基于粒子群算法的電帆軌跡優(yōu)化設(shè)計

王昱魏延明李永于洋邊炳秀，2（北京控制工程研究所，北京 00080） （2中國空間技術(shù)研究院通信衛(wèi)星事業(yè)部，北京 00094）

基于粒子群算法的電帆軌跡優(yōu)化設(shè)計

王昱1魏延明1李永1于洋1邊炳秀1，2
（1北京控制工程研究所，北京 100080） （2中國空間技術(shù)研究院通信衛(wèi)星事業(yè)部，北京 100094）

電帆是一種利用太陽風(fēng)動量的新穎的無工質(zhì)空間推進(jìn)系統(tǒng)，文章研究了以電帆為對象的行星際轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化問題。以地球軌道轉(zhuǎn)移到火星、金星軌道為任務(wù)對象，采用連續(xù)推力模型，研究極坐標(biāo)系下最小時間轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化設(shè)計問題。提出了兩種基于粒子群算法（PSO）的直接優(yōu)化方法，避免對協(xié)態(tài)變量初值敏感的兩點邊值問題（TPBVP）求解。方法一是通過打靶法直接離散化控制量輸入，將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃參數(shù)優(yōu)化問題，采用PSO算法尋優(yōu)，獲得近似最優(yōu)的轉(zhuǎn)移軌跡。方法二是針對任何連續(xù)控制律曲線都能以一定精度的多項式函數(shù)進(jìn)行曲線擬合的特性，設(shè)計逼近最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌跡控制律的多項式函數(shù)，通過PSO算法優(yōu)化多項式函數(shù)參數(shù)獲得逼近最優(yōu)解的轉(zhuǎn)移軌跡。仿真結(jié)果表明采用上述兩種方法進(jìn)行轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化設(shè)計，具有隨機猜測初值、全局收斂、魯棒性強的特點。

電帆；軌跡優(yōu)化；粒子群算法；星際探測

1 引言

電帆是近年來提出的一種全新的無工質(zhì)推進(jìn)技術(shù)［1－2］；系統(tǒng)主要由一定數(shù)量的細(xì)長導(dǎo)線離心展開構(gòu)成。電帆中心的離子槍向外發(fā)射電子，使導(dǎo)線保持較高的電勢，從而在導(dǎo)線周圍產(chǎn)生很強的電勢結(jié)構(gòu)，形成一個虛擬帆面。使太陽風(fēng)中的質(zhì)子發(fā)生偏轉(zhuǎn)，通過動量交換的方式使航天器獲得推力，具體組成原理如圖1所示。電帆能以無推進(jìn)劑損耗的方式進(jìn)行空間旅行，因此，它能實現(xiàn)目前所有的空間行星際軌道轉(zhuǎn)移，甚至飛出太陽系進(jìn)行全新的科學(xué)探測。相比另一種無工質(zhì)推進(jìn)方式——太陽帆［3］，兩者表現(xiàn)方式十分類似，但是電帆由于其虛擬帆面的結(jié)構(gòu)組成特性，能極大地減少系統(tǒng)質(zhì)量，增大電帆航天器的加速度。同時，由于工作機理的不同，電帆產(chǎn)生的推力隨著距離太陽的增加以的速度衰減，而太陽帆推力以減小。因此，在深空探測和星際航行等航天領(lǐng)域，電帆將具有廣闊的應(yīng)用前景。

目前，國內(nèi)外針對電帆的研究工作開展較少。文獻(xiàn)［4］首先研究了使用電帆逃離太陽系的任務(wù)，通過使電帆先向太陽系內(nèi)部轉(zhuǎn)移獲取較大的速度，然后以雙曲線軌道逃離太陽系。在上述基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［5］研究了利用電帆實現(xiàn)兩個日心圓軌道之間的最小時間轉(zhuǎn)移問題，文獻(xiàn)［6］研究了利用電帆向太陽系內(nèi)危險小行星轉(zhuǎn)移軌跡問題。

