基于截斷總體最小二乘算法的車載三軸磁力儀標(biāo)定

張瀅，楊任農(nóng)，李明陽，左家亮，陳星伊

(1.空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院，陜西 西安710051;2.西安衛(wèi)星測控中心，陜西 西安710043)

0 引言

三軸磁力儀是一種低成本的導(dǎo)航定向傳感器［1］。它通常與其他傳感器組合以獲得捷聯(lián)載體的航向估計［2-3］。以陸用車輛導(dǎo)航為例，捷聯(lián)三軸磁力儀通過測量地磁場矢量在體坐標(biāo)系的投影，然后借助其他姿態(tài)傳感器如慣性測量單元(IMU)提供的傾角信息將之轉(zhuǎn)換到當(dāng)?shù)厮阶鴺?biāo)系下，計算出車體與磁北方向的夾角，最后利用當(dāng)?shù)卮牌菍ζ溥M(jìn)行修正以得到車輛與地理北的夾角，即航向角。但是，磁力儀的輸出經(jīng)常受到干擾磁場的影響。這些磁場會嚴(yán)重降低航向估計的精度。因此，在使用磁力儀之前，需要對其進(jìn)行標(biāo)定。

目前，已經(jīng)有許多方法相繼被提出用于解決三軸磁力儀的標(biāo)定問題。文獻(xiàn)［4 -5］提出兩步法并給出了閉合解。該方法通過定義中間變量，將磁力儀的非線性觀測方程轉(zhuǎn)換為線性方程形式AX =b，其中系統(tǒng)矩陣A 和數(shù)據(jù)矩陣b 都由磁力儀測量數(shù)據(jù)構(gòu)成，而X 是未知的中間變量。方程的解可以采用標(biāo)準(zhǔn)的線性最小二乘方法進(jìn)行估計。文獻(xiàn)［3，6 -8］采用橢球擬合的思想對磁力儀進(jìn)行標(biāo)定，其算法核心是采用最小二乘或自適應(yīng)最小二乘方法。文獻(xiàn)［9］針對磁力儀的觀測方程等式兩邊同時含有噪聲的情況，提出了基于總體最小二乘(TLS)算法的磁力儀標(biāo)定方法。

注意到現(xiàn)有的磁力儀標(biāo)定方法要求傳感器能夠在不同方向上進(jìn)行旋轉(zhuǎn)以獲得盡可能多的方向的測量值。但是在車載磁導(dǎo)航應(yīng)用中，車體受到路面的約束而不能實現(xiàn)空間全方向的轉(zhuǎn)動，與之固連的磁力儀將難以獲取全方向的磁場信息。因此，上述用于標(biāo)定磁力儀標(biāo)定的線性觀測方程將面臨病態(tài)問題。如果沒有對應(yīng)的方法對病態(tài)問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)靥幚?，那么傳統(tǒng)的標(biāo)定方法將產(chǎn)生不可靠的解，甚至無解。為了獲得魯棒的解，通常需要引入正則化方法。傳統(tǒng)的正則化方法如Tikhonov 正則化［10］假設(shè)線性觀測方程的右邊部分受到噪聲干擾，而左邊部分則是精確的。但是在磁力儀標(biāo)定問題中，系統(tǒng)矩陣A和數(shù)據(jù)矢量b 都同時被測量噪聲所干擾。因此，在選擇正則化方法時，選擇一種能夠同時處理等式兩邊誤差的方法更為合適。本文采用截斷總體最小二乘(TTLS)方法對車載磁力儀進(jìn)行標(biāo)定。TTLS 方法適合處理強(qiáng)病態(tài)情況下的線性最小二乘求解問題［11］。車載磁導(dǎo)航實驗結(jié)果表明，TTLS 方法能夠有效地抑制磁力儀標(biāo)定中的病態(tài)問題，獲得良好的標(biāo)定效果。

1 磁導(dǎo)航原理

車載磁導(dǎo)航系統(tǒng)主要由三軸磁力儀和IMU 組成。由于車體并不總是在水平面上行駛，使得磁力儀很難保持水平狀態(tài)，為此在解算航向角時需要進(jìn)行傾角補償。傾角信息主要由IMU 經(jīng)過慣性解算實時提供。由于磁力儀與車體捷聯(lián)，其輸出值為地磁場在體坐標(biāo)系下的投影。為了確定航向角，這些投影值需要轉(zhuǎn)換到當(dāng)?shù)厮阶鴺?biāo)系下，其轉(zhuǎn)換公式［1］為

