基于距離限制的改進(jìn)Kriging模型的可靠度計算方法

方智勇 郭細(xì)偉 馬亞濤 駱仁杰 周 俊

(武漢理工大學(xué)船海與能源動力工程學(xué)院1) 武漢 430063) (武漢理工大學(xué)交通與物流工程學(xué)院2) 武漢 430063)

0 引 言

實(shí)際工程由于環(huán)境和施工等不確定因素，無法完全按照設(shè)計要求進(jìn)行，造成結(jié)構(gòu)的可靠度計算無法得出確定的結(jié)果．而且，隨著結(jié)構(gòu)的大型化和復(fù)雜化，傳統(tǒng)的可靠度計算方法已經(jīng)無法滿足現(xiàn)代的可靠度計算要求．大型復(fù)雜的工程結(jié)構(gòu)其功能函數(shù)大多都是非線性的和隱式的，需要借助有限元分析計算，這使得可靠度計算十分耗時，因此提出一種新的高效率、高精度的代理模型計算方法來求解結(jié)構(gòu)的可靠度，從而避免對非線性的隱式功能函數(shù)求導(dǎo)[1]．

代理模型被用來解決工程中功能函數(shù)為隱式函數(shù)和計算量大的問題，包含支撐向量機(jī)、多項(xiàng)式響應(yīng)面法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Kriging模型等．Kriging模型作為其中的一種代理模型，不需建立特定的多項(xiàng)式和數(shù)學(xué)公式，使用更為方便．

Kriging模型的精度和建立模型的樣本點(diǎn)數(shù)目關(guān)系密切，通過增大樣本點(diǎn)可以提高模型的精度．但對大型結(jié)構(gòu)，功能函數(shù)復(fù)雜多變，增大樣本點(diǎn)的方法使得計算量太大了，在實(shí)際工程中無法廣泛運(yùn)用．為解決這種弊端，將主動學(xué)習(xí)函數(shù)引入到Kriging模型建立過程中，通過主動學(xué)習(xí)函數(shù)序列選取最佳樣本點(diǎn)并加入到初始樣本點(diǎn)中，來更新Kriging模型．基于這種思路，提出AK-MCS和EGRA方法[2]，并不斷改進(jìn)和研究更加高效的選點(diǎn)方法，如多失效模式的可靠度計算[3]，引入差分進(jìn)化算法[4]，新IEGO學(xué)習(xí)函數(shù)[5]等．

在利用主動學(xué)習(xí)函數(shù)構(gòu)建Kriging模型過程中，序列選取的最佳樣本點(diǎn)，會因?yàn)檫x點(diǎn)策略的原因，導(dǎo)致新加入的最佳樣本點(diǎn)會過于集中，陷入局部最優(yōu)解．這會造成學(xué)習(xí)函數(shù)選取了大量信息冗余重復(fù)的點(diǎn)，計算資源被大量浪費(fèi)，影響了計算效率．因此，文中在主動學(xué)習(xí)函數(shù)加點(diǎn)過程中引入最佳樣本點(diǎn)之間的距離限制條件，避免了最佳樣本點(diǎn)過分集中造成信息冗余，從而提高模型的計算效率．

1 Kriging模型

Kriging模型作為插值方法，通過未知點(diǎn)周圍的信息來預(yù)測該點(diǎn)的響應(yīng)值，并通過已知的統(tǒng)計特征來預(yù)測信息的動態(tài)和趨勢，因此Kriging模型被視為最優(yōu)的線性無偏估計方法[6]．Kriging代理模型方法相比其他模型不需要建立一個具體的數(shù)學(xué)模型，使得這種方法的使用范圍更加廣泛．

Kriging模型由回歸項(xiàng)和隨機(jī)誤差這兩部分組成．對于個維樣本點(diǎn)S=[x1,…,xi]，其對應(yīng)的響應(yīng)值Y=[G(x1)…G(xi)]T，由樣本和響應(yīng)值之間的關(guān)系建立Kriging為

(1)

式中：回歸項(xiàng)的fT(x)=f1(x)…fm(x)為基函數(shù)向量，主要用于功能函數(shù)的整體模擬；β=[β1,…,βm]T為回歸系數(shù)向量；z(x)為隨機(jī)過程誤差函數(shù)，主要提供模擬的誤差，其服從正態(tài)分布N(0,σ2)，協(xié)方差為

Cov(z(x),z(w))=σ2R(θ,x,w)

(2)

式中：σ為隨機(jī)過程的標(biāo)準(zhǔn)差；R(θ,x,w)為空間范圍中任意兩點(diǎn)x和w的空間相關(guān)函數(shù)；θ為相關(guān)參數(shù)．R函數(shù)有多種形式，其中高斯過程函數(shù)適用于非線性較強(qiáng)的功能函數(shù)問題．高斯方程的形式為

(3)

式中：θ為相關(guān)參數(shù)，可通過最大似然估計求得.