圖1 電帆組成原理Fig.1 Conceptual sketch of an electric sail

針對電帆轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化問題，現(xiàn)有文獻(xiàn)［4－7］多采用間接法，通過Pontryagin極大值原理，獲得一階必要條件，合理猜測協(xié)態(tài)變量初值，求解兩點邊值問題來獲得最優(yōu)軌跡。該方法對初值具有很強的依賴性與敏感性，不合理的初值猜測往往收斂不到最優(yōu)解。目前，國內(nèi)少有關(guān)于電帆軌跡優(yōu)化方面的研究，文獻(xiàn)［8］中采用高斯偽譜法和序列二次規(guī)劃（SQP）法求解電帆最優(yōu)軌跡，克服了對協(xié)態(tài)變量初值敏感的問題。但是，偽譜法同時離散控制變量與狀態(tài)變量，為獲得滿足高精度動力學(xué)方程約束時需選取大量配點，設(shè)計變量將變得十分龐大，且不當(dāng)?shù)某踔颠x取會使問題收斂不到可行解。本文提出了兩種基于粒子群算法的直接求解最優(yōu)軌跡方法，采用直接打靶法僅離散控制變量。該方法不僅避免對初值敏感的協(xié)態(tài)變量的猜測，而且設(shè)計變量數(shù)目較少，具有隨機猜測初值、全局收斂和魯棒性強的特點。

方法一：本文通過打靶法直接離散控制變量，將連續(xù)的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃的參數(shù)優(yōu)化問題，為保證控制量的連續(xù)性，在離散后的控制量節(jié)點間采用線性插值，通過粒子群算法（PSO）優(yōu)化各節(jié)點處的離散控制量，獲得近優(yōu)轉(zhuǎn)移軌跡。方法二：任何連續(xù)的最優(yōu)控制律都能在一定精度下，采用多項式函數(shù)進(jìn)行曲線擬合。針對上述特性，如果在軌跡設(shè)計時具有一定的先驗知識，能夠得到大致的控制律曲線，就能選用合適的算法優(yōu)化該控制律參數(shù)，使其逼近最優(yōu)控制律曲線。而實際中，對于一個未知的任務(wù)對象，通常具有較少的先驗知識，很難直接獲得控制律的多項式函數(shù)。本文在方法一獲得的近優(yōu)控制律的基礎(chǔ)上結(jié)合理論分析，設(shè)計待優(yōu)化的控制律多項式函數(shù)，通過約束處理，采用PSO算法對多項式函數(shù)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，最終獲取逼近全局最優(yōu)的控制律曲線。

為驗證上述算法的有效性和魯棒性，本文以從地球軌道出發(fā)向太陽系外部和內(nèi)部飛行到火星、金星軌道為例設(shè)計最小時間轉(zhuǎn)移軌跡。

2 轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化問題描述

2.1 動力學(xué)模型

圖2 極坐標(biāo)系和推力方向Fig.2 Reference frame and thrust angle

本文以空間共面圓軌道之間的轉(zhuǎn)移軌跡為例，在極坐標(biāo)系下建立電帆航天器的轉(zhuǎn)移軌道模型（見圖2）［7］。為了提高數(shù)值計算效率和精度，引入?yún)⒖季嚯x和參考時間對電帆動力學(xué)方程進(jìn)行量綱為1化處理。參考距離為一個天文單位（AU），參考時間為，式中rs為地球到太陽的距離，μs為太陽引力常數(shù)，歸一化后的動力學(xué)方程如方程組（1）所示：式中為電帆相對太陽的量綱為1距離；為電帆在極坐標(biāo)系中的極角，逆時針為正，角度本身量綱為1；為電帆量綱為1的徑向速度；為電帆量綱為1的切向速度；α為推進(jìn)角，即推力方向與太陽－電帆連線夾角；a為電帆特征加速度，即相對太陽距離為1AU時的加速度；τ為電帆推力開關(guān)切換函數(shù)。