對ψmag進(jìn)行當(dāng)?shù)卮牌铅?的修正，即可得到車體與地理北之間的夾角，此即為航向角。δ 值可通過查詢?nèi)虼艌瞿Ｐ偷玫剑?2］。

2 傳感器誤差模型

地磁場的測量誤差來源于傳感器自身的誤差(非正交誤差、刻度因子誤差和零偏誤差)和載體磁場干擾(硬磁誤差和軟磁誤差)。在數(shù)學(xué)上，這兩類誤差統(tǒng)一建模為總非正交誤差、總刻度因子誤差和總零偏誤差［3-4，8，13-14］。磁力儀的輸入輸出過程［4］可描述為

式中:Bs是地磁場矢量在傳感器坐標(biāo)系下的投影;Bb是地磁場矢量在體坐標(biāo)系下的投影;ρ1、ρ2、ρ3是總非正交誤差角;κ1、κ2、κ3是總刻度因子誤差;o1、o2、o3是總零偏誤差。

如文獻(xiàn)［4］所示，總非正交誤差角來源于磁力儀的制造工藝誤差、磁力儀安裝誤差以及軟磁誤差;總刻度因子誤差則來源于傳感器刻度因子誤差和軟磁誤差;總零偏誤差由傳感器零偏誤差和硬磁誤差組成。三軸磁力儀的標(biāo)定模型可對(3)式進(jìn)行逆向映射得到，即

假設(shè)捷聯(lián)三軸磁力儀在一個固定磁場的區(qū)域旋轉(zhuǎn)，那么磁力儀標(biāo)定后的輸出將約束分布在以當(dāng)?shù)氐卮艌龇禐榘霃降膱A球表面上，即有

式中:R 是當(dāng)?shù)氐卮艆⒖紙龅姆?。?4)式和(5)式展開可得

注意到數(shù)據(jù)矢量b 的構(gòu)成可以從觀測方程中任意選取。地磁場測量個數(shù)q 遠(yuǎn)大于觀測方程中的未知量個數(shù)，因此(7)式是一個超定線性方程組。一旦方程組求解出未知量，即可從中解算出標(biāo)定參數(shù)的估計值和

3 總體最小二乘標(biāo)定方法

在磁力儀標(biāo)定中，系統(tǒng)矩陣A 和數(shù)據(jù)矩陣b 都受到測量噪聲的干擾，導(dǎo)致(7)式可能是不相容的。在此情況下，線性最小二乘解不再是最優(yōu)的。文獻(xiàn)［9］采用TLS 算法來處理系統(tǒng)矩陣A 和數(shù)據(jù)矩陣b 都存在誤差的情況。TLS 通過最小化以下指標(biāo)得到問題的解:

式中:‖＊‖F(xiàn)是Frobenius 模和分別是包含誤差量的A 和b. (8)式的求解可以參考文獻(xiàn)［15］。首先，對擴(kuò)展矩陣(A，b)進(jìn)行奇異值分解，得

式中:n 是X 的維數(shù);σi是第i 個奇異值，并且有σ1≥σ2≥…≥σn+1;ui是矩陣U 的第i 列矢量，U∈?m×m，UTU = Im;vi是矩陣V 的第i 列矢量，V∈?(n+1)×(n+1)，VTV = In+1;Σ = diag(σ1，…，σn+1)。如果矩陣A 是滿列秩的，那么(8)式可得到閉合解［16］為

式中:σn+1是擴(kuò)展矩陣(A，b)的最小奇異值。從統(tǒng)計的角度看，σ2n+1In×n是誤差協(xié)方差的估計矩陣。與最小二乘方法相比，TLS 方法從協(xié)方差矩陣ATA中移去測量誤差使之能夠獲得更高精度的解，其付出的代價是TLS 的解過程，是降正則化的。