(4)

式中：R為相關(guān)矩陣，對于任意θ都有與之對應(yīng)的一個插值模型．

對于給定的樣本點(diǎn)，回歸系數(shù)β和隨機(jī)過程方差σ2的估計值由下式計算得出

(5)

(6)

式中：F為Fij=fj(xi)．

(7)

(8)

2 Monte Carlo算法計算可靠度

Monte Carlo 模擬(monte carlo simulation，MCS)又稱統(tǒng)計實(shí)驗(yàn)方法，在已知功能函數(shù)的具體形式和隨機(jī)變量的概率分布時，使用MCS方法計算結(jié)構(gòu)的可靠度精度高，簡易方便．MCS計算結(jié)果更接近真實(shí)結(jié)果，適用于并行計算，唯一的缺點(diǎn)是計算量太龐大[7]．

MCS根據(jù)變量的統(tǒng)計分布類型，生成大量的符合分布的隨機(jī)數(shù)，將隨機(jī)數(shù)代入到函數(shù)式中，計算并分析所得到的結(jié)果．在結(jié)構(gòu)可靠度計算方面，MCS方法根據(jù)隨機(jī)變量的分布生成隨機(jī)數(shù)，代入到功能函數(shù)Z=G(x)中進(jìn)行計算．當(dāng)Z<0時，記I(G(xi))=1；當(dāng)Z>0時，記I(G(xi))=0．則失效概率Pf為

(9)

失效概率的變異系數(shù)為

(10)

當(dāng)變異系數(shù)小于5%時，說明MCS方法生成的樣本群數(shù)目足夠大，滿足失效概率計算的精度要求．

3 主動學(xué)習(xí)Kriging模型可靠度算法

3.1 EFF學(xué)習(xí)函數(shù)

高效全局主動(EGO )方法由于采用EI(expected improvement)函數(shù)選取最佳樣本，而EI函數(shù)不是在功能函數(shù)的極限狀態(tài)附近搜尋點(diǎn)，因此難以準(zhǔn)確計算可靠度[8-9]．Bichon等[10]基于EGO方法提出了全局可靠性分析(EGRA)方法．該方法采用EFF函數(shù)作為主動學(xué)習(xí)函數(shù)的評價指標(biāo)(expected feasibility function)，被用來解決工程中功能函數(shù)是非線性且為隱式的可靠度計算問題．EFF指標(biāo)說明了功能函數(shù)預(yù)測值在范圍的概率大小，EFF的表達(dá)式為

(11)

x*=arg(max(EFF(x)))

(12)

調(diào)用真實(shí)功能函數(shù)，計算最佳樣本點(diǎn)x*所對應(yīng)的響應(yīng)值G*，將(x*,G*)加入到初始樣本集中，重新建立Kriging模型，并計算EFF(x)，直到滿足條件：max(EFF(x))≤0.001，停止迭代，得到最終的模型．

3.2 基于距離限制的改進(jìn)主動學(xué)習(xí)方法

MCS產(chǎn)生的樣本群較大，樣本點(diǎn)集中，容易出現(xiàn)學(xué)習(xí)函數(shù)所選取的最佳樣本點(diǎn)聚集在一起，造成信息冗余，降低計算效率．基于此種情況，在EFF主動學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)上引入最佳樣本點(diǎn)之間的距離限制，提出EFF(DC)(distance constraint)方法．

令x為初始樣本群S中的任意一個樣本點(diǎn)，x*為EFF函數(shù)所選取的最佳樣本點(diǎn)，在將(x*,G*)加入到初始樣本群S之前，計算x與x*之間的歐幾里得距離d：

(13)