2.2 性能指標(biāo)選取

由于電帆是一種無工質(zhì)推進(jìn)系統(tǒng)，軌跡轉(zhuǎn)移過程中不消耗推進(jìn)劑的質(zhì)量，因此選取優(yōu)化的性能指標(biāo)為電帆航天器軌道轉(zhuǎn)移過程中的時間最小，表示為

式中 tf為軌跡轉(zhuǎn)移末端時刻；J為優(yōu)化性能指標(biāo)。

2.3 約束條件

（1）終端約束

為保證電帆航天器順利完成與目標(biāo)軌道的交會任務(wù)，必須滿足以下終端約束條件：式中 rp為目標(biāo)軌道相對太陽的距離。

（2）控制變量約束

由于電帆工作機理的特殊性，使得電帆在調(diào)整推力角的同時能改變推力的大小，即推力矢量的大小與方向是解耦的［9］。因此，本文選取推力角與推力大小作為控制變量。

在軌道轉(zhuǎn)移過程中，受帆面穩(wěn)定性限制，推力角絕對值應(yīng)小于αmax，Mengali通過理論分析，估計αmax在20°～35°之間，本文假設(shè)αmax＝30°。電帆推力產(chǎn)生的加速度大小受導(dǎo)線數(shù)量、長度與航天器自身質(zhì)量等因素影響，根據(jù)現(xiàn)有技術(shù)，電帆特征加速度a能達(dá)到2mm／s2，為方便與文獻(xiàn)［8］中的結(jié)果進(jìn)行比較，本文選取最大特征加速度為0.5mm／s2。綜上所述，電帆在軌道轉(zhuǎn)移過程中，控制變量受約束如下：

顯然，當(dāng)特征加速度為0時，相當(dāng)于電帆停止工作，即開關(guān)函數(shù)τ＝0；當(dāng)特征加速度為0.5mm／s2時，相當(dāng)于電帆以最大推力工作，即開關(guān)函數(shù)τ＝1。因此，針對電帆特殊的作用機理，選取連續(xù)推力模型比選取固定推力模型更加精確。

3 基于打靶法＋PSO算法的軌跡優(yōu)化策略

本文采用直接打靶法離散控制變量將最優(yōu)控制問題的求解轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃的參數(shù)尋優(yōu)問題，優(yōu)化算法選用PSO算法。理論上，只要選取的節(jié)點足夠多，就能無限逼近連續(xù)最優(yōu)控制律。而實際中，當(dāng)選定的節(jié)點數(shù)較多時，給定的設(shè)計變量會變得非常多，不僅降低優(yōu)化算法的計算效率，且可能收斂到局部最優(yōu)解。

3.1 直接打靶法

打靶法［10］是一種僅離散控制變量的直接法，將連續(xù)的控制量參數(shù)化，把最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解。本文以離散時間節(jié)點上的控制變量作為優(yōu)化變量，時間節(jié)點之間的控制變量值采用分段線性插值的方式來近似，以獲得較高的精度。上述過程的數(shù)學(xué)表達(dá)為

由于打靶法只離散控制變量，電帆動力學(xué)方程采用數(shù)值積分的方式進(jìn)行計算，雖然積分過程會消耗大量時間，但是更能保證所獲得結(jié)果的正確性與精度。

3.2 PSO算法

PSO［11］算法是一種基于群智能理論發(fā)展成的智能優(yōu)化算法，將群體中的成員描述為空間內(nèi)的一個質(zhì)點，所有個體通過適配度函數(shù)來描述其與目標(biāo)位置的距離。通過適配度函數(shù)選取種群中最優(yōu)的粒子和每個粒子最優(yōu)的位置，進(jìn)而更新粒子的位置與速度信息，最終實現(xiàn)適配度函數(shù)收斂，智能優(yōu)化目的。該算法是一種隨機搜索，全局收斂的智能算法，原理簡單，易于實現(xiàn)。數(shù)學(xué)描述為

