基于GP算法奇異譜分析嵌入維數(shù)的確定及應(yīng)用

岳 順，翟長治，李小奇

(1.河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院， 江蘇 南京 211100； 2.武漢大學(xué) 測繪學(xué)院， 湖北 武漢 430079；3.上?？睖y設(shè)計研究院有限公司， 上海 200434)

基于GP算法奇異譜分析嵌入維數(shù)的確定及應(yīng)用

岳 順1，翟長治2，李小奇3

(1.河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院， 江蘇 南京 211100； 2.武漢大學(xué) 測繪學(xué)院， 湖北 武漢 430079；3.上?？睖y設(shè)計研究院有限公司， 上海 200434)

對于奇異譜分析中嵌入維數(shù)的選擇，以往的研究者通?；诮?jīng)驗或者交叉驗證的方法，過于主觀。本文基于GP算法原理，根據(jù)嵌入維數(shù)與關(guān)聯(lián)維數(shù)的關(guān)系，來確定奇異譜分析的嵌入維數(shù)，并通過仿真實驗證明了該方法較以往方法更加具有準(zhǔn)確性和高效性。最后對蘇通大橋索塔GPS變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進行處理，實現(xiàn)了顯著降噪的效果，準(zhǔn)確地提取了監(jiān)測序列的趨勢成分和周期成分，為索塔以后的誤差分析和預(yù)測模型提供了可靠的依據(jù)。

奇異譜分析；嵌入維數(shù)；GP算法；時間序列；降噪

隨著GPS的廣泛普及,GPS動態(tài)變形監(jiān)測是GPS技術(shù)應(yīng)用的一個重要方向，GPS技術(shù)具有速度快、全天候作業(yè)、自動化程度高、觀測時間短、定位精度高等優(yōu)點[1]。對于大型橋梁而言，斜拉橋索塔是極其關(guān)鍵的工程部位，因為索塔不僅要承擔(dān)它本身的自重，還要承載全橋的荷載[2]；因此，監(jiān)測與分析橋梁索塔的動態(tài)特性，包括變形幅度、振動的頻率、趨勢，為確定橋梁索塔狀態(tài)提供了可靠的科學(xué)依據(jù)。由于監(jiān)測點變形的不確定性和錯綜復(fù)雜性，以及受各種因素的影響，變形監(jiān)測序列可能包含各種各樣的誤差與變形信息，所以必須通過對監(jiān)測數(shù)據(jù)進行綜合處理分析，提取變形信息，發(fā)現(xiàn)變形規(guī)律，建立動態(tài)預(yù)測模型，才能推斷變化趨勢，對未來作出準(zhǔn)確的預(yù)測[3]?；谥鞣至康钠娈愖V分析(SSA, Singular Spectrum Analysis)作為數(shù)字處理技術(shù)早就被應(yīng)用了，SSA的功能是對于原序列隱含的波形信號從它的含噪聲的有限長觀測系列中提取出來，所以它特別適合于研究有周期震蕩的系統(tǒng)[4]。奇異譜分析技術(shù)主要用于解決趨勢或準(zhǔn)周期成分的檢驗與提取、降噪、預(yù)測、異常點檢測等問題，廣泛應(yīng)用于氣候、環(huán)境、地理、社會科學(xué)及金融等多方領(lǐng)域[5]。但是由于奇異譜嵌入維數(shù)(Embedding Dimension)，也稱窗口長度,大多數(shù)人是靠經(jīng)驗或者交叉驗證的統(tǒng)計方法來確定最佳的嵌入維數(shù)。但是這些方法具有很大的主觀性，缺乏實質(zhì)性的分析。而由Grassberger和Procaccia提出的關(guān)聯(lián)維數(shù)算法，也稱GP算法，由于其算法簡潔，易于實現(xiàn)，且實用性強，因此獲得了廣泛的應(yīng)用，本文基于GP算法來確定SSA窗口大小，并通過仿真實驗，驗證了它的可行性，并通過SSA對蘇通大橋索塔GPS的監(jiān)測序列進行分析，得到了較好的結(jié)果。

