張力下的板形屈曲臨界載荷和寬度分析*

戴杰濤　李烈軍　戴文笠　張祖江

(1.華南理工大學 機械與汽車工程學院, 廣東 廣州510640; 2.寶鋼集團 廣東韶關(guān)鋼鐵有限公司, 廣東 韶關(guān) 512123)

張力下的板形屈曲臨界載荷和寬度分析*

戴杰濤1李烈軍1戴文笠2張祖江2

(1.華南理工大學 機械與汽車工程學院, 廣東 廣州510640; 2.寶鋼集團 廣東韶關(guān)鋼鐵有限公司, 廣東 韶關(guān) 512123)

摘要：針對現(xiàn)場板帶材的實際板形瓢曲情況,在分析以往板帶材屈曲按全板寬進行計算的解析模型的基礎(chǔ)上,文中采用壓應(yīng)力區(qū)域作為板形瓢曲變形區(qū)域,以反映現(xiàn)場的實際板形情況,并據(jù)此建立了張力影響板形瓢曲變形的解析計算模型,獲得了不同張力大小情況下板帶材的臨界屈曲載荷與寬度的變化情況:臨界屈曲載荷隨張力的增大而增大,而臨界屈曲寬度隨張力的增大而減小,與現(xiàn)場的實際情況一致.為進一步驗證解析計算結(jié)果,建立了張力作用下板帶材瓢曲的有限元計算模型,仿真計算結(jié)果與解析計算結(jié)果基本一致.

關(guān)鍵詞：板帶材;張力;屈曲;有限元

張力對整體浪形的影響一直是板形瓢曲計算領(lǐng)域的一個薄弱環(huán)節(jié),因為在實際的生產(chǎn)過程中,帶鋼是一個整體,隨著張力的增大,板帶材的壓應(yīng)力會隨之變化,導(dǎo)致板形瓢曲區(qū)域也發(fā)生變化.同時,有限元仿真計算結(jié)果也表明,在板形瓢曲計算中,張力越大,屈曲寬度越小.現(xiàn)有張力對板形瓢曲變形影響的研究主要集中在連續(xù)退火爐內(nèi)張力對熱瓢曲的影響[1-5],有關(guān)張力對熱、冷連軋過程中板形瓢曲變形影響的研究相對較少[6-9],最常見的方法是在解析研究過程中忽略張力對板形瓢曲變形寬度的影響,認為在不同張力情況下板形瓢曲變形的寬度保持不變[6,9],計算結(jié)果不能有效地反映板帶材張力對板形瓢曲變形寬度的影響.此外,以往對現(xiàn)場板形瓢曲進行解析計算時,均認為鋼板的屈曲區(qū)域是整體寬度的[10-14],但在實際的生產(chǎn)過程中,不管有沒有張力,板帶材的瓢曲區(qū)域均沒有達到整體寬度,只是在部分寬度內(nèi)發(fā)生,因此,如果按整體寬度對板帶材的臨界屈曲載荷進行計算,獲得的臨界屈曲載荷往往要小于實際的板形臨界屈曲載荷值.以往按整體寬度對冷軋后薄帶鋼板形瓢曲行為進行計算,獲得的臨界屈曲載荷均很小[8-9,11,14],以寬為1 600 mm、厚為1 mm的鋼板為例,按文獻[11]方法計算獲得的臨界屈曲載荷為1.512 MPa,折算到板形浪形為0.2 IU(1 IU表示100 m長的板帶材縱向延伸差為1 mm).按后屈曲計算,如果其浪形達到5 IU,則其浪形高度將達到10 mm以上,而實際浪形的控制標準為高度在3 mm以內(nèi),相應(yīng)的浪形在5 IU以內(nèi),顯然上述計算結(jié)果不符合現(xiàn)場的實際情況.

針對上述問題,文中采用壓應(yīng)力區(qū)作為板形瓢曲變形區(qū)域?qū)ΜF(xiàn)場實際板形情況進行跟蹤分析,建立了張力影響板形瓢曲變形的解析計算模型,以解決采用全板寬計算導(dǎo)致臨界屈曲載荷偏小的問題;同時將張力引入解析模型,以解決以往解析模型在考慮張力時不能有效反映張力對板形瓢曲寬度影響的問題.為進一步驗證解析計算結(jié)果,文中還建立了張力作用下板帶材瓢曲變形的有限元仿真分析模型,以驗證解析計算模型的正確性.

