進(jìn)一步深入研究。肖新平等[48]對(duì)廣義累加灰色預(yù)測(cè)控制模型進(jìn)行了深入分析，得出該灰預(yù)測(cè)模型其實(shí)是跳躍模型、非等間距模型和階段模型的統(tǒng)一變現(xiàn)形勢(shì)，并且對(duì)初始點(diǎn)的變化對(duì)模型參數(shù)及預(yù)測(cè)值的影響進(jìn)行了研究，利用矩陣分析推導(dǎo)了它們之間的數(shù)量關(guān)系；利用廣義累加生成矩陣，對(duì)其中的元素、初始點(diǎn)和初始條件選取進(jìn)行優(yōu)化，并對(duì)廣義累加灰色預(yù)測(cè)控制模型進(jìn)行組合優(yōu)化。郭曉君等[49]以含時(shí)間冪次項(xiàng)的灰色模型為基礎(chǔ)GM(1,1,tα)，構(gòu)建了灰色 GM(1,1,tα) 與自憶性原理的耦合預(yù)測(cè)模型；用動(dòng)力系統(tǒng)自憶性原理來(lái)克服傳統(tǒng)灰色模型對(duì)初值比較敏感的弱點(diǎn)。

1.2　GM(1,1)冪模型研究進(jìn)展

GM(1,1)冪模型是灰色預(yù)測(cè)模型的拓展，是GM(1,1)模型和Verhulst模型的推廣，對(duì)具有單峰特征的數(shù)據(jù)具有較好的模擬效果。冪模型中的灰作用量的冪指數(shù)可以靈活調(diào)整，以擬合不同特征曲線(xiàn)，這是該模型的最大特點(diǎn)。王正新等[50]提出了冪指數(shù)的白化公式，結(jié)合灰色系統(tǒng)的信息覆蓋思想，給出了冪模型的求解方法，并分析了冪指數(shù)的變化對(duì)模型求解的影響。當(dāng)冪指數(shù)取2時(shí)，即為灰色Verhulst模型。

事物在開(kāi)始階段增長(zhǎng)緩慢，隨后增速逐步增大，然后進(jìn)入高速增長(zhǎng)期，最后進(jìn)入低速增長(zhǎng)期直至停止增長(zhǎng)，因此，事物的發(fā)展過(guò)程一般呈S形態(tài)，灰色Verhulst模型即適用于此類(lèi)形狀。該模型首先對(duì)原始序列進(jìn)行一階累加生成，然后建立灰色預(yù)測(cè)模型；相比于傳統(tǒng)Verhulst模型，其把序列近似為單峰型數(shù)據(jù)，拓寬了傳統(tǒng)Verhulst模型應(yīng)用寬度，提高模擬精度。若原始數(shù)據(jù)本身即是S形態(tài)，且為小樣本數(shù)據(jù)，則可直接建立灰色Verhulst模型。何文章等[51]對(duì)灰色Verhulst模型的參數(shù)估計(jì)方法和初始條件進(jìn)行優(yōu)化，提高了模擬預(yù)測(cè)的效果。Wang等[52]從梯形面積公式的白化灰導(dǎo)數(shù)出發(fā)，提出了一種新的灰色 Verhulst 定義式，提高了差分方程參數(shù)與微分方程中參數(shù)的一致性。Kayacan等[53]引入傅里葉變換，對(duì)灰色Verhulst的模擬誤差進(jìn)行修正，提高模擬效果，并用改進(jìn)的模型對(duì)歐元對(duì)美元的匯率走勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。王正新等[54]利用非齊次指數(shù)函數(shù)的倒數(shù)生成算子，構(gòu)建了無(wú)偏灰色Verhulst模型，降低了模型本身存在的固定偏差。楊德嶺等[55]對(duì)“灰度不減”公理進(jìn)行延伸，得到了“信息域不減”的推論；然后，構(gòu)建核序列的Verhulst模型，并以信息域不減推論為依據(jù)、以核為中心推導(dǎo)區(qū)間灰數(shù)上(下)界的時(shí)間響應(yīng)式。王正新[56]對(duì)原始序列建立 GM(1,1) 冪模型以描述系統(tǒng)行為的總體趨勢(shì)；然后，利用傅里葉級(jí)數(shù)提取模型的殘差序列所包含的周期性振蕩規(guī)律，并以?xún)烧咧蜆?gòu)成新的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)；最后以平均誤差最小化為目標(biāo)，建立非線(xiàn)性?xún)?yōu)化模型求解最優(yōu)參數(shù)。王正新[57]提出一種時(shí)變參數(shù)GM(1,1)冪模型，通過(guò)引入多項(xiàng)式函數(shù)描述GM(1,1)冪模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)隨時(shí)間的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律；根據(jù)建模樣本量的不同，分3種情形給出了模型的參數(shù)辨識(shí)算式，同時(shí)給出了時(shí)變參數(shù)GM(1,1)冪模型白化方程的解析解，利用積分復(fù)合梯形公式將其轉(zhuǎn)化為可用于預(yù)測(cè)的離散時(shí)間響應(yīng)式，并提出了參數(shù)優(yōu)化方法。