1 SSA原理

1.1 確定嵌入維數(shù)M

把時間序列時延地排列成M階遲延矩陣

(1)

其中

(2)

它稱為X的第i個狀態(tài)向量，共有N-M+1個狀態(tài)[9]。

1.2 計算X的協(xié)方差矩陣Tx

(3)

其中

(4)

ρ(t)為時間序列遲后為t的自協(xié)方差，0≤t≤M-1。Tx具有Toeplitz結(jié)構(gòu)，是非負對稱矩陣，且特征值非負。Tx的特征向量Ek反應(yīng)時間序列x中的時間演變型，在SSA中稱為T-EOF，另外時間主成分(T-PC)：

(5)

它反映的是Ek在原序列Xi+1,Xi+2,Xi+3,…，Xi+M時間段的權(quán)重。

1.3 重建成分

(6)

原序列可以表示為所有重建成分的和

(7)

但在實際應(yīng)用中我們通過使兩個指標(biāo)——噪聲殘余能量指標(biāo)和信號畸變指標(biāo)[10]同時達到最小來確定主分量的截斷位置，即p之所在。選取前p個具有顯著波形或周期分量重建原序列：

(8)

在SSA分解的基礎(chǔ)上重建分量序列，從而研究重建分量的長期變化特征。

2 基于GP算法確定嵌入維數(shù)M

在對時間序列進行SSA時，選擇合適的嵌入維數(shù)M對奇異譜分析至關(guān)重要。如果過小，有用信息損失量較多，如果過大，將會帶來大量的噪聲[11]。通過GP算法得到的嵌入維數(shù)能夠把時間序列中蘊藏的信息充分地顯露出來，下面介紹一下它的原理[12]：設(shè)實際觀測的一維時間序列{Xt,t=1,2,…,N}，采用GP算法以延遲時間τ=1和嵌入維數(shù)M進行相空間重構(gòu)，相空間中的相點為：

Xt=[Xt,Xt+1,…,Xt+(M-1)]T，t=1,2,3,…,m,m=N-(M-1)，給定一個鄰域半徑d，定義關(guān)聯(lián)積分如下：

(9)

式中：‖Xi-Xj‖表示兩相點Xi和Xj之間的距離，θ(·)為Heaviside單位函數(shù)：

(10)

C(M,d)表示一個累積分布函數(shù)，表示相空間中兩點之間距離小于d的概率。在實際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)情況適當(dāng)選取d，可以通過試湊法、效果觀察法來確定d的取值[13]。當(dāng)d→0時關(guān)聯(lián)積分C(M，d)與d存在以下關(guān)系：

(11)

D稱為是關(guān)聯(lián)維數(shù)[14]，可得

(12)

讓嵌入維數(shù)M從小到大的增加，對每一次M取值，求出關(guān)聯(lián)積分C(M，d)與d。對每一個嵌入維數(shù)取雙對數(shù)關(guān)系lnC(M,d)-ln(d)中的直線段，用最小二乘擬合出一條最佳直線，該直線的斜率稱為關(guān)聯(lián)維數(shù)D，關(guān)聯(lián)維數(shù)會隨著嵌入維數(shù)的增加而增大，最后到達一飽和值，而達到飽和值時的嵌入維數(shù)就是SSA的最佳嵌入維數(shù)。計算流程如圖1。

圖1 GP算法求解嵌入維數(shù)流程圖

3 仿真實驗

我們采用原序列為：

y(t)=cos(0.01πt)，t∈[1,1500]

(13)

再人為的加入隨機噪聲w(t)，構(gòu)成加噪序列：

yw(t)=y(t)+w(t)

(14)

從圖2可以看出當(dāng)嵌入維數(shù)M=70時，關(guān)聯(lián)維數(shù)漸漸趨于飽和值，通過奇異譜分析前后序列之間的方差為：

圖2 仿真序列嵌入維數(shù)與關(guān)聯(lián)維數(shù)的關(guān)系

(15)