當(dāng)x*與樣本群S中所有的樣本點(diǎn)距離都滿足要求，即d大于某個值時，將該點(diǎn)加入到樣本群S中，進(jìn)入到下一個循環(huán)．d的距離是根據(jù)具體的函數(shù)而有所變化的，在一般正態(tài)分布隨機(jī)變量中，取0.1～0.3的數(shù)值．當(dāng)d小于允許的最小距離時，舍棄該點(diǎn)，再通過EFF函數(shù)選擇另外的一個最佳樣本點(diǎn)，計算相應(yīng)的距離并進(jìn)行比較，直到出現(xiàn)滿足距離限制條件的最佳樣本點(diǎn)．將該點(diǎn)加入S中，更新Kriging模型．這樣的優(yōu)化選點(diǎn)方法是避免了最佳樣本點(diǎn)靠近已有的樣本點(diǎn)，從而造成信息冗余，且采用EFF函數(shù)評價樣本點(diǎn)確保了Kriging模型的模擬精度．

3.3 基于距離的EFF算法可靠度計算流程

基于主動學(xué)習(xí)Kriging模型和3.2所提出的距離限制方法—EFF(DC)，結(jié)構(gòu)可靠度計算流程圖見圖1．

圖1 計算流程圖

4 算例分析

為驗(yàn)證EFF(DC)相比其他方法具備高效性，提出三個實(shí)際算例進(jìn)行驗(yàn)證．將EFF(DC)和EGO、EFF、U三種主動學(xué)習(xí)函數(shù)算法的計算結(jié)果進(jìn)行對比，通過結(jié)果說明EFF(DC)優(yōu)化方法更加高效．將MCS方法計算所得的結(jié)果失效概率Pf作為標(biāo)準(zhǔn)解，其他方法的計算結(jié)果和標(biāo)準(zhǔn)解比較，用相對誤差表征計算結(jié)果的誤差大小，相對誤差為

(14)

通過相對誤差和調(diào)用真實(shí)函數(shù)次數(shù)來評價模型的精度和效率．

4.1 一維模型

采用文獻(xiàn)[11]中的一個算例，其隨機(jī)變量x服從N(2.5,0.52)，具體的函數(shù)如下.

G(x)=1.041 7x5-13.25x4+

59.792x3-112.75x2+75.167x

(15)

為展示不同方法的計算精度和效率，選擇相同的初始樣本集，S=[0,1,2,2.5,5]，用于MCS生成在均值±3σ附近，且數(shù)目為105的候選樣本集．對于S，調(diào)用功能函數(shù)計算S中對應(yīng)樣本點(diǎn)的真實(shí)響應(yīng)值，并構(gòu)建Kriging模型．通過學(xué)習(xí)函數(shù)增加樣本點(diǎn)不斷更新優(yōu)化Kriging模型，最后優(yōu)化后的Kriging模型和優(yōu)化過程中所加入的最佳樣本點(diǎn)見圖2，由此計算的可靠度結(jié)果見表1．

圖2 算例1中不同學(xué)習(xí)方法的Kriging模型和樣本點(diǎn)分布

表1 算例1可靠度計算結(jié)果

由圖2可知：①EGO方法的選取的最佳樣本點(diǎn)更多集中在全局最小值附近，擬合精度較好；②U方法的所選取的最佳樣本點(diǎn)集中在1.5～2.5和3.5～4區(qū)間；③EFF方法雖然選點(diǎn)策略選取的是極限狀態(tài)附近的點(diǎn)，但最佳樣本點(diǎn)整體分布均勻；④EFF(DC)選擇的最佳樣本點(diǎn)均勻分布在整個區(qū)間，所需的樣本點(diǎn)比EFF方法少．

用MCS方法的計算所得的結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)解，四種主動學(xué)習(xí)函數(shù)的結(jié)算結(jié)果與其做對比，四種學(xué)習(xí)函數(shù)的計算所選的計算樣本群數(shù)量為105．由表1可知：表1中Ncall為初始樣本點(diǎn)數(shù)加上最佳樣本點(diǎn)數(shù)的和．四種方法的失效概率和真實(shí)函數(shù)調(diào)用次數(shù)差距不大，EFF(DC)所需的功能函數(shù)評價次數(shù)與其他一樣，但誤差比其他?。?/p>

4.2 四分支串聯(lián)系統(tǒng)問題

本算例的四分支串聯(lián)系統(tǒng)的功能函數(shù)為

(16)

式中x1和x2為獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量．

該算例的極限狀態(tài)函數(shù)見圖3．

圖3 四分支串聯(lián)系統(tǒng)極限狀態(tài)函數(shù)

針對本算例，在樣本空間[-3,3]上分別用四種學(xué)習(xí)函數(shù)構(gòu)建Kriging模型，并計算可靠度．優(yōu)化后的Kriging模型與優(yōu)化過程的最佳樣本點(diǎn)分布情況見圖4．