4 截斷總體最小二乘標(biāo)定方法

在車載磁力儀標(biāo)定中，車體的機(jī)動受到限制。車體一般繞天向軸進(jìn)行順時針或逆時針的旋轉(zhuǎn)獲得用于標(biāo)定磁力儀的地磁測量數(shù)據(jù)。當(dāng)車體在水平面內(nèi)時，由于垂直方向上的地磁測量誤差無法被充分激勵，這些測量數(shù)據(jù)只能滿足二維磁力儀(兩個正交敏感軸固定在水平面內(nèi))的標(biāo)定，無法滿足三維軸磁力儀的標(biāo)定［6］。由這些測量數(shù)據(jù)組成的磁觀測方程，將會導(dǎo)致系統(tǒng)矩陣A 的條件數(shù)很大，即觀測方程是病態(tài)的。如果不針對該問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)靥幚?，那么車載磁力儀標(biāo)定問題將可能得到不可靠的解，甚至是無解。為了求得穩(wěn)定的解，需要引入正則化方法。

在選擇正則化方法的時候，所選算法應(yīng)具備處理等式兩邊的誤差能力。TTLS 方法是基于TLS 方法發(fā)展而來的，它適用于嚴(yán)重病態(tài)的、方程等式兩邊都存在誤差的線性求解問題。該方法的基本思想是通過截斷小的奇異值對應(yīng)的解的部分，使得解更為穩(wěn)定，其算法流程總結(jié)［11］如下:

1)計算(A，b)的奇異值分解;

2)選擇適當(dāng)?shù)恼齽t化參數(shù)k(k≤n);

3)對矩陣V 進(jìn)行分塊，

4)TTLS 的解可通過下式得到:

式中:(Ak，bk)是(A，b)的秩k 最佳逼近;到是(A，b)的對應(yīng)的奇異值;代表對解的平滑度約束;代表對數(shù)據(jù)的擬合度。隨著參數(shù)k 的增加，相繼增加相繼減小。為此k 的取值應(yīng)該是上述兩個模值平衡的結(jié)果。近些年，許多選擇正則化參數(shù)的方法相繼被提出，但是每一種方法都不能夠適用于所有的病態(tài)問題，因為正則化參數(shù)的最佳選擇是依據(jù)所解決的問題而定的。

本文選擇L 曲線法［18］作為正則化參數(shù)確定的方法。L 曲線準(zhǔn)則是以為橫坐標(biāo)，以為縱坐標(biāo)，可得到許多點，這些點通過擬合得到一條形狀如字母“L”的曲線。曲線的拐點能夠較好地平衡上述兩方面的信息并且同時保持它們的取值較小。因此，拐點所對應(yīng)的正則化參數(shù)即為L 曲線法的最優(yōu)值。

5 實驗與結(jié)果

為驗證TTLS 標(biāo)定方法的有效性，將車載磁導(dǎo)航系統(tǒng)安裝在面包車體內(nèi)進(jìn)行測試。為準(zhǔn)確估計磁導(dǎo)航的精度，車體內(nèi)部獨立安裝了慣性導(dǎo)航系統(tǒng)/全球定位系統(tǒng)(INS/GPS)組合導(dǎo)航系統(tǒng)，可提供最大精度誤差為0.1°的航向角作為參考。

選擇一塊地磁場恒定的區(qū)域作為標(biāo)定區(qū)，測得真實磁場值作為參考;然后讓車在該區(qū)域內(nèi)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中盡量地改變俯仰角。車載三軸磁力儀測得旋轉(zhuǎn)過程中的地磁場數(shù)據(jù)，用于對磁力儀的標(biāo)定。通過計算可知系統(tǒng)矩陣A 的條件數(shù)為1.36 ×1010，表明該線性觀測方程是嚴(yán)重病態(tài)的［19］。TLS 標(biāo)定方法由文獻(xiàn)［9］提出，其標(biāo)定效果要好于橢球擬合法，因此本文采用TLS 法與TTLS 法進(jìn)行對比。利用TLS 和TTLS 標(biāo)定算法處理測量數(shù)據(jù)，可得到磁力儀的標(biāo)定參數(shù)如表1 所示。

表1 參數(shù)估計結(jié)果Tab.1 Parameter estimates

圖1 TLS 和TTLS 標(biāo)定結(jié)果對比Fig.1 TLS versus TTLS calibrated total magnetic field