N表示序列長度，作為SSA分析前后效果的標(biāo)準(zhǔn)，y(t)，x(t)分別表示奇異譜分析前后的數(shù)據(jù)，σ表示奇異譜分析前后兩序列之間的偏差程度[15]?？梢酝ㄟ^σ判斷去噪的效果。方差σ隨著嵌入維數(shù)M變化情況見圖3。

圖3 嵌入維數(shù)M與方差σ的分布情況

從圖3中可以看出當(dāng)嵌入維數(shù)M=70時，σ=0.0256，達到最小值，說明這種算法選取嵌入維數(shù)是合理的，接下來利用求得的嵌入維數(shù)對仿真序列進行SSA分析。為了突出SSA的效果，我們把原始序列、加噪序列和奇異譜分析后重建序列畫在一張圖上，如圖4所示。

圖4 仿真原序列、加噪序列和SSA分析后重建序列分布情況

從圖4可以看出奇異譜能夠較好地去除噪聲項，提取序列的主要成分，經(jīng)過重建序列，原始時間序列中的主要趨勢成分和振蕩周期得到了有效地提取，噪聲干擾項明顯降低。這對我們接下來的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理提供了有利的幫助。

4 索塔監(jiān)測數(shù)據(jù)處理

索塔是斜拉橋的基本承重構(gòu)件和重要組成部分，由于索塔兩側(cè)主梁重量不對稱、兩側(cè)斜拉索的拉力不平衡，以及塔柱自身受外力、日照、風(fēng)力等外界環(huán)境因素的影響，都會使索塔發(fā)生擺動和位移變形，隨著測量儀器的發(fā)展，利用GPS進行索塔變形監(jiān)測已經(jīng)變成現(xiàn)實。GPS監(jiān)測所獲得的變形數(shù)據(jù)是隨著時間變化的數(shù)據(jù)序列，在數(shù)據(jù)的采集和傳輸過程中，由于受環(huán)境條件(電離層、對流層、多路徑效應(yīng))、儀器設(shè)備和人為操作等因素的影響，信號數(shù)據(jù)不可避免地混入一些噪聲，變形信號就包含有真實的變形信號和噪聲信號。這些噪聲的存在勢必影響監(jiān)測數(shù)據(jù)的處理與分析。如果不能對變形信號進行降噪處理，就會對以后的變形特征提取和預(yù)測造成一定的影響，可能導(dǎo)致不能及時發(fā)現(xiàn)索塔的變形對索塔結(jié)構(gòu)的破壞，嚴(yán)重時還會危及橋梁的安全，因此對變形信號進行降噪處理時非常重要。它可以為變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的后續(xù)處理提供可靠依據(jù)。

數(shù)據(jù)選自2012年1月5號凌晨0點至1月15號0點10d的蘇通大橋索塔監(jiān)測數(shù)據(jù),采樣周期是5min，首先進行數(shù)據(jù)中心化。

蘇通大橋索塔變形監(jiān)測分為三個方向：X,Y,Z。下面分別對X,Y,Z三方向運用GP算法得到的嵌入維數(shù)與關(guān)聯(lián)維數(shù)的關(guān)系圖。

圖5X、Y、Z方向嵌入維數(shù)與關(guān)聯(lián)維數(shù)的關(guān)系

從圖5中我們可以看出隨著嵌入維數(shù)M的增大，X、Y、Z的關(guān)聯(lián)維數(shù)D都漸漸趨于穩(wěn)定，所以選取三個方向的嵌入維數(shù)分別為80,85,82。利用得到的嵌入維數(shù)，對監(jiān)測時間序列進行SSA，并做了變形趨勢擬合，見圖6～圖8。

圖6X方向SSA前后序列的分布情況

圖7Y方向SSA前后序列的分布情況

圖8Z方向SSA前后序列的分布情況

為了定量表示去噪的效果，引入兩個指標(biāo)：互相關(guān)系數(shù)R和平滑度系數(shù)r，其中

R=Cov(xi，yi)/σxσy

(15)

式中：xi，yi分別表示SSA前后的序列；Cov(xi,yi)為序列xi，yi的協(xié)方差；σx，σy分別為xi，yi的標(biāo)準(zhǔn)差；R越大，說明兩序列的相關(guān)程度越大。