2灰色預(yù)測(cè)模型研究展望

目前，對(duì)灰色預(yù)測(cè)模型的研究主要集中在 GM(1,1) 模型的優(yōu)化與拓展，提高GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)精度。對(duì)于拓廣灰色預(yù)測(cè)模型適用范圍的研究較少。在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、經(jīng)濟(jì)、管理等實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域中，周期型數(shù)據(jù)、時(shí)滯型數(shù)據(jù)、變趨勢(shì)型數(shù)據(jù)、多因素截面數(shù)據(jù)、多因素面板數(shù)據(jù)、災(zāi)變數(shù)據(jù)、振蕩型數(shù)據(jù)等不同特征的數(shù)據(jù)普遍存在。對(duì)于不同類(lèi)型的數(shù)據(jù)，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的GM(1,1|T)、GM(1,n,τ(i))、GM(1,n,T(i))、GDM(1,n|τ,κ)適用模型，同時(shí)，探究各類(lèi)模型的性質(zhì)，分析模型的適用范圍和參數(shù)的求解方法。

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)、科學(xué)、技術(shù)等各方面的不斷發(fā)展，人們所面臨的實(shí)際問(wèn)題越來(lái)越復(fù)雜，數(shù)據(jù)量越來(lái)越大，如何有效地從大數(shù)據(jù)中提取有效信息是對(duì)問(wèn)題未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)的前提。因此，對(duì)灰色組合預(yù)測(cè)模型的研究具有一定必要性。如利用灰關(guān)聯(lián)、灰決策模型對(duì)多因素預(yù)測(cè)問(wèn)題需要先對(duì)因素進(jìn)行篩選，增強(qiáng)預(yù)測(cè)的有效性；灰色預(yù)測(cè)模型與博弈模型、控制模型、投入產(chǎn)出模型等組合運(yùn)用，將有效地處理復(fù)雜預(yù)測(cè)決策問(wèn)題。

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Survey of Gray Prediction Model Research

DANGYaoguo,WANGJunjie,KANGWenfang

(College of Economics and Management, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,

Nanjing 210016, China)

Abstract:Gray prediction is an important branch of the gray system theory. Six aspects were summarized for the existing research of gray prediction. These are the property research of GM(1,1) model, improvement and optimization of GM(1,1) model, parameter estimation method, optimization of initial condition, extension and application researches of GM(1,1) model, and research on power model. Finally, two suggestions are made for the future study of gray prediction models.

Key words:gray system; GM(1,1) model; gray prediction; optimization

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

中圖分類(lèi)號(hào):N 941.5

文章編號(hào)2095 - 0020(2015)01 -0001 - 07

作者簡(jiǎn)介：黨耀國(guó)(1964-)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榛疑到y(tǒng)理論，E-mail： iamdangyg@163.com

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué) 資助(71071077，71371098)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金資助(NC2012001)；江蘇省高校哲學(xué)社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地重大項(xiàng)目資助(2012JDXM005)

收稿日期：2015 - 01 - 15