圖4 算例2中不同學(xué)習(xí)方法的Kriging模型和樣本點(diǎn)分布

由圖4可知：①EGO方法由于其本身就適用于最小值插值優(yōu)化過程的選點(diǎn)策略，所有在本算例中表現(xiàn)較好，所需的最佳樣本點(diǎn)數(shù)較少，且分布比較均勻；②EFF方法和U方法擬合程度均較好，但U方法其選點(diǎn)在一些區(qū)域過于集中，選點(diǎn)過多，EFF方法的最佳樣本點(diǎn)數(shù)較少；③EFF(DC)的點(diǎn)均勻分布，不論在極限狀態(tài)面附近還是內(nèi)部均有最佳樣本點(diǎn)，分布的最佳樣本點(diǎn)不像U方法一樣集中．

在算例2中，不同模型的可靠度計算結(jié)果見表2．其中EGO方法真實(shí)功能函數(shù)計算次數(shù)較少，但其失效概率的計算誤差很大，結(jié)果不信；EFF和U方法的失效概率和誤差相差不大，但EFF方法的真實(shí)功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)更少．EFF(DC)僅調(diào)用真實(shí)函數(shù)52次，得到的計算結(jié)果誤差為4.54%，對比于另外三種方法，既能保證計算的精度，調(diào)用的真實(shí)功能函數(shù)也較少．

表2 算例2可靠度計算結(jié)果

4.3 Rastrigin非線性函數(shù)

選擇Rastrigin函數(shù)是因?yàn)槠浞蔷€性程度很高，且一直作為評價全局優(yōu)化算法的算例，其函數(shù)表達(dá)式為

(17)

式中，x1和x2均為獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量．本算例中初始樣本點(diǎn)集在附近0±3范圍內(nèi)獲取，用拉丁超立方抽樣．針對不同學(xué)習(xí)方法優(yōu)化后的所得到Kriging模型和優(yōu)化過程中的最佳樣本點(diǎn)見圖5．

圖5 算例3中不同學(xué)習(xí)方法的Kriging模型和樣本點(diǎn)分布

由圖5可知：①EGO方法所選取的的最佳樣本點(diǎn)太少，且均集中在極限狀態(tài)函數(shù)的外圍，內(nèi)部基本沒有最佳樣本點(diǎn)，其擬合模型的效果很差；②U方法的所選取的最佳樣本點(diǎn)集中在G=0上；③EFF方法選取的最佳樣本點(diǎn)在整個空間上分布均勻，擬合效果較好；④EFF(DC)，選點(diǎn)分布均勻，但所需樣本點(diǎn)比EFF方法點(diǎn)更少．

本算例的可靠度計算結(jié)果見表3，每種方法均計算50次，失效概率取這50次結(jié)果的均值，其標(biāo)準(zhǔn)差為Std，考察主動學(xué)習(xí)方法的穩(wěn)定性．由表3可知：①EGO方法雖然所需要計算真實(shí)功能函數(shù)的次數(shù)最少，但失效概率為1.6%，與MCS方法的結(jié)果相差太大，相對誤差為77.64%，該方法的可靠度計算的結(jié)果不可靠．②U和EFF兩種方法的真實(shí)函數(shù)調(diào)用次數(shù)相近，分別是449和433次，在計算精度和穩(wěn)定性上，兩者也相差不大．③EFF(DC)方法，和U、EFF兩種方法相比，調(diào)用的真實(shí)函數(shù)次數(shù)大大減少，只用計算335次的真實(shí)功能函數(shù)，失效概率的計算誤差也較小，為0.1%．從平均值和方差看出EFF(DC)的穩(wěn)定性也在可接受范圍內(nèi)．

表3 算例3可靠度計算結(jié)果

5 結(jié) 論

1) 基于主動學(xué)習(xí)方法，更新優(yōu)化Kriging模型．該方法充分發(fā)揮了有限的樣本信息，使優(yōu)化后的模型更加貼近真實(shí)的功能函數(shù)，提高了計算的精度和效率．

2) 將距離限制條件加入到主動學(xué)習(xí)函數(shù)選點(diǎn)過程中，減少了樣本信息的重復(fù)積累，減少了有限元等數(shù)值計算的次數(shù)，提高了計算效率．通過案例的分析，EFF(DC)能夠減少構(gòu)建Kriging模型所需的樣本點(diǎn)數(shù)量，有效提高計算的效率，并且能夠保證計算結(jié)果的精度．

3) EFF(DC)方法并不涉及到具體的功能函數(shù)計算，因此該方法能夠用于其他實(shí)際問題，具有廣泛性．