(16)

表1 SSA去噪前后的互相關(guān)系數(shù)與平滑度系數(shù)

從表1中可以看出SSA去噪后重構(gòu)序列與趨勢擬合序列的互相關(guān)系數(shù)比原序列與趨勢擬合序列的互相關(guān)系數(shù)大，說明SSA后趨勢擬合序列與重構(gòu)序列的相關(guān)程度顯著，SSA對序列的去噪有顯著的作用，而且表1中各方向平滑度系數(shù)較小，表現(xiàn)的相對比較光滑，沒有出現(xiàn)明顯銳角變化情況，具有顯著降噪的功能，其基本上反映了原始序列的波動變化，較好地捕捉到原始序列的趨勢項。說明去噪取得很好的效果。

從圖6～圖8中可以看出X、Y、Z三方向的平均周期為1 d，X方向較顯著。索塔在X方向的長周期變形趨勢很大，在一天內(nèi)具有明顯的周期變化，白天溫度變化劇烈，索塔混凝土膨脹收縮的較劇烈，索塔的變形量也跟著變化顯著，晚上溫度變化緩慢，索塔混凝土膨脹收縮較平緩，索塔的變形量也跟著變化緩慢，這與一天的溫度變化相符合,但從整體的變形趨勢可以看出X方向處于下降趨勢。X方向最大幅值可達到0.10 m，而Y，Z方向最大幅值為0.02 m，0.05 m，說明索塔在Y，Z方向的變形波動沒有X軸明顯。

5 結(jié) 論

基于GP算法求得奇異譜分析的嵌入維數(shù)，算法簡潔，能夠很好地將時間序列包含的有用信息充分展現(xiàn)出來，降低了嵌入維數(shù)選取的主觀性，通過仿真實驗，驗證此算法的可行性，并將其應(yīng)用到蘇通大橋索塔變形監(jiān)測序列，顯著地降低噪聲的影響，很好的識別序列周期，得到X、Y、Z三方向的平均周期為1 d，X方向較顯著，而且X方向具有明顯下降的趨勢，Y、Z變化則很平穩(wěn)。本方法有效地進行監(jiān)測序列的重構(gòu)，提取變形趨勢，進而對后續(xù)的預(yù)測提供幫助。索塔的變形規(guī)律是很復(fù)雜的，變性因素有很多，本文僅從外部GPS變形監(jiān)測序列進行分析，但是具體索塔內(nèi)部影響因子對索塔變形的影響還需進一步探索與研究。

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The Determination and Application of Singular Spectral Embedding Dimension Based on GP Algorithm

YUE Shun1, ZHAI Changzhi2, LI Xiaoqi3

(1.CollegeofEarthScienceandEngineering,HohaiUniversity,Nanjing,Jiangsu211100,China;2.CollegeofGeodesyandGeomatics,WuhanUniversity,Wuhan,Hubei430079，China;3.ShanghaiInvestigation,Design&ResearchInstituteCo.,Ltd.,Shanghai200434,China)

For the selection of the embedding dimensions of singular spectrum analysis, previous studies which are based on experience or cross-validation method are too subjective. In this study, the embedding dimensions of singular spectrum analysis were determined according to the relationship between embedding dimension and correlation dimension based on GP algorithm. And then it was verified that this method was more accurate and efficient compared with the conventional methods through simulation experiments. Finally, by processing the GPS deformation monitoring data of the pylon in Sutong Bridge, using this method, remarkable results in noise reduction were achieved and the trend component and periodic sequence of monitoring were accurately extracted. The result provides a reliable basis for the subsequent error analysis and forecasting model establishment of pylons.

singular spectrum analysis; embedding dimensions; GP algorithm; time series； noise reduction

10.3969/j.issn.1672-1144.2015.05.019

2014-09-17

2014-10-23

岳 順(1991—)，男，河南商丘人，碩士研究生，研究方向為3s集成與應(yīng)用。 E-mail: yue-shun@163.com

TP391

A

1672—1144(2015)05—0097—05