1張力對板形瓢曲影響的解析計算

1.1　張力作用下板材的載荷函數(shù)

根據(jù)現(xiàn)場鋼板的板形應(yīng)力情況,以板中心為坐標原點,y表示縱向位置,x表示橫向位置,可以將鋼板的板形載荷定義為(文中在計算時均以中浪為例進行分析),

(1)

式中:Ny為鋼板沿寬度方向的載荷分布值;N0為邊界不均勻分布載荷尖峰值;b為鋼板寬度;l、m、n為常數(shù),其數(shù)值根據(jù)板形儀上顯示的板形曲線進行擬合得到;dN為待定常數(shù).

考慮到板形應(yīng)力應(yīng)滿足自平衡條件[8-12],即

(2)

可以求出式(1)中待定常數(shù)dN:

(3)

設(shè)板材受到的張力為Nz,則板材的載荷為

(4)

1.2　板形瓢曲區(qū)域的分析

在以往的板形瓢曲計算過程中,往往認為板形的瓢曲區(qū)域為整體寬度,而從圖1所示的中浪及板形應(yīng)力圖可以看出,鋼板的起浪區(qū)域不是整體寬度,而是受壓應(yīng)力作用的區(qū)域.同時從受力角度分析也可以知道,鋼板在受拉應(yīng)力區(qū)域不能發(fā)生板形瓢曲變形.因此,文中在對板形瓢曲進行解析計算時,將鋼板的瓢曲區(qū)域限定在受壓應(yīng)力區(qū)域.

圖1　在拉、壓應(yīng)力作用下板材的中浪變形實物圖Fig.1　Photo of plate central wave deformation under tensile and compressive stress

因此,對于式(4)所示的載荷情況,板材的瓢曲區(qū)域可以通過下式獲得:

(5)

bw=f (b,Nz/N0)

(6)

1.3　浪形函數(shù)

從上述浪形瓢曲區(qū)域的分析可以看出,發(fā)生浪形瓢曲變形的區(qū)域為Ω1[-bw,bw;-a,a],而非整個方板區(qū)域Ω[-b,b;-a,a],屈曲區(qū)域的長度a為浪形的半波長,其具體取值由能量最低原理確定.

根據(jù)現(xiàn)場的實際浪形模態(tài)特征,取板形瓢曲區(qū)域兩側(cè)邊為固支約束,則撓度函數(shù)W(x,y)應(yīng)滿足如下邊界條件:

(7)

在滿足上述邊界條件的情況下,根據(jù)現(xiàn)場浪形函數(shù)案例的實測,浪形的撓度函數(shù)可描述成如下數(shù)學表達式:

(8)

式中,A為撓度幅值.

撓度函數(shù)W的仿真結(jié)果如圖2所示,顯然此撓度函數(shù)更符合圖1所示的實際板形情況.

圖2　撓度函數(shù)仿真結(jié)果Fig.2　Simulation result of deflection function

1.4　臨界屈曲載荷的求解

根據(jù)小撓度理論和能量原理[14-15],屈曲時刻對應(yīng)的臨界狀態(tài)由式(9)獲得:

T=U

(9)

其中,微彎狀態(tài)下矩形板帶材的彎曲變形能U為

(10)

作用在中面內(nèi)的中面內(nèi)力做功T為

(11)

式中，Nx為鋼板沿長度方向的載荷分布值，Nxy為鋼板剪切載荷分布值.文中討論的現(xiàn)場鋼板情況下的Nx和Nxy值均為0.

由此可知,式(7)-(9)構(gòu)成了求解屈曲載荷N0的方程組.獲得N0的表達式

(12)

引入

θ=a/bw

(13)

根據(jù)臨界屈曲載荷最小,對臨界載荷N0求θ的偏導(dǎo),則有

(14)

從而獲得θ=2/3.

將θ=2/3及式(6)、(13)代入式(12)中,可以獲得

N0=f(Nz,b,h)

(15)

在給定張力Nz的情況下,通過式(15)獲得臨界屈曲載荷后代入式(6)中,可以進一步獲得張力作用下板材的臨界屈曲寬度.

