承壓疊層圓柱的彈性分析

趙 倧，周 叮，王 俊，劉偉慶

(南京工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇南京 210009)

柱作為最重要的豎向承重構(gòu)件，對(duì)其承載力和延性的要求也日益提高.疊層柱是由不同材料(鋼管、混凝土、FRP等)在徑向疊合而成的各類組合柱的統(tǒng)稱，其中最常見(jiàn)的是鋼管混凝土組合柱和FRP混凝土組合柱.疊層柱中各種材料能取長(zhǎng)補(bǔ)短，充分發(fā)揮各自的優(yōu)勢(shì)，從而達(dá)到在不增大截面尺寸和自重的前提下提高承載力和延性的目的［1］.目前，分析疊層承壓圓柱的理論主要有極限平衡法、增量法.王俊等［2］和王慶利等［3］采用極限平衡法分別對(duì)FRP管-混凝土-鋼管組合柱和FRP鋼管混凝土組合柱的極限承載能力進(jìn)行了求解.M.R.Spoelstra 等［4］和 Jiang T.等［5］分別采用隱式和顯式的混凝土軸向-側(cè)向應(yīng)變關(guān)系，結(jié)合增量法理論，得出了FRP約束混凝土圓柱受壓全過(guò)程的位移-軸力曲線;Teng J.G.等［6］針對(duì)FRP約束混凝土提出一種新的應(yīng)力-應(yīng)變分析模型，該模型適用于鋼管混凝土等其他形式的約束混凝土;Lee Chung-Sheng等［7］從素混凝土圓柱的軸壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系出發(fā)，運(yùn)用增量法理論，得出FRP約束混凝土圓柱應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系.魯國(guó)昌等［8］在現(xiàn)有約束混凝土模型基礎(chǔ)上，提出一種考慮FRP管在雙向受力情況下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系分析模型.Teng J.G.等［9］運(yùn)用增量法理論提出FRP混凝土鋼管組合柱受壓全過(guò)程的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系模型.

本研究采用彈性理論對(duì)承壓疊層圓柱線彈性受力階段進(jìn)行分析，以研究軸向荷載作用下圓柱任意位置應(yīng)力和應(yīng)變值，對(duì)圓柱線彈性階段的受壓全過(guò)程進(jìn)行描述，且針對(duì)不同類型承壓疊層圓柱，提出統(tǒng)一計(jì)算方法，對(duì)其彈性受力階段進(jìn)行分析.

1 單層圓柱彈性力學(xué)解

承壓柱高L，取柱下端圓心為坐標(biāo)原點(diǎn).該柱下端置于水平地面上，上端蓋1個(gè)剛度無(wú)窮大的鋼板，在軸壓力p的作用下能使其在同一高度上的豎向位移相同，其頂端位移為Δ(計(jì)算簡(jiǎn)圖見(jiàn)圖1).

圖1 單層層壓圓柱計(jì)算簡(jiǎn)圖

基于該計(jì)算模型可以得到承壓圓柱豎向變形沿z向是線性變化的，其豎向位移uz和豎向應(yīng)變?chǔ)舲可分別表示為

該問(wèn)題為空間軸對(duì)稱問(wèn)題，則徑向位移ur為圓柱半徑r的函數(shù)，環(huán)向位移uθ=0，即

空間軸對(duì)稱問(wèn)題的平衡微分方程為

極坐標(biāo)下的物理方程為

極坐標(biāo)下的幾何方程為

令

聯(lián)立式(1)-(6)式可得

該常微分方程通解為ur=A/r+Br(A，B為待定常數(shù)).

2 疊層圓柱通用彈性力學(xué)解

當(dāng)圓柱在徑向由n層不同材料疊合而成時(shí)，其截面計(jì)算如圖2所示，圖中第i層的彈性模量為Ei，泊松比為μi.

圖2 疊層圓柱截面示意圖

由上述單層承壓圓柱計(jì)算結(jié)果可知:疊層圓柱第i層材料外邊界上的徑向位移uri(ri)和應(yīng)力σri(ri為

由于兩層材料交接面上變形協(xié)調(diào)，則

不同形式的疊層圓柱，可通過(guò)不同的內(nèi)外邊界條件來(lái)考慮:

1)當(dāng)該疊層圓柱為內(nèi)實(shí)心時(shí)，有邊界條件:

聯(lián)立方程(10)，(11)求得A1，B1，A2，B2，…，An，Bn，然后可求出每層材料的位移和應(yīng)力.

2)當(dāng)該疊層圓柱為內(nèi)空心時(shí)，有邊界條件:

聯(lián)立方程(10)，(12)求得A1，B1，A2，B2，…，An，Bn，然后可求出每層材料的位移和應(yīng)力.

3)當(dāng)疊層圓柱外層包裹FRP時(shí)，F(xiàn)RP對(duì)圓柱主要提供徑向作用力.為描述這一情況，忽略FRP的軸向作用力，運(yùn)用材料力學(xué)的方法對(duì)其進(jìn)行計(jì)算，F(xiàn)PR層的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖3所示.

