安裝誤差對行星齒輪傳動系統(tǒng)傳動誤差的影響

劉歡，鮑和云，陸鳳霞，沈稼耕，張霖霖

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

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安裝誤差對行星齒輪傳動系統(tǒng)傳動誤差的影響

劉歡，鮑和云，陸鳳霞，沈稼耕，張霖霖

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

摘要：建立了2K-H人字齒行星齒輪傳動系統(tǒng)平移-扭轉(zhuǎn)耦合非線性動力學(xué)模型，模型中考慮各構(gòu)件的支撐剛度，事變嚙合剛度和安裝誤差激勵等影響因素。利用當(dāng)量嚙合誤差定義，推導(dǎo)了各構(gòu)件的安裝誤差在嚙合線變長方向的當(dāng)量嚙合誤差；分析計算了各構(gòu)件間的相對位移，根據(jù)牛頓第二定律推導(dǎo)系統(tǒng)運(yùn)動微分方程，采用傅里葉級數(shù)法求解系統(tǒng)動力學(xué)方程，獲得系統(tǒng)的傳動誤差，分析了安裝誤差對系統(tǒng)傳動誤差的影響。

關(guān)鍵詞：行星齒輪；安裝誤差；偏心誤差；傳動誤差；人字齒

行星齒輪的傳動誤差反應(yīng)了系統(tǒng)的傳動精度，是評價系統(tǒng)質(zhì)量的重要參數(shù)，也是系統(tǒng)噪聲和振動的重要激勵源[1]。安裝誤差又對動態(tài)特性與嚙合性能產(chǎn)生直接影響[2]。分析人字齒行星齒輪的安裝誤差對系統(tǒng)傳動誤差影響具有重要意義。國內(nèi)外學(xué)者對傳動誤差展開了大量的理論研究和實(shí)驗(yàn)研究。Sweeney[3-5]等人對單對齒輪傳動誤差定義和計算進(jìn)行大量的研究，國內(nèi)學(xué)者梁瑩林[6]給出汽車減速器傳動誤差的測量方法。盛鋼[7]計算了齒輪修形參數(shù)和傳動誤差幅值的關(guān)系。袁古興[8]基于幾何尺寸關(guān)系的微分模型，分析濾波減速器各構(gòu)件偏心誤差對系統(tǒng)傳動誤差的的影響，陳文華[9]用蒙特卡洛模擬分析各誤差對齒輪傳動誤差的影響。結(jié)合動力學(xué)研究安裝誤差對人字齒行星齒輪系統(tǒng)傳動誤差影響至今鮮有報道。

本文建立了人字齒行星齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型，推導(dǎo)安裝誤差的當(dāng)量嚙合誤差，得出系統(tǒng)傳動誤差，研究各齒輪安裝誤差單獨(dú)作用和共同作用對系統(tǒng)傳動誤差的影響。研究工作對2K-H人字齒行星傳動系統(tǒng)各齒輪安裝調(diào)整和加工具有指導(dǎo)意義。

1安裝誤差的當(dāng)量嚙合誤差

圖1　太陽輪安裝誤差與嚙合線的位置關(guān)系圖

(1)

式中：γs為太陽輪安裝誤差的初相位。

太陽輪安裝誤差A(yù)s與太陽輪和行星輪嚙合線的夾角δAsn為：

(2)

式中：φn為第n個行星輪相對于第一個行星輪的位置角，且φn=2π(n-1)/N。αspt為太陽輪和行星輪嚙合副端面嚙合角。

通常情況下，關(guān)于帶電粒子的初速度方向與電場線平行的這類問題的考察點(diǎn)無非就是在q、E、m、a這幾個物理量中給定其三，讓你求其一，或者給出荷質(zhì)比。同樣，根據(jù)上述的動能定理即結(jié)合給定條件可求得解題所需要的物理量。

太陽輪安裝誤差A(yù)s在太陽輪和行星輪嚙合線上的當(dāng)量誤差為：

(3)