1.5　與整體寬計算結(jié)果對比

為了驗證采用壓應(yīng)力區(qū)域?qū)挾茸鳛榍鷮挾扔嬎憬Y(jié)果的正確性,針對現(xiàn)場某塊規(guī)格為板寬2b=1 600 mm、厚度h=1.0 mm的鋼板進行了跟蹤,此鋼板在軋制過程中板形儀上顯示鋼板的板形應(yīng)力為4.89 IU,板形應(yīng)力函數(shù)如式(16)所示,在檢測平臺上測量得到的浪高大約為3.3 mm.

Ny=N0x2

(16)

針對上述現(xiàn)場的實際鋼板,在張力為0的情況下,按壓應(yīng)力區(qū)域屈曲計算獲得的臨界屈曲載荷為4.284 MPa,而以整體寬計算獲得的臨界屈曲載荷為1.512 MPa.為了更好對比兩者的計算結(jié)果,采用攝動法[14-15]對后屈曲路徑進行計算(具體計算過程在此不作贅述),按壓應(yīng)力區(qū)域屈曲在延伸差為4.89 IU(即內(nèi)應(yīng)力載荷為10.27 MPa)的情況下,獲得的浪高為4.16 mm,而按整體寬計算獲得的浪高為10.35 mm,顯然按壓應(yīng)力區(qū)域進行計算更符合現(xiàn)場的實際情況.

1.6　算例分析

針對1.5節(jié)中的鋼板情況,文中計算了不同張力情況下板形的臨界屈曲載荷和寬度.

在彈性模量E=210 GPa、泊松比μ=0.3的情況下,板形的臨界屈曲載荷和寬度隨張力的變化如圖3所示.從圖中可以看出:板帶材的臨界屈曲載荷隨著張力的增大而增大,并且近似呈直線增長;隨著張力的增大,板帶材的臨界屈曲寬度迅速降低,達到一定的值后下降趨勢趨于平緩.

圖3　臨界屈曲載荷和寬度隨張力的變化曲線Fig.3　Changing curves of critical buckling load and width with outer tension

為了進一步驗證上述計算結(jié)果,對活套上同樣規(guī)格的鋼板進行了不同張力調(diào)整試驗,從試驗中可以看出,當張力增大時,活套上鋼板的浪形寬度會變小,這與圖3(a)的計算結(jié)果一致,同時隨著張力的增大,本來有浪形的鋼板會被拉直(即鋼板的臨界屈曲載荷增大),這與圖3(b)的計算結(jié)果也一致.這從側(cè)面驗證了文中建立的張力對板形屈曲影響解析模型的正確性.

2張力對板形屈曲影響的有限元仿真

為了進一步分析張力對板形屈曲的影響,也進一步驗證解析計算過程的正確性,文中應(yīng)用ANSYS有限元軟件對承受張力的板帶材進行了仿真分析[16].

2.1　模型參數(shù)與網(wǎng)格劃分

由于Shell63單元具有彎曲和薄膜兩種功能,可以承受面內(nèi)載荷和法向載荷,同時其已經(jīng)考慮了應(yīng)力強化和大變形,因此文中采用Shell63單元來劃分網(wǎng)格.

選取材料性能參數(shù)如下:彈性模量為210 GPa,泊松比為0.3,帶鋼沿各方向的熱膨脹系數(shù)為1.2×10-6/℃,厚度為0.001 m.

這里可以直接建立一個矩形面積作為帶鋼模型,并令原點為模型的中心點,x、y方向分別為帶鋼的寬度方向(橫向)和長度方向(縱向),面積尺寸初步定為8 000 mm×1 600 mm(長度×寬度,分析過程中寬度保持不變),網(wǎng)格數(shù)為30×150.