圖3 FRP層計(jì)算簡(jiǎn)圖

第n層材料外邊界上由于軸向力的作用，疊層柱向外膨脹，使得FRP發(fā)生變形，F(xiàn)RP對(duì)疊層圓柱約束力f1為

式中εr為第n層材料外邊界上的徑向應(yīng)變，即

第n層材料的外邊界和FRP內(nèi)邊界上徑向應(yīng)力相等:

以式(15)分別替代式(11)和(12)中的第2式，即可對(duì)外表面纏繞FRP的實(shí)心和空心的承壓疊層圓柱的線彈性階段進(jìn)行分析.

3 疊層圓柱遞推公式

為避免對(duì)有2n個(gè)未知數(shù)方程組的求解，可采用遞推方法［10］對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行求解，取該疊層圓柱第i層和第i+1層進(jìn)行遞推，其計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖4所示.

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圖4 疊層圓柱遞推計(jì)算單元

第i層材料內(nèi)徑處的徑向位移和應(yīng)力為

第i層材料外徑處的徑向位移和應(yīng)力如式(8)所示.式(8)和(16)可轉(zhuǎn)化為矩陣形式:

根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)常數(shù)a11，a12，a21，a22，Vi1和Vi2進(jìn)行求解，可得

令

則有

同理，第i+1層材料為

由邊界條件第i層和第i+1層材料交界面上徑向位移應(yīng)力相等可得

聯(lián)立式(18)-(20)，可得

當(dāng)疊層圓柱為實(shí)心和內(nèi)空心時(shí)，有邊界條件(11)和(12)，分別與式(22)聯(lián)立，即可求出第1，n層材料的位移和應(yīng)力，然后根據(jù)遞推公式(17)，可對(duì)任意層材料的位移和應(yīng)力進(jìn)行求解.

4 比較和參數(shù)研究

為檢驗(yàn)本方法，現(xiàn)將3類典型的疊層圓柱線彈性階段承載力的本方法解與有限元解進(jìn)行對(duì)比.疊層圓柱截面如圖5所示.

圖5中，1代表混凝土，其彈性模量和泊松比分別為E1=25 000 MPa，μ1=0.20;2代表鋼管，其彈性模量和泊松比分別為E2=200 000 MPa，μ2=0.30;3代表FRP，其彈性模量EFRP=3 000 MPa.疊層圓柱高800 mm，柱頂端在軸壓力p作用下，產(chǎn)生位移Δ=-1.0 mm.圖5中半徑單位為毫米.

圖5 典型疊層圓柱截面

表1為3種典型的疊層圓柱承載力的本方法解p本與有限元解p有的比較.有限元采用ANSYS建模，選用 solid45單元分析混凝土和鋼管，采用shell41單元分析FRP.由表1可知，由于本方法考慮各層材料泊松比的不同產(chǎn)生的層間應(yīng)力，因而與有限元解吻合較好.

表1 疊層圓柱承載力的2種方法計(jì)算結(jié)果比較

為考慮混凝土泊松比μ變化對(duì)疊層圓柱軸壓性能的影響，以中空夾層鋼管混凝土柱為例，中間層混凝土泊松比為0.10～0.49，其他條件均不變，計(jì)算結(jié)果如表2所示.

表2 不同泊松比時(shí)內(nèi)空心疊層圓柱的軸力 kN

由表2可知，當(dāng)泊松比為0.30時(shí)，即每層材料泊松比都相同時(shí)，每層材料徑向變形一致，層與層之間不存在徑向應(yīng)力，故不考慮泊松比的傳統(tǒng)方法與本方法解的一致;當(dāng)每層材料泊松比不同時(shí)，由表1，2可知，不考慮泊松比影響的傳統(tǒng)方法與本方法結(jié)果就存在差異，且隨著層間泊松比差值的增大，該誤差也明顯增加.

當(dāng)內(nèi)層材料為混凝土?xí)r，在混凝土開(kāi)裂前泊松比較小，可采用傳統(tǒng)方法計(jì)算其軸壓力.隨著混凝土裂縫的開(kāi)展，其泊松比變大，采用傳統(tǒng)方法會(huì)造成較大誤差，因而是不可取的.

5 結(jié)論

1)采用彈性理論對(duì)軸向壓力作用下的疊層圓柱進(jìn)行分析.考慮三向應(yīng)力的影響，分別求得每一疊層的彈性力學(xué)解，然后通過(guò)層間變形協(xié)調(diào)關(guān)系，建立從疊層圓柱內(nèi)層內(nèi)邊界到外層外邊界間的遞推關(guān)系，最后通過(guò)內(nèi)外邊界條件對(duì)疊層圓柱內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變進(jìn)行求解，進(jìn)而得出與軸向位移相對(duì)應(yīng)的軸壓力值，計(jì)算結(jié)果與有限元軟件ANSYS符合較好.

2)當(dāng)混凝土進(jìn)入非線性階段，由于開(kāi)裂等原因，混凝土與鋼管等材料間的擠壓應(yīng)力變大，采用不考慮該因素的傳統(tǒng)方法對(duì)其進(jìn)行分析必將造成較大的誤差.

3)本研究只考慮了疊層圓柱線彈性階段的受力性能，對(duì)疊層圓柱非線性階段的受力性能和疊層方柱力學(xué)性能還有待進(jìn)一步研究.

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