式中：βb為基圓柱螺旋角。

同理計算可得行星輪安裝誤差A(yù)pn在太陽輪和第n個行星輪嚙合線上的當(dāng)量誤差eAn1,在內(nèi)齒圈和第n個行星輪嚙合線上的當(dāng)量誤差eAn2；內(nèi)齒圈安裝誤差A(yù)r在內(nèi)齒圈和第n個行星輪嚙合線上的當(dāng)量誤差eAr:

(4)

式中：γn為第n個行星輪安裝誤差的初相位；γr為內(nèi)齒圈安裝誤差的初相位。

忽略其他誤差的情況下，第n個行星輪和太陽輪、內(nèi)齒圈的綜合嚙合誤差esn、enr為：

(5)

2人字齒行星傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型

人字齒行星傳動系統(tǒng)簡圖如圖2所示，系統(tǒng)由輸入構(gòu)件D、太陽輪Zs、N個行星輪Zp、內(nèi)齒圈Zr、行星架C和輸出構(gòu)件L組成。

圖2　人字齒行星傳動系統(tǒng)簡圖

理想情況下人字齒兩個單斜齒輪軸向力互相抵消，采用集中質(zhì)量模型，系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖3所示。

圖3　人字齒行星傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型

建立如圖3中坐標(biāo)系：oxy是定坐標(biāo)系，原點(diǎn)是行星架回轉(zhuǎn)中心；Oxy是動坐標(biāo)系，原點(diǎn)是行星架回轉(zhuǎn)中心，坐標(biāo)系以行星架角速度ωc等速旋轉(zhuǎn)，x軸通過第一個行星輪的回轉(zhuǎn)中心；Onxnyn是動坐標(biāo)系，原點(diǎn)是各行星輪的回轉(zhuǎn)中心，以行星架角速度等速旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)軸與坐標(biāo)系Oxy的兩坐標(biāo)軸分別平行。n代表第n個行星輪，n=1,2,...,N；N為行星輪個數(shù)。同時規(guī)定下標(biāo)D,s,r,C,L分別代表輸入構(gòu)件、太陽輪、內(nèi)齒圈、行星架和輸出構(gòu)件，下標(biāo)g=D,s,n,r,C,L，下標(biāo)sn，nr表示s與n嚙合齒輪副、n和r嚙合齒輪副。除了輸入和輸出構(gòu)件，每個構(gòu)件各有三個自由度，則該人字齒行星齒輪傳動系統(tǒng)共含有3N+11個自由度，則廣義坐標(biāo)為：

q=(uD,xs,ys,us,xn,yn,un,xr,yr,ur,xc,yc,uc,uL)T

(6)

式中：xg、yg分別為構(gòu)件橫向、縱向位移；ug為構(gòu)件在相應(yīng)基圓切向上產(chǎn)生的等價線位移。

由牛頓第二運(yùn)動定律，列出運(yùn)動微分方程，將其整理成矩陣形式：

(7)

式中：M為廣義質(zhì)量矩陣；Cb為支撐阻尼矩陣；Cm為嚙合阻尼矩陣；G、C1、C2為陀螺矩陣；Kb為支撐剛度矩陣；Km為嚙合剛度矩陣；Cω為離心剛度矩陣；Tk為誤差和嚙合剛度引起的激振列陣；Tc為誤差和嚙合阻尼引起的激振列陣；T為外激勵列陣。

3安裝誤差對系統(tǒng)傳動誤差的影響的研究

針對某人字齒行星傳動系統(tǒng)進(jìn)行分析，基本參數(shù)為：太陽輪齒數(shù)zs=34，行星輪齒數(shù)zp=59，內(nèi)齒圈齒數(shù)zr=152，法面模數(shù)mn=2，螺旋角β=25°，輸入功率P=60kW，輸入轉(zhuǎn)速n=2000r/min。太陽輪的安裝誤差A(yù)s=25μm，太陽輪的安裝誤差初相位γs=40°，行星輪安裝誤差A(yù)p=25μm，行星輪的安裝誤差初相位γp=30°，內(nèi)齒圈的安裝誤差A(yù)r=25μm，太陽輪的安裝誤差初相位γr=60°。利用傅里葉級數(shù)法[15]求解系統(tǒng)運(yùn)動微分方程，得出動力響應(yīng)，就可以得出扭轉(zhuǎn)角位移，則系統(tǒng)傳動誤差表達(dá)式如下：

