Hilbert空間中逆強單調(diào)映像的迭代算法的收斂性

張建秋，郝 彥，郝 妍

（浙江海洋學(xué)院數(shù)理與信息學(xué)院，浙江省海洋大數(shù)據(jù)挖掘與應(yīng)用重點實驗室，浙江舟山 316022）

Hilbert空間中逆強單調(diào)映像的迭代算法的收斂性

張建秋，郝 彥，郝 妍

（浙江海洋學(xué)院數(shù)理與信息學(xué)院，浙江省海洋大數(shù)據(jù)挖掘與應(yīng)用重點實驗室，浙江舟山 316022）

在實Hilbert空間框架下研究逆強單調(diào)映像的變分不等式的解的迭代算法，并且證明了該迭代序列是強收斂的。該文結(jié)果是一些學(xué)者早期與最近的相應(yīng)結(jié)果的改進與推廣。

變分不等式；逆強單調(diào)映像；迭代算法

1 引言和預(yù)備知識

設(shè)H是實Hilbert空間,其范數(shù)和內(nèi)積分別為‖·‖和〈·，·〉,C是H的一個非空閉凸子集.A∶C→H是非線性映像.

定義1.1[1]若對于每一個x,y∈C有〈Ax-Ay，x-y〉≥0,則稱A是單調(diào)的.

定義1.2[1]若存在常數(shù)α＞0,滿足〈Ax-Ay，x-y〉≥α‖x-y‖,x,y∈C,則稱A是強單調(diào)的,也稱之為α-強單調(diào).

定義1.3[1]若存在常數(shù)滿足則稱A是逆強單調(diào)的,也稱之為α-逆強單調(diào).

在Hilbert空間中我們用xn→x表示序列{xn}弱收斂于x,用xn→x表示序列{xn}強收斂于x,對于任意x∈H,在C上必存在唯一一點,記為PC,滿足‖x-PCx‖≤‖x-y‖對于所有y∈C.是度量投影,顯然PC∶H→C是非擴張映像,并且PC滿足

變分不等式問題可以理解為

變分不等式的求解是最優(yōu)化方法的一個重要分支.人們對變分不等式的興趣始于對力學(xué)問題的研究.到了上個世紀(jì)60年代,變分不等式才作為一門數(shù)學(xué)學(xué)科被人們廣泛研究.

最近,許多專家學(xué)者對變分不等式問題的解集和Hilbert空間中的逆強單調(diào)映像不動點解集的公共元進行了廣泛研究.

為了解決逆強單調(diào)映像不動點的解,Iiduka[2]構(gòu)造了一個迭代算法,并證明了該迭代序列是弱收斂的.

本文受Iiduka等文獻的啟發(fā),研究逆強單調(diào)映像不動點的強收斂性.

為了證明本文的主要結(jié)論,我們需要以下引理.

引理1.1（Xu[3]）假定{αn}是一個非負(fù)實數(shù)序列,滿足

{γn}是(0,1)中的序列,{δn}是一個數(shù)列,滿足

則limn→∞αn=0.

引理1.2(Aoyama,Hiduka and Takahashi[4])設(shè)C是Hilbert空間的H一個非空閉凸子集.PC∶H→C是一個度量投影,A∶C→H是一非線性算子.則對于所有的λ＞0,

2 主要結(jié)論

定理2.1設(shè)H是實Hilbert空間,C是H的一個非空凸子集.A∶C→H是α-逆強單調(diào)映像且VI(C,A)≠?.設(shè)x1=x∈C,{xn}由下式生成

其中{αn}是(0,1)中的一個序列,{λn}是[0,2α]中的一個序列.如果{λn}滿足λn∈[a,b],其中a,b滿足0＜a＜b＜2α,且{αn},{λn}滿足下列條件

則{xn}強收斂于

由于λ≤2α，則I-λA是非擴張映像.

設(shè)yn=PC(xn-λnAxn),n≥1,u∈VI(C,A).由于I-λnA是非擴張的,且由(1.1)有u=PC(u-λnAu),于是

則

假設(shè)對于k∈N,‖xk-u‖≤‖x-u‖成立.可以推證‖xk+1-u‖≤‖x-u‖.因此,序列 {xn}有界,于是{yn},{Axn}也是有界的.由于I-λnA是非擴張的,則

由此可知,

這樣就完成了證明.

[1]QIN X L,CHANG S S,CHO Y J.Iterative methods for generalized equilibrium problems and fixed point problems with applications[J].Nonlinear Anal:Real World Applications,2010,11(4):2 963-2 972.

[2]IIDUKA H,TAKAHASHI W,TOYODA M.Approximation of solutions of variational inequalities for monotone mappings[J]. PanAmer Math J,2004,14(2):49-61.

[3]XU H K.Iterative algorithms for nonlinear operators[J].J London Math Soc,2002,66(1):240-256.

[4]AOYAMA K,IIDUKA H,TAKAHASHI W.Weak convergence of an iterative sequence for accretive operators in Banach spaces[J].Fixed Point Theory Appl,2006,Article ID 35390(2006).

Convergence Theorems of An Iterative Algorithm for Inversestrongly Monotone Mappings in Hilbert Spaces

ZHANG Jian-qiu,HAO Yan,HAO Yan
(School of Mathematics,Physics and Information Science,Zhejiang Ocean University,Key Laboratory of Oceanographic Big Data Mining&Application of Zhejiang Province,Zhoushan 316022,China)

The purpose of this paper is to consider an iterative algorithm for finding solutions to a variational inequality for inverse-strongly monotone mappings.Strong convergence theorems are proved.The results improve and extend the corresponding results of many others.

variational inequalities;inverse strongly monotone mappings;iterative algorithm

O177.1

A

1008-830X(2015)05-0486-05

2015-03-10

浙江省自然科學(xué)基金項目（Y6110270）

張建秋（1990-），男，江蘇淮安人，碩士研究生，研究方向：非線性泛函分析.

郝彥（1965-），女，黑龍江齊齊哈爾人，教授，研究方向：非線性泛函分析.