墻體內(nèi)熱濕耦合過程的時域遞歸展開算法

墻體內(nèi)熱濕耦合過程的時域遞歸展開算法

張景欣1，郭興國1，陳友明2，陳國杰2,3

(1. 南昌大學(xué) 建筑工程學(xué)院，南昌 330031；2. 湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長沙 410082；

3. 南華大學(xué) 城市建設(shè)學(xué)院，湖南 衡陽 421001)

摘要：利用時域遞歸展開算法對墻體內(nèi)熱濕耦合傳遞方程進行求解。以木板為例，應(yīng)用該算法進行了熱濕耦合傳遞的分析計算，在時間域和空間域上分別運用遞歸展開法和控制容積法進行離散，從而得到遞歸形式的線性方程組，運用MATLAB軟件對這一過程進行求解。計算結(jié)果與有限差分算法、解析解計算結(jié)果以及實驗數(shù)據(jù)吻合良好，表明該算法能夠用于求解多孔介質(zhì)熱濕耦合傳遞模型。時間步長的改變對計算結(jié)果影響較小，可通過增加時間步長方法來減少工作量。

關(guān)鍵詞：熱濕耦合傳遞；時域分析；時間步長

Received:2015-07-18

Foundation item： National Natural Science Foundation of China (No. 51208247, 51408294, 51078127)

Author brief：Zhang Jingxin (1990-), main research interests:building energy consumption evaluation and simulation research, (E-mail) zhangjingxin_90@163.com.

在熱濕氣候地區(qū)，墻體的熱濕遷移對圍護結(jié)構(gòu)的熱工性能、建筑能耗和室內(nèi)環(huán)境有著十分重要的影響[1-2]。因此，研究多孔材料的熱濕遷移，預(yù)測材料內(nèi)部溫度和濕度的分布對改善圍護結(jié)構(gòu)的熱工性能、抑制霉菌生長、提高圍護結(jié)構(gòu)的耐久性具有重大意義。而建立多孔材料熱濕傳遞模型和采用高精度的算法是研究這些問題的基本前提。

許多學(xué)者采用的熱濕耦合傳遞模型為Luikov模型[3]。該模型可以就建筑材料和建筑結(jié)構(gòu)在真實外界條件下長期變化的特性做出模擬，奠定了液態(tài)水和水蒸氣同時傳遞模型的理論基礎(chǔ)。一些學(xué)者對Luikov方程進行了改進和完善[4-5]，得到了一維瞬態(tài)熱濕耦合傳遞方程的解析解。對于熱濕耦合傳遞模型的數(shù)值解法，被廣泛采用的主要是有限元法和有限差分法[6-8]。Kerget等[9]采用基于邊界元法的數(shù)值模型對多孔介質(zhì)非線性熱濕耦合傳遞進行了模擬，此方法減少了問題的維數(shù)，但應(yīng)用范圍以存在相應(yīng)微分算子的基本解為前提。郭興國等[10]運用有限容積法對多層墻體熱濕耦合模型進行了求解，此類方法時間步長選擇受到一定的限制。Mendes等[11]運用有限差分方法對方程進行離散，并用MTDMA(Multitridiagonal-Matrix Algorithm)對離散后的方程進行求解。李鳳志等[12]利用時域遞歸展開算法求解了織物熱濕耦合方程，該方法的主要優(yōu)點是時間步長的選取幾乎不受限制。

筆者建立了多孔介質(zhì)一維熱濕傳遞控制方程，在時域上采用了遞歸展開算法，有效克服了有限差分法對時間步長的限制問題，在空間域上采用有限容積法對方程進行離散，并且用MATLAB編程進行求解。計算結(jié)果與有限差分方法的計算結(jié)果以及文獻[5]中的解析解、實驗數(shù)據(jù)進行比較，證明了此解法的正確性。研究結(jié)果表明，該方法能夠用于墻體熱濕耦合遷移方程的求解。

1熱濕耦合模型的建立

1.1　控制微分方程

在多孔建筑墻體內(nèi)熱濕耦合過程中，根據(jù)質(zhì)量和能量守恒方程可得多孔建筑墻體的內(nèi)熱濕耦合微分方程[13]

(1)

(2)

式中：T為溫度，K；t為時間，s；Cp為材料的比熱，J/(kg·K)；Cm為材料的比濕，kg/(kg·°M)；k為導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·K)；Dm為材料的質(zhì)擴散系數(shù)，kg/(m·s·°M)；ρ為干材料的密度，kg/m3；ε為相變因子，m3/m3；γ為吸附或解吸附熱，kJ/kg；δ為熱梯度系數(shù)，°M/K；hlv為蒸發(fā)潛熱，J/kg；m為濕度勢，°M，在吸濕材料中，傳熱傳質(zhì)具有相似性，定義m為濕度勢，是材料含濕量U的函數(shù)[13]