式中 x表示空間粒子的位置；v表示粒子的速度，本文粒子中的參數(shù)為各離散時刻控制變量；w為慣性權(quán)重，用來調(diào)節(jié)粒子速度大小；δ1，δ2為兩個學(xué)習(xí)因子；rand1，rand2為兩個0～1之間的隨機數(shù)，用來描述種群內(nèi)部信息交換的學(xué)習(xí)程度；pi表示該粒子迄今為止最優(yōu)的位置；pg表示該粒子群迄今為止最優(yōu)的位置；下標(biāo)i表示粒子編號，下標(biāo)j表示粒子維度，即指粒子向量的長度。

將PSO算法應(yīng)用到軌跡優(yōu)化中需要合理地把終端約束條件反應(yīng)到適配度函數(shù)中。本文采用靜態(tài)罰函數(shù)法對終端約束進(jìn)行處理，則適配度函數(shù)可表示成如下形式：式中 σ1，σ2，σ3，σ4為懲罰因子；rp，vp為電帆到達(dá)目標(biāo)軌道時相對太陽的距離和速度。

對于轉(zhuǎn)移軌跡過程中控制量的約束，采用投影法，在PSO算法中將超出飛行區(qū)域的粒子隨機投影到限定范圍內(nèi)，滿足控制量的約束。

3.3 仿真計算及結(jié)果分析

基于上述直接打靶法＋PSO算法的優(yōu)化策略對電帆轉(zhuǎn)移軌跡進(jìn)行仿真計算?？刂屏侩x散化參數(shù)n＝10，即待優(yōu)化的參數(shù)為10個推力角α，10個特征加速度a和一個終端時刻tf，共21個參數(shù)。PSO算法中粒子個數(shù)為40，迭代次數(shù)200次，學(xué)習(xí)因子δ1＝δ2＝2.1，慣性權(quán)重為w＝1－0.003t，懲罰因子σ1＝σ2＝σ3＝1 000，σ4＝2。

圖3 地球至火星近優(yōu)最小時間轉(zhuǎn)移軌道Fig.3 Near time－optimal trajectory for an Earth－Mars transfer

（1）地球到火星轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化

電帆從地球至火星共面圓軌道轉(zhuǎn)移軌跡量綱為1化后的初始條件為（0）＝1，（0）＝0，（0）＝0，（0）＝1。末端量綱為1化的約束條件為（tf）＝1.523 6，（tf）＝0，（tf）＝0.810 1。

根據(jù)以上參數(shù)對電帆從地球至火星最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌跡進(jìn)行仿真計算，轉(zhuǎn)移軌跡精度如表1所示，結(jié)果表明本文數(shù)據(jù)較好地滿足了終端約束條件，到達(dá)預(yù)定軌道時剩余速度約為3.6m／s，總的軌道轉(zhuǎn)移時間為505.22天，相比文獻(xiàn)［7］中只增加了3天。電帆從地球至火星的近優(yōu)最小時間轉(zhuǎn)移軌跡如圖3所示。轉(zhuǎn)移軌跡過程中，相對太陽的距離、速度、特征加速度和推力角隨時間變化曲線如圖4所示。

表1 （地球—火星）狀態(tài)量終端約束情況Tab.1 （Earth－Mars）values of state variables and terminal constraints

