均勻分布場(chǎng)合下參數(shù)的極大似然估計(jì)

郝玉芹

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000)

均勻分布場(chǎng)合下參數(shù)的極大似然估計(jì)

郝玉芹

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000)

針對(duì)不同區(qū)間上的均勻分布，應(yīng)用次序統(tǒng)計(jì)量，給出了未知參數(shù)的極大似然估計(jì)，并討論了估計(jì)量的無(wú)偏性。

均勻分布；次序統(tǒng)計(jì)量；極大似然估計(jì)

0 引言

極大似然估計(jì)(Maximum Likelihood Estimate，簡(jiǎn)稱(chēng)MLE)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要、應(yīng)用最廣泛的參數(shù)點(diǎn)估計(jì)方法，其思想始于Gauss的誤差理論，1821年由Gauss首先提出，但當(dāng)時(shí)并未獲得廣泛應(yīng)用。R.A.Fisher在1912年對(duì)Gauss提出的MLE進(jìn)行了理論探討，將它作為一個(gè)一般的點(diǎn)估計(jì)方法提了出來(lái)，從而獲得了大家的認(rèn)同，之后許多統(tǒng)計(jì)學(xué)家探討了MLE的性質(zhì)，使這種估計(jì)方法得到了廣泛的研究和應(yīng)用。

在各種估計(jì)方法中，MLE相對(duì)地說(shuō)比較優(yōu)良，比如MLE的不變性(原則)作為一種統(tǒng)計(jì)思想有其合理性，得到了人們的認(rèn)可。尤其是在大樣本場(chǎng)合下，MLE的優(yōu)良性更為明顯，有很好的結(jié)果，比如相合性與漸近正態(tài)性等[1]。但也有不足之處，MLE要求樣本聯(lián)合分布有參數(shù)形式，在分布未知而要估計(jì)均值和方差時(shí)就無(wú)能為力了。同時(shí)，在小樣本場(chǎng)合下，還不能顯現(xiàn)出它的優(yōu)良性。

設(shè)總體X服從均勻分布，(X1，…，Xn)是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，它們相互獨(dú)立，與總體具有相同分布，(x1，…，xn)為樣本的取值。記次序統(tǒng)計(jì)量為X(1)=min(X1，…，Xn)，X(n)=max(X1，…，Xn)，次序統(tǒng)計(jì)量的取值記為x(1)，…，x(n)，總體分布函數(shù)記為F(x)，總體的概率密度函數(shù)記為f(x)，總體的數(shù)學(xué)期望為E(X)。

在現(xiàn)實(shí)生活中，如計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)、正弦波的隨機(jī)相位、候車(chē)時(shí)間和計(jì)算時(shí)“四舍五入”產(chǎn)生的舍入誤差等問(wèn)題通常都服從均勻分布，這顯示了均勻分布的重要性。本文討論不同區(qū)間上均勻分布參數(shù)的極大似然估計(jì)，并討論估計(jì)量的無(wú)偏性。

1 均勻分布參數(shù)的極大似然估計(jì)

1.1 具有唯一極大似然估計(jì)的情形

1.1.1 總體X服從均勻分布U(0，θ)的場(chǎng)合

簡(jiǎn)記X～U(0，θ)，(X1，…，Xn)是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，(x1，…，xn)為樣本的取值。

估計(jì)量的無(wú)偏性是一種優(yōu)良的性質(zhì)，但是在一個(gè)具體問(wèn)題中，無(wú)偏性的實(shí)際價(jià)值如何，還必須結(jié)合問(wèn)題的具體情況去考察。

1.1.2 總體X服從均勻分布U(θ，2θ)的場(chǎng)合

1.2 極大似然估計(jì)不唯一的情形

1.2.2 總體服X從均勻分布U(θ，θ+1)的場(chǎng)合

2 結(jié)論

似然函數(shù)是樣本的聯(lián)合分布密度，極大似然估計(jì)就是求似然函數(shù)的最大值點(diǎn)，對(duì)于均勻分布來(lái)講，不能從似然方程L′(x1，…，xn；θ)=0求得。另外，參數(shù)的極大似然估計(jì)不一定唯一，也不一定是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)。

[1] 成平，陳希孺，陳桂景，等.參數(shù)估計(jì)[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1985：78.

[2] 沈恒范.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].4版.北京：高等教育出版社，2003：80.

(責(zé)任編校：夏玉玲)

On Estimation of Parameter Maximum Likelihood in Uniform Distribution

HAO Yu-qin

(Department of Fundamental Science Teaching， Tangshan College， Tangshan 063000， China)

The author of this paper estimates the maximum likelihood of unknown parameters against the uniform distribution of different intervals and with order statistics， and discusses biasedness of the estimation.

uniform distribution； order statistics； maximum likelihood estimattion

O212.1

A

1672-349X(2015)06-0017-02

10.16160/j.cnki.tsxyxb.2015.06.007