U=Cmm

(3)

式(1)代表了控制體內(nèi)能量平衡方程，方程中的最后一部分代表了由于相變和吸附或解吸附產(chǎn)生的熱源或者熱匯。同理，式(2)為控制體內(nèi)質(zhì)量平衡方程，方程的最后一項代表了與溫度梯度有關(guān)的濕源或者濕匯。為了計算方便，方程(1)、(2)還可以簡化為

(4)

(5)

1.2　邊界條件和初始條件

模型為一維多孔介質(zhì)熱濕耦合模型。圖1所示為模型的邊界條件，即：在x=0時，溫度和濕度勢分別為Ti、mi；當(dāng)x=l時，溫度和濕度勢分別為To、mo。初始條件為

(6)

(7)

圖1　建筑墻體示意圖Fig.1　Schematic diagram of

2微分方程的求解方法

2.1　在時域上的離散

為了求解建筑構(gòu)件熱濕耦合微分方程，采用時域遞歸展開算法[15]，將時域劃分為若干時段，在每個離散的時段內(nèi)將變量展開，因此，T、m可以展開為

(8)

(9)

(10)

式中：t0為時段起點，s；ts為時間步長，s；Tj，mj分別為T、m的j階展開系數(shù)。

由導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換的關(guān)系

(11)

可計算得到T和m的一階時間導(dǎo)數(shù)項

(12)

(13)

把式(8)~(13)代入到式(4)、(5)中，比較s的冪次，可得

(14)

(15)

2.2　在空間域上的離散

采用有限容積法建立離散方程，將守恒方程在任一控制容積對空間做積分，圖2為控制容積示意圖，i為建筑材料內(nèi)部節(jié)點，豎實線表示控制體分界面。在控制體上對式(14)、(15)積分

圖2　控制體積示意圖Fig.2　Schematic diagram of control

(16)

(17)

積分后，可得

(18)

(19)

2.3　算法的實現(xiàn)

給定原始數(shù)據(jù)、初始和邊界條件。對于n個節(jié)點可以列出2n個方程，在求解方程前，先求出每個節(jié)點的系數(shù)，之后求解方程。對每一次迭代的系數(shù)以及方程的解進行儲存，當(dāng)連續(xù)3次滿足收斂條件時，進入到下一個時間步長t=t+ts，使用式(8)、(9)計算t時刻變量T、m的值，如果t

在計算過程中，也可預(yù)先設(shè)置展開階數(shù)的上限為max，改變max的大小，可以控制求解精度以及程序運行的時間。

3分析與討論

將上述求解方法應(yīng)用到求解建筑材料熱濕耦合過程中，模型計算采用的材料為木板，邊界條件及初始條件按照文獻[5]中設(shè)置，模型其他計算參數(shù)主要根據(jù)文獻[13]選取，如表1所示。計算結(jié)果與有限差分方法、文獻[5]中解析解進行了對比，經(jīng)過有限差分離散后的方程分別用直接解法和MTDMA算法進行求解。

表1　模型參數(shù)

圖3為木質(zhì)建筑構(gòu)件的中點溫度隨時間變化的曲線，對比可以看出，時域遞歸算法預(yù)測材料溫度的變化與文獻[5]中的解析解計算的結(jié)果具有高度一致性，平均相對誤差為0.1%。有限差分算法中的直接解法及MTDMA算法計算的結(jié)果是一致的，與時域遞歸算法相比，平均相對誤差均為1.4%。在大約1 500 s后，溫度均穩(wěn)定在83.5 ℃。圖4為建筑構(gòu)件中點濕度勢隨時間變化曲線，對比可知：采用時域遞歸算法和有限差分算法得到的曲線幾乎重合，平均相對誤差僅為0.074%，經(jīng)過計算，在大約48 h后，濕度勢穩(wěn)定在了24.5 °M。與文獻[5]中的結(jié)果對比，平均相對誤差為2.4%，數(shù)值較與有限差分算法對比時的誤差增加。分析原因，可能是由于解析解對模型做了一定的假設(shè)和簡化導(dǎo)致的[5]。

圖3　建筑材料中點溫度隨時間變化曲線(x=0.012)Fig.3　Change curve in temperature with time at the center of the wall

如圖5、6所示為該方法與Qin等[16]實驗結(jié)果的對比，計算條件與實驗條件相同，實驗天數(shù)為5周，材料屬性見文獻[16]。圖5給出了墻體溫度分布，計算結(jié)果與實驗結(jié)果吻合較好，相對誤差小于10%。圖6為墻體水蒸氣含量分布，從圖中可以看出計算結(jié)果與實驗結(jié)果吻合良好，相對誤差小于7%。