(15)

3.1　安裝誤差對系統(tǒng)傳動誤差的影響分析

研究一輪安裝誤差單獨(dú)作用時，假設(shè)其他輪安裝誤差不變?nèi)×悖鬏啺惭b誤差單獨(dú)作用和共同作用時，系統(tǒng)的傳動誤差見圖6。圖6中TEAg表示構(gòu)件g安裝誤差單獨(dú)作用時系統(tǒng)的傳動誤差，TEAz表示各輪安裝誤差共同作用時系統(tǒng)的傳動誤差。

圖6　安裝誤差對系統(tǒng)傳動誤差的影響

由圖6可得太陽輪、行星輪、內(nèi)齒圈的安裝誤差對系統(tǒng)的傳動誤差均有較大影響，安裝誤差單獨(dú)作用時行星輪安裝誤差對系統(tǒng)的傳動誤差波動最大，太陽輪和行星輪的安裝誤差對系統(tǒng)的傳動誤差波動相當(dāng)，但存在相位差。由圖6同時可以得出，安裝誤差單獨(dú)作用時候比共同作用對系統(tǒng)的傳動誤差波動大，這是因?yàn)檎`差共同作用時候直接由于初相位的影響使得綜合誤差小于各當(dāng)量嚙合誤差。

綜上：安裝誤差值和初相位對系統(tǒng)傳動誤差均有較大影響，有必要研究安裝誤差值和初相位對傳動誤差的影響大小進(jìn)行進(jìn)一步研究。

3.2　安裝誤差對系統(tǒng)傳動誤差幅值的影響分析

分析一輪安裝誤差單獨(dú)變化對系統(tǒng)傳動誤差幅值的影響時，假定其他輪安裝誤差為0，由此可以得出各輪安裝誤差單獨(dú)變化和共同變化時系統(tǒng)的傳動誤差幅值見圖7，圖7中TEfuAg表示構(gòu)件g安裝誤差單獨(dú)變化時系統(tǒng)的傳動誤差幅值，TEfuAz表示各輪安裝誤差共同變化時系統(tǒng)的傳動誤差幅值。

圖7　安裝誤差對系統(tǒng)傳動幅值誤差的影響

安裝誤差增大，安裝誤差的當(dāng)量嚙合誤差也增大，這樣內(nèi)部激勵就會增大，從而系統(tǒng)的傳動誤差幅值也會增大，所以無論安裝誤差單獨(dú)變化還是共同變化時，隨著安裝誤差的增大，系統(tǒng)的傳動誤差幅值是增大，如圖7所示。

由于太陽輪安裝誤差只改變外嚙合嚙合誤差，內(nèi)齒圈安裝誤差只改變內(nèi)嚙合嚙誤差，而行星輪安裝誤差既影響內(nèi)嚙合嚙合誤差，也影響外嚙合嚙合誤差，所有行星輪的安裝誤差對系統(tǒng)影響作用更大，所以隨著安裝誤差，行星輪的安裝誤差單獨(dú)變化時系統(tǒng)的傳動誤差幅值增大最快，且當(dāng)安裝誤差一定時，行星輪安裝誤差單獨(dú)變化時系統(tǒng)傳動誤差幅值最大。而太陽輪輪和內(nèi)齒圈的安裝誤差單獨(dú)變化時系統(tǒng)傳動誤差幅值相當(dāng)，如圖7所示。

由于當(dāng)安裝誤差共同變化時，系統(tǒng)的內(nèi)外嚙合的嚙合誤差是各輪安裝誤差當(dāng)量嚙合誤差之和，由于初相位作用使得內(nèi)外嚙合誤差變小，從而安裝誤差一定時，安裝誤差共同作用時的系統(tǒng)傳動誤差幅值小于安裝誤差單獨(dú)作用時的系統(tǒng)傳動誤差幅值。如圖7所示。