從圖4可以看出，電帆在軌跡轉(zhuǎn)移全程中都使用最大的推力進(jìn)行工作，即特征加速度最大（數(shù)值為0.5mm／s2）。因為電帆是無工質(zhì)推進(jìn)系統(tǒng)，在不考慮能量最優(yōu)的情況下，這一結(jié)論符合實際的工作原理。整個軌道轉(zhuǎn)移過程中的推進(jìn)角變化平滑，易于控制操作，平均帆面姿態(tài)改變小于1（°）／d，對姿態(tài)控制要求較低，說明這個近優(yōu)轉(zhuǎn)移軌跡是可實現(xiàn)的。另外，轉(zhuǎn)移軌跡過程中距離和速度兩個狀態(tài)量變化平滑，飛行過程中數(shù)值不發(fā)生突變，能很好地收斂到終端約束值，表明該電帆近優(yōu)轉(zhuǎn)移軌跡能精確地從地球軌道轉(zhuǎn)移到火星軌道。

圖4 直接法＋PSO優(yōu)化的地球－火星轉(zhuǎn)移軌跡中狀態(tài)及控制量變化曲線Fig.4 Time history of state variables and control using direct method plus PSO optimization

（2）地球到金星轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化

表2 （地球－金星）狀態(tài)量終端約束情況Tab.2 （Earth－Venus）values of state variables and terminal constraints

結(jié)果表明地球至金星最小轉(zhuǎn)移時間為279.65天，且滿足終端約束精度較高，到達(dá)金星軌道時航天器剩余速度小于10m／s。在整個轉(zhuǎn)移過程中距離及速度各狀態(tài)量變化平滑，表明該電帆近優(yōu)轉(zhuǎn)移軌跡能精確地從地球軌道轉(zhuǎn)移到金星軌道。

圖5 直接法＋PSO優(yōu)化的地球－金星轉(zhuǎn)移軌跡中狀態(tài)及控制量變化曲線Fig.5 Time history of state variables and control using direct method plus PSO optimization

4 控制律設(shè)計＋PSO算法的軌跡優(yōu)化策略

通過對地球到火星的軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)進(jìn)行分析，可以知道當(dāng)航天器遠(yuǎn)離初始軌道，向外飛行時，一種最小時間控制方式為：首先使推力方向沿著航天器運動方向，最大程度地增大軌道半徑，同時使離心率增加，然后在某一時刻改變推力的方向，使軌道半徑和離心率滿足目標(biāo)軌道要求。

然而通過上述簡單的理論分析，依舊無法得到具體的控制律函數(shù)。因此，本文對直接打靶法＋PSO算法優(yōu)化策略所得結(jié)果進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)維持該最優(yōu)軌跡的推力角控制律曲線大致可以用三段二階多項式函數(shù)來近似描述，而特征加速度為常值（0.5mm／s2）。因此，設(shè)計三段二階多項式函數(shù)來逼近該最優(yōu)推力角控制律，其數(shù)學(xué)描述為

式中 ai，bi，ci（i＝1，2，3）分別為多項式參數(shù)。

4.1 約束處理

通過對多項式函數(shù)性質(zhì)的分析、電帆推力角的限制及各段控制律曲線的連接條件，為保證電帆航天器順利完成與目標(biāo)軌道的交會對接任務(wù)，本文選取的三段二階多項式函數(shù)應(yīng)分別滿足如下約束條件，為使篇幅簡潔，此處只給出地球－火星轉(zhuǎn)移軌跡約束處理。

第一段多項式函數(shù)約束：

第二段多項式函數(shù)約束：

第三段多項式函數(shù)約束：

4.2 仿真計算與結(jié)果分析

對滿足上述約束條件的多項式函數(shù)用PSO算法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，因此一共需要優(yōu)化9個多項式系數(shù)及3個時間節(jié)點，共12個參數(shù)。選用式（7）作為適配度函數(shù)，適配度函數(shù)中的懲罰因子與PSO算法中的參數(shù)采用與前面仿真計算相同的參數(shù)。電帆航天器地球－火星的轉(zhuǎn)移軌跡精度如表1所示，地球－金星的轉(zhuǎn)移軌跡精度如表2所示。地球—火星最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌跡的距離、速度和推力角隨時間的變化曲線如圖6所示。