2.2　約束及邊界載荷

根據(jù)軋制理論可以知道，帶鋼的縱向瓢曲浪形是由于帶鋼縱向延伸在寬度方向上的分布不一致.為了描述這種不一致的縱向延伸分布,文中采用不均勻的溫度場來描述帶鋼的不均勻延伸,同時對載荷離散化后將離散化的數(shù)據(jù)添加到每個節(jié)點上,這樣就構(gòu)成了中浪求解的載荷條件.在帶鋼的端邊界上以節(jié)點載荷的形式給定張力,其合力與帶鋼的張力大小一致.對于模型的邊界約束,以中浪為例,給定圖4所示的約束條件.

圖4　張力下板帶材屈曲的有限元模型Fig.4　Finite element model of strip plate buckling under tension

2.3　張力條件下板形縱向瓢曲模態(tài)

圖5給出了張力條件下的鋼板瓢曲浪形模態(tài),從圖中可以看出,在張力條件下鋼板的浪形模態(tài)在寬度方向上不是鋼板的整體寬度,而是部分寬度,這驗證了文中對張力條件下帶鋼采用壓應(yīng)力區(qū)域而非整體寬度進行計算的正確性.

圖5　張力下板帶材的屈曲模態(tài)Fig.5　Buckling modal of strip plate under tension

2.4　張力對臨界屈曲載荷和寬度的影響

不同張力情況下板帶材的臨界屈曲載荷和寬度的解析計算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果比較如圖6所示,從圖中可以看出:在不同張力情況下,板帶材的臨界屈曲載荷隨著張力的增加而增加,有限元仿真計算結(jié)果小于解析計算結(jié)果,這是因為在解析計算過程中,固支約束邊界給定在板帶材的實際邊部,而不是在發(fā)生瓢曲區(qū)域的邊部,這使得實際發(fā)生瓢曲區(qū)域的邊界約束要比解析計算的邊界約束弱;隨著張力的增大,板帶材的臨界屈曲寬度減少,有限元仿真結(jié)果大于解析計算結(jié)果,這同樣是由于有限元計算過程中添加的約束條件與解析計算中添加的約束條件不一致造成的.

圖6　臨界屈曲栽荷和寬度的解析計算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果比較Fig.6　Comparison of critical buckling load and width betweenresolution results and finite element simulation results

3結(jié)論

文中采用壓應(yīng)力區(qū)域而不是全板寬作為板形瓢曲變形區(qū)域?qū)ΜF(xiàn)場實際板形情況進行跟蹤分析,建立了張力影響板形瓢曲變形的解析計算模型,獲得了不同張力情況下板帶材的臨界屈曲載荷和寬度的變化情況.為進一步驗證解析計算結(jié)果,文中還建立了張力作用下板帶材瓢曲變形的有限元仿真分析模型,獲得的仿真結(jié)果驗證了解析計算模型的正確性.

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Analysis of Critical Load and Width of Plate-Shaped Buckling under Tension

DaiJie-tao1LiLie-jun1DaiWen-li2ZhangZu-jiang2

(1. School of Mechanical and Automotive Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640, Guangdong,

China; 2. Shaoguan Iron and Steel Co.Ltd., Baosteel Group, Shaoguan 512123, Guangdong, China)

Abstract:Based on the actual plate and strip buckling situation in the site and by analyzing the analytic model of plate and strip buckling, which used to be calculated as a whole, this paper takes the compressive stress region as the plate-shaped buckling deformation region to reflect the actual plate shape situation in the site, and then establishes an analytic calculation model of the outer tension affecting the plate-shaped buckling deformation. Thus, the changes of the critical buckling load and critical width of plate and strip are obtained under different outer tensions, that is, with the increase of tension, the critical buckling load increases while the critical width decreases, which accords well with the actual situation in the site. In order to further verify the analytic calculation result, a finite element calculation model of the plate and strip buckling is established under outer tensions, and the simulation result is consistent with the analytic calculation one.

Key words:plate and strip; tension; buckling; finite element

中圖分類號：TG335.5

doi：10.3969/j.issn.1000-565X.2015.09.017

作者簡介：戴杰濤(1982-)，男，博士后，工程師，主要從事冶金機械力學行為和板帶鋼板形的機理分析與控制研究.E-mail： djt66008@163.com

*基金項目：中國博士后科學基金資助項目(2014M562168)

收稿日期：2015-03-10

文章編號：1000-565X(2015)09-0107-06

Foundation item： Supported by the China Postdoctoral Science Foundation(2014M562168)