3.3　安裝誤差初相位對系統(tǒng)傳動誤差幅值的影響分析

分析一輪安裝誤差初相位單獨(dú)變化對系統(tǒng)傳動誤差幅值的影響時，假定其他輪安裝誤差初相位為0°不變，由此可以得出各輪安裝誤差初相位單獨(dú)變化和共同變化時系統(tǒng)的傳動誤差見圖8，圖中TEfujAg表示構(gòu)件g安裝誤差初相位單獨(dú)變化時系統(tǒng)的傳動誤差幅值，TEfujAz表示各輪安裝誤差初相位共同變化時系統(tǒng)的傳動誤差幅值。

圖8　安裝誤差初相位對系統(tǒng)傳動幅值誤差的影響

由圖8可得，安裝誤差初相位對系統(tǒng)的傳動誤差幅值影響很大，在0°和360°時系統(tǒng)傳動誤差幅值最小，即各輪安裝誤差初相位相同時，系統(tǒng)傳動誤差幅值最小，這是因?yàn)榇藭r行星輪安裝誤差的外嚙合當(dāng)量嚙合誤差和太陽輪當(dāng)量嚙合誤差之和最小，行星輪安裝誤差的內(nèi)嚙合當(dāng)量嚙合誤差和內(nèi)嚙合當(dāng)量嚙合誤差之和最小，安裝誤差引起的安裝誤差激勵最小，從而系統(tǒng)傳動誤差幅值最小。

當(dāng)三個輪的安裝誤差初相位相同時，在0°~360°范圍內(nèi)系統(tǒng)的內(nèi)外嚙合誤差一定，從而系統(tǒng)的傳動誤差幅值不變。如圖8中，安裝誤差初相位共同變化時，系統(tǒng)的傳動誤差幅值是條水平直線。

4結(jié)論

通過分析安裝誤差對2K-H人字齒行星傳動系統(tǒng)傳動誤差的影響，可得出以下結(jié)論：

1) 安裝誤差和初相位對系統(tǒng)傳動誤差都有較大影響，且行星輪的安裝誤差對系統(tǒng)的傳動誤差影響最大，而內(nèi)齒圈和太陽輪的安裝誤差影響相當(dāng)。

2) 隨著安裝誤差的增大，系統(tǒng)傳動誤差幅值也增大；安裝誤差單獨(dú)變化時系統(tǒng)傳動誤差幅值大于安裝誤差共同變化時的系統(tǒng)傳動誤差幅值，并且行星輪的安裝誤差單獨(dú)變化時，傳動誤差幅值變化最大。

3) 安裝誤差初相位的變化對系統(tǒng)傳動誤差幅值影響較大，當(dāng)各輪的安裝誤差初相位相同時，系統(tǒng)傳動誤差幅值最??；當(dāng)各輪安裝誤差初相位相同時，初相位的變化對系統(tǒng)的傳動誤差幅值沒有影響。

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Impact of Installation Error on Transmission of Planetary Gear Train

LIU Huan, BAO He-yun, LU Feng-xia, SHEN Jia-geng, ZHANG Lin-lin

(College of Mechanical and Electrical Engineering, Nanjing University of

Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

Abstract:A translation- torsional coupling nonlinear dynamic model of 2K-H herringbone planetary gear train is presented. The influencing factor of component bearing stiffness, time-varying mesh stiffness, and installation error incentives and so on are considered in the model. The definition of equivalent mesh error is used to deduce installation error of all components in the direction of the meshing line longer equivalent mesh error and the relative displacement between components is analyzed and calculated. According to Newton's second law system movement differential equation and through the dynamics equation by Fourier series method, the transmission error of the train is acquired and the impact of installation error on transmission error is analyzed.

Keywords:planetary gear; installation error; eccentric error; transmission error; herringbone gear

中圖分類號：TH132.425

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B

文章編號：1671-5276(2015)02-0042-04

作者簡介：劉歡(1989-)，男，江蘇沐陽人，碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)械CAD及自動化。

項(xiàng)目基金：國家自然科學(xué)基金資助(51305196)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助，(NS2012050)

收稿日期：2014-10-30 2014-10-21