圖6 控制律設(shè)計＋PSO優(yōu)化的地球－金星轉(zhuǎn)移軌跡中狀態(tài)及控制量變化曲線Fig.6 Time history of state variables and control using control law design plus PSO optimization

由仿真結(jié)果可以看出，采用控制律設(shè)計＋PSO算法優(yōu)化策略設(shè)計的轉(zhuǎn)移軌道，地球至火星的最小轉(zhuǎn)移時間為502.86天，與文獻(xiàn)［7］中的結(jié)果相同。地球－金星最小轉(zhuǎn)移時間為278.6天。能更好地滿足終端約束條件，距離與速度狀態(tài)量的終端相對誤差均為10－6，表明該電帆最優(yōu)軌跡能精確地從地球軌道轉(zhuǎn)移到火星、金星軌道，這種軌跡優(yōu)化策略能極大程度上逼近最優(yōu)控制律曲線。從圖6中可以看出，整個軌跡轉(zhuǎn)移過程中控制量及狀態(tài)量均變化平滑，數(shù)值無明顯突變，表明該最優(yōu)軌跡具有良好的實現(xiàn)能力。

5 結(jié)束語

電帆航天器的轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化設(shè)計對深空探測及星際航行具有重要的意義。本文針對上述問題提出了兩種原理簡單、隨機猜測初值、魯棒性強的最優(yōu)軌跡設(shè)計策略。方法一是采用直接法離散控制變量，將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃參數(shù)優(yōu)化問題，并通過PSO算法求解。方法二是一種新穎的軌跡優(yōu)化設(shè)計思路，通過對任務(wù)對象進(jìn)行分析，設(shè)計一種控制律函數(shù)，然后對該控制律函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，獲得逼近實際最優(yōu)的連續(xù)控制律函數(shù)。兩種算法均具有隨機猜測初值、全局收斂的特性，且針對不同任務(wù)對象具有良好的計算精度，魯棒性強。仿真結(jié)果表明，采用本文提出的兩種最優(yōu)軌跡設(shè)計策略，能很好地滿足終端條件的約束，且最終軌跡轉(zhuǎn)移時間接近最小時間。

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Trajectory Optimization of Electric Sail Based on Particle Swarm Algorithm

WANG Yu1WEI Yanming1LI Yong1YU Yang1BIAN Bingxiu1，2
（1Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100080）
（2Institute of Telecommunication Satellite，China Academy of Space Technology，Beijing 100094）

The electric sail is an innovative non－propellant propulsion in space which takes advantage of the momentum of the solar wind.The minimum－time interplanetary transfer problem of the electric sail was studied.The mission scenarios about transferring from the Earth to the Mars and Venus were investigated，using a continuous steering law model，in a polar inertial frame.Two direct methods based on the particle swarm optimization（PSO）algorithm were proposed，which avoided solving the two point boundary value problem （TPBVP）which was sensitive to the initial value of the costate variables.The first method used the shooting method to discretized the control variables，transforming the optimal control problem into a parameter optimization problem of nonlinear propramming.Based on the PSO algorithm，the near optimal transfer trajectory was obtained.The second method focused on the characteristics that all the continuous control laws can be fitted using the polynomial function under certain precision.A control law was designed to approximate the optimal transfer trajectory based on the analysis of the results from the first method，and the PSO algorithm was used to optimize the parameters of the designed control law.The simulation results show that both methods have the advantages of the random initial variable selection，large convergence range and good robustness.

Electric sail；Trajectory optimization；Particle swarm algorithm；Interplanetary exploration

10.3780／j.issn.1000－758X.2015.03.004

王 昱 1986年生，2012年獲北京工業(yè)大學(xué)化學(xué)工程專業(yè)碩士學(xué)位，現(xiàn)為中國空間技術(shù)研究院控制理論與控制工程專業(yè)博士研究生。研究方向為航天器軌道設(shè)計及姿態(tài)控制。

（編輯：楊嬋）

2014－08－11。收修改稿日期：2015－01－20。