數(shù)學中對稱式結論的合理擴展

樸麗莎，葛仁東

(1.云南大學 滇池學院，云南 昆明650228;2.大連民族大學 理學院，遼寧 大連116605)

理解和應用低維低階的數(shù)學結論是較為容易的，但由于處理實際問題的復雜性，往往需要使用高維空間或高階的數(shù)學結論。本文以Bézier 曲線為例，提出合理對稱模式直接擴展的新方法，即借助Bézier 曲線低階對稱矩陣形式的方程，通過二項式定理的展開式系數(shù)找尋規(guī)律，直接擴展到高階方程情形，進而建立了n 階Bézier 曲線方程，并對擴展結果予以證明。另外，通過舉例說明了數(shù)學學科中也存在很多類似的結論。

1 Bézier 曲線的合理擴展

Bézier 曲線是計算機輔助幾何設計中最常用的曲線之一，是由法國雷諾汽車公司的工程師Bézier 在上世紀60 年代提出的。該方法采用折線組成的多邊形來定義一條曲線，設計者先用折線多邊形描繪這條曲線的大致輪廓，再用Bézier 曲線表達式產(chǎn)生一條光滑的曲線［1］。

Bézier 曲線有不同的數(shù)學定義形式，如de Casteljau 遞歸算法、Bernstein 多項式基函數(shù)，其中用控制頂點定義的Bernstein 基［2］表示形式容易理解，且應用廣泛，本文將針對該參數(shù)多項式形式進行方程的建立和結論的證明。

1.1 Bézier 曲線的建立

由兩點p0，p1可以確定一條一次Bézier 曲線，方程為p(t)=p0+(p1－p0)t，t∈［0，1］。為了找到比較容易擴展的對稱式曲線方程，根據(jù)文獻［3］可以將方程改寫成如下矩陣形式:

式中，B0，1(t)=1 － t，B1，1(t)=t，記M=是對稱矩陣。

用此方法繼續(xù)寫出三點二次Bézier 曲線方程，進而擴展n 次方程。由p0，p1，p2確定的二次Bézier 曲線為

令

則式(1)可改寫成

1.2 Bézier 曲線的擴展及證明

由前小節(jié)的分析可得如下結論。

定理 式(1)和式(2)對稱矩陣中的元素依次為二項式［(1 － t)+ t］n展開式中關于t 的系數(shù)，故可直接將對稱矩陣擴展進而得到n 次Bézier曲線方程

證明 要證明Bézier 曲線可表示成式(3)，即證明

Mn+1=(bi+1，j+1)n+1是n+1 階對稱方陣

因為

令i+j=s，則式(5)

故有

當0 ≤i + j ≤n 時，bi+1，j+1=(－ 1)n－i－j=(－1)n－i－j。

證畢。

上述分析說明，對于復雜的數(shù)學結論，如果可以找到合理的對稱形式，就存在向高階高維擴展的可能性，并且由直接擴展得到的結論從形式上呈現(xiàn)對稱性，內容上規(guī)律性、緊湊性強，這些優(yōu)點更有利于數(shù)學結論的理解和應用。接下來給出直線方程問題和函數(shù)插值問題，說明合理擴展對稱式方程這一方法的一般性。

2 舉 例

2.1 由平面直線到空間直線

在平面上任取兩點(x1，y1)和(x2，y2)，兩點所確定的直線斜率k=(x2≠x1)，故點斜式方程y－y1=k(x－x1)。將方程改寫為對稱式

設想由平面到空間，也就是二維擴展到三維，具體到每一個點，原有的坐標分量由2 個變成3個。那么，根據(jù)前文的合理擴展想法，平面對稱式方程(4)就可以直接擴展為由空間兩點(x1，y1，z1)和(x2，y2，z2)確定的直線方程

對式(5)的驗證詳見文獻［4］。

2.2 由一階插值到高階插值

插值法是在生產(chǎn)實踐中提煉而成的方法，主要是通過離散樣本點作一條通過這些點的光滑曲線，以便滿足設計要求或進行加工。

以Lagrange 插值多項式為例，設兩個節(jié)點(x0，y0)，(x1，y1)則可以確定一次插值多項L1(x)=a0+a1x，由插值條件

可以聯(lián)立解出待定參數(shù)a0=。

所以，兩個節(jié)點的一次插值多項式為L1(x)=。

將其改寫成如下對稱形式:

不難發(fā)現(xiàn)兩個線性函數(shù)滿足

也就是li(x)(i=0，1)在對應的插值點xi處取值為1，在其他節(jié)點處取值為0。由此，可以設想通過擴展li(x)進而將式(6)擴展成高階插值。那么n+1 個節(jié)點的n 次插值多項式的形式為

由此說明li(x)(i=0，1，...，n)的存在性進而證明式(7)擴展的合理性。n 次多項式li(x)(i=0，1，...，n)滿足li(xj)=，有n 個根xj(j=0，1，...，n，j≠i)，且li(xi)=1，故它必定如下形式:

代入式(7)后可以證明Ln(x)滿足插值條件［5］。

3 結 語

本文主要通過建立并擴展Bézier 曲線的對稱矩陣式方程，提出了復雜數(shù)學結論可以借助合理對稱形式向高階高維擴展的方法。另外，通過直線方程和函數(shù)插值的舉例驗證了數(shù)學中確實存在一些對稱式結論可以直接進行合理擴展，并且擴展得到的結論更有助于理解和應用。相信在數(shù)學學科中，還有很多這樣的例子。但是，并不是所有的對稱式結論都可以擴展，在接下來的研究中對稱形式的數(shù)學結論可以擴展的條件和適用范圍將是亟待解決的問題。

［1］顧蘭智，方憶湘. Bézier 曲線繪制程序的開發(fā)［J］. 電腦開發(fā)應用，2008(9):34 －35.

［2］何援軍.幾何計算［M］.2 版.北京:高等教育出版社，2013:301 －330.

［3］葛仁東，張艷茹，趙玲玲，等. 體育館頂部外形設計的數(shù)值模擬［J］.大連民族學院學報，2009(1):27 －29.

［4］呂林根，許子道.解析幾何［M］.4 版.北京:高等教育出版社，2006:112 －119.

［5］丁麗娟，程杞元.數(shù)值計算方法［M］.2 版.北京:北京理工大學出版社，2011:101 －106.