圖5　建筑材料溫度分布Fig.5　 Distribution of temperature in building

圖6　建筑材料水蒸氣含量分布Fig.6　Distribution of vapor content in building

通過與數(shù)值解、解析解以及實驗對比，該算法誤差較小且誤差均在可以接受的范圍內(nèi)，證明了該算法的正確性，可以用來求解墻體內(nèi)熱濕耦合傳遞模型。

為了研究采用該算法時間步長的選取對計算精度的影響，將時域遞歸展開算法與有限差分的隱式格式進行了對比，結(jié)果如圖7、8所示。計算時室外溫度35 ℃，相對濕度80%，室內(nèi)溫度25 ℃，相對濕度60%，材料的厚度為0.1 m，其余計算參數(shù)見表1，總時間設(shè)定為240 h。材料的含濕量與相對濕度的函數(shù)關(guān)系參考文獻[17]。

圖7　不同時間步長下材料中點溫度隨時間變化曲線(x=0.05)Fig.7　Change curve in temperature with time at the center of the wall under different sizes of time step

圖8　不同時間步長下材料中點相對濕度隨時間變化曲線(x=0.05)Fig.8　Change curve in moisture content with time at the center of the wall under different sizes of time step

圖7(a)為采用時域展開算法預(yù)測材料中點溫度隨時間變化曲線。從圖中可以看出，隨著運行時間的增加，溫度變化較快。在2×104s時，溫度穩(wěn)定在30.06 ℃，所以在圖中僅顯示20 h內(nèi)溫度隨時間變化曲線。對比圖5(a)和(b)可以看出，有限差分格式在取不同的時間步長時，曲線波動較大，而圖5(a)的時域遞歸展開算法對結(jié)果幾乎沒有影響。

圖8(a)為采用時域展開算法預(yù)測的相對濕度隨時間變化曲線。從圖中可以看出隨著運行時間的增加，相對濕度逐漸增加，并且有趨于穩(wěn)定的趨勢。延長計算的總時間，相對濕度穩(wěn)定在了70%。對比圖8中的(a)和(b)，可以得出：用時域遞歸展開算法計算得到的相對濕度幾乎不受時間步長的影響，圖線基本重合。而有限差分算法對時間步長的選擇具有一定的依賴性。綜合圖3~8可以得出：溫度比含濕量能夠較快進入穩(wěn)定的狀態(tài)，材料的熱擴散系數(shù)大于濕擴散系數(shù)。

4結(jié)論

利用時域遞歸展開算法對熱濕耦合傳遞模型進行了求解，在時域上采用了遞歸展開算法進行離散，在空間域上采用控制容積法，用MATLAB編程計算。通過與有限差分算法進行對比、分析可以得到：

1)材料中點溫度和濕度勢隨時間變化曲線的大致走勢是一致的，驗證了算法的正確性。

2)增加展開階數(shù)可提高計算結(jié)果的精度，減少展開階數(shù)可減少工作量。

3)時域遞歸展開算法的計算精度幾乎不受時間步長的影響。因此，可以適當(dāng)?shù)脑黾訒r間步長來減少工作量，節(jié)約計算所需時間。

4)可以將自適應(yīng)的精細算法與有限差分方法結(jié)合起來，解決計算精度要求高的物理問題。

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(編輯胡英奎)

Guo Xingguo(corresponding author), PhD, (E-mail)guoxingguo20032003@aliyun.com.

A time domain recursive algorithm for solving the model of coupled heat and moisture transfer in building wall

Zhang Jingxin1，Guo Xingguo1，Chen Youming2, Chen Guojie2,3

(1.School of Civil Engineering and Architecture，Nanchang University，Nanchang 330031，P.R.China;

2. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, P.R.China;

3. College of Urban Construction, University of South China, Hengyang 421001, Hunan, P.R.China)

Abstract:A time domain recursive algorithm was used to solve the model of coupled heat and moisture transfer equation through building wall. The calculation was carried out by using algorithm in wood.The recursive algorithm and the finite volume algorithm were separately used in the time and space domains respectively to obtain the linear equations of recursive form. The results were compared with that of finite difference algorithm and showed that the result of algorithm agreed with that of the finite difference algorithm, analytical solution and experimental data. The algorithm can be used to solve coupled heat and moisture transfer model in porous media. The change of the time step has slight effects on results and increasing time step would reduce the calculating time .

Key words:coupled heat and moisture transfer; time domain analysis; the sizes of time step

通信作者郭興國()，男，博士，(E-mail)guoxingguo20032003@aliyun.com。

作者簡介：張景欣(1990-)，女，主要從事建筑能耗評估及模擬研究，(E-mail)zhangjingxin90@163.com。

基金項目：國家自然科學(xué)基金(51208247、51408294、51078127)

收稿日期：2015-07-18

中圖分類號：TU111.19

文獻標志碼：A

文章編號：1674-4764(2015)06-0147-06

doi:10.11835/j.issn.1674-4764.2015.06.020