圖1是TLS 和TTLS 標(biāo)定結(jié)果對比。圖中實線為車載三軸磁力儀測得的實時數(shù)據(jù)，由于儀器以及載體干擾磁場的影響，未標(biāo)定的地磁曲線偏離真實磁場值(46 100 nT)較大，其峰峰值差異約20 000 nT. 點線為TLS 法的標(biāo)定結(jié)果，因為系統(tǒng)病態(tài)，由TLS 標(biāo)定后的測量曲線已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離了真實值，并沒有起到標(biāo)定的效果，這表明TLS 法無法應(yīng)用于病態(tài)情況下的三軸磁力儀標(biāo)定。虛線為TTLS 方法標(biāo)定結(jié)果，其標(biāo)定后的測量值則接近地磁場值。令表示標(biāo)定后的地磁場測量值，r0表示真實磁場值，那么標(biāo)定后的相對均方根誤差rmse 可由下式計算得到:

式中:N 表示地磁場測量個數(shù)。經(jīng)計算可知由TTLS標(biāo)定后的磁場值均方根誤差小于1%. 實驗結(jié)果表明TTLS 標(biāo)定方法能夠準(zhǔn)確地估計磁場誤差并進(jìn)行有效地補償，表明正則化技術(shù)是標(biāo)定方法在病態(tài)問題中獲得魯棒解的關(guān)鍵性因素。

由于TLS 方法無法應(yīng)用于病態(tài)條件下的三軸磁力儀校正，也無法進(jìn)行航向角的估計，因此在航向角比較實驗中，本文采用橢圓擬合法［20］與TTLS 標(biāo)定法來比較結(jié)果。圖2 是磁力儀經(jīng)過標(biāo)定后的車載磁航行實驗。圖中的航向角參考曲線由車載INS/GPS 組合導(dǎo)航系統(tǒng)提供。從圖中可以看出:當(dāng)車輛在水平行駛時，兩種標(biāo)定方法標(biāo)定磁力儀并解算的航向角曲線都能夠接近航向參考曲線;當(dāng)車輛在轉(zhuǎn)彎爬坡時，橢圓擬合法航向角誤差遠(yuǎn)比TTLS 標(biāo)定法航向角誤差大。這是因為橢圓擬合法僅對水平面的二維磁力儀進(jìn)行了標(biāo)定，并沒有考慮天向軸傳感器的測量誤差。由于車輛在轉(zhuǎn)彎爬坡時導(dǎo)致天向軸磁力儀在水平投影中所占的比例增大，使得橢圓擬合法航向角解算誤差增大。TTLS 標(biāo)定法考慮了磁力儀天向軸分量數(shù)據(jù)的影響，并有效地抑制了病態(tài)性問題，從而提高了磁航向估計精度。

圖2 橢圓擬合與TTLS 標(biāo)定法航向角估計對比Fig.2 Comparison of heading estimates for TTLS and ellipse-fit algorithms

圖3是兩種校正算法的航向誤差曲線對比。其中，實線為TTLS 校正法航向誤差曲線，其平均航向角誤差約為1.5°，可滿足車載磁導(dǎo)航的精度需求［1，5-6，8］。虛線為橢圓校正法航向誤差曲線，其平均航向誤差約為4.5°. 通過對比可看出TTLS 校正法的優(yōu)越性。

6 結(jié)論

圖3 航向誤差曲線對比Fig.3 Comparison of heading error curves

磁力儀的標(biāo)定是影響車載磁導(dǎo)航精度的關(guān)鍵技術(shù)。由于車輛機(jī)動能力受限，三軸磁力儀標(biāo)定問題中的觀測方程將嚴(yán)重病態(tài)，早先提出的三軸磁力儀標(biāo)定方法如TLS 標(biāo)定法有可能不再適用，因此正則化技術(shù)是必不可少的。本文提出TTLS 技術(shù)解決病態(tài)情況下的磁力儀標(biāo)定問題，能夠有效地抑制病態(tài)問題帶來的影響，獲得準(zhǔn)確的參數(shù)估計。車載磁導(dǎo)航實驗結(jié)果表明該方法提高了航向角估計精度和魯棒性。

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