轉子臨界轉速計算的一維模型修正方法

王天胤，王克明，屈美嬌，辛桂雨，鄭喜洋

(沈陽航空航天大學 航空航天工程學部(院)，沈陽 110136)

轉子臨界轉速計算的一維模型修正方法

王天胤，王克明，屈美嬌，辛桂雨，鄭喜洋

(沈陽航空航天大學 航空航天工程學部(院)，沈陽 110136)

采用有限元法，建立一維和三維模型計算一個轉子的臨界轉速，在對一維模型計算結果進行誤差分析的基礎上，提出一維模型的修正方法。應用此方法建立了修正極轉動慣量的一維模型并計算臨界轉速。通過比較計算結果發(fā)現(xiàn)，未修正一維模型的計算結果比三維模型的高，一階臨界轉速最多高96%，二階臨界轉速最多高50%，采用修正極轉動慣量的方法對模型進行修正后，一階臨界轉速最大偏差降低至5%，二階臨界轉速最大偏差降低至0.7%，計算結果接近三維模型的計算結果。

轉子系統(tǒng)；臨界轉速；有限元法；一維模型；模型修正

隨著計算機技術和有限元軟件的發(fā)展，有限元方法以其更高的求解精度和穩(wěn)定性被廣泛應用在轉子系統(tǒng)動力分析上。但是在用于航空發(fā)動機整機計算時，有限元模型規(guī)模往往非常大，導致一般配置的工作站難以完成。解決這一問題常用的有效方法是對模型進行合理的簡化，在保證計算結果滿足精度要求的前提下三維實體有限元模型簡化成一維有限元模型，減小模型規(guī)模，縮短計算時間，降低對計算機硬件的要求。本文通過分析一個簡單轉子系統(tǒng)一維模型計算結果的誤差來源，提出一種一維模型的修正方法。應用此方法建模計算轉子系統(tǒng)臨界轉速，一定程度上減小了計算誤差。

1 一維模型計算結果的誤差分析

1.1 有限元模型的建立

針對如圖1所示結構，分別建立有限元一維與三維模型，如圖2所示。模型由轉軸輪盤以及軸承組成。材料的彈性模量為2.1×1011Pa，泊松比為0.3，密度為7.8×103kg/m3。三維模型盤、軸、葉片用Solid185、Solid186單元來模擬，軸承采用Combin214單元；一維模型轉軸用Beam188單元模擬，輪盤以及葉片用Mass21單元以質量單元的形式加到盤在轉軸的對應位置上，軸承采用Combin214單元。輪盤、轉軸的模型參數(shù)見表1。

圖1 轉子模型示意圖

圖2 三維有限元模型示意圖

表1 轉子模型參數(shù) m

經計算得到三維模型的一階臨界轉速為1 614 r/min，二階臨界轉速為4 492 r/min，一維模型一階臨界轉速為1 711 r/min,二階臨界轉速為4 533 r/min。

1.2 一維模型與三維模型臨界轉速對比

分別改變模型輪盤、葉片尺寸以及盤距軸左端的距離，建立有限元一維與三維模型，計算三維模型和一維模型的臨界轉速并對比。

葉片長為15 cm，盤距軸左端20 cm，軸尺寸以及支撐不變，改變輪盤的尺寸得到模型的臨界轉速如表2所示。

表2 不同輪盤尺寸的一維模型與三維模型臨界轉速以及一維模型計算結果的百分比誤差

盤半徑為25 cm，盤距軸左端20 cm，轉軸尺寸以及支撐不變，改變葉片的尺寸得到模型的臨界轉速如表3所示。盤半徑為25 cm，葉片長為20 cm，轉軸尺寸以及支撐不變，改變盤在軸上的位置得到模型的臨界轉速如表4所示。從上述結果可以看出，隨著輪盤與葉片尺寸的加大，三維模型與一維模型間的偏差加大；隨著輪盤位置向軸的一端靠近，三維模型與一維模型間的偏差加大。當盤與葉片尺寸較大并且靠近軸左端時將轉子模型直接簡化成一維模型，得到的結果誤差會很大。

1.3 一維模型臨界轉速誤差來源分析

三維模型完全按照轉子系統(tǒng)實際尺寸建立可以很好地解決模型的完整性問題，計算結果準確。一維模型中，轉軸用一條直線代替，模型的盤與葉片通過質量單元Mass21來定義，賦予質量單元質量、極轉動慣量、直徑轉動慣量，通過賦予的這幾個量可以使Mass21單元近似代表輪盤與葉片，模擬計算出系統(tǒng)的臨界轉速。簡化了的一維模型，盤以及葉片的變形無法體現(xiàn)出來，因此計算時存在一定的誤差。由于離心力以及陀螺力矩的作用，三維模型葉片和輪盤在轉動過程中會發(fā)生變形，變形后相當于改變了輪盤與公轉軸的夾角，從而使陀螺力矩發(fā)生變化，最終影響臨界轉速，這便是一維模型與三維模型的主要誤差來源。

表3 不同葉片長的一維模型與三維模型臨界轉速以及一維模型計算結果的百分比誤差

表4 盤在軸上不同位置的一維模型與三維模型臨界轉速以及一維模型計算結果的百分比誤差

正進動時，在陀螺力矩的影響下，葉片和輪盤變形如圖3所示，發(fā)生這樣的變形相當于減小了輪盤與公轉軸的夾角θ(0°<θ<90°)，從而使陀螺力矩減小，臨界轉速會降低。

圖3 正進動時輪盤葉片受力變形示意圖

反進動時陀螺力矩會使輪盤以及葉片發(fā)生如圖4所示變形，這樣的變形相當于盤與公轉軸的夾角θ(90°<θ<180°)減小，從而使陀螺力矩增大，臨界轉速降低。

圖4 反進動時輪盤葉片受力變形示意圖

質量增大使系統(tǒng)臨界轉速降低，而轉動慣量增大使系統(tǒng)臨界轉速提高。由表2.2可以看出，隨著輪盤尺寸變大，輪盤以及葉片整體的質量以及轉動慣量都增大，在一維模型中，臨界轉速呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，起初臨界轉速受質量的影響臨界轉速降低，隨后受到轉動慣量的影響臨界轉速升高，而三維模型中由于存在輪盤與葉片的變形，實際上轉動慣量對臨界轉速的影響相比質量對臨界轉速的影響起到的作用并不大，隨著盤的尺寸變大三維模型的臨界轉速降低。

由表3可以看出，當輪盤尺寸不變、葉片的長度增大時，輪盤以及葉片整體的質量以及轉動慣量都增大。在一維模型中，臨界轉速同樣呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，起初臨界轉速受質量的影響比較明顯臨界轉速降低，隨后受到轉動慣量的影響比較明顯臨界轉速升高。然而三維模型中由于存在輪盤與葉片的變形。實際上轉動慣量對臨界轉速的影響與質量對臨界轉速的影響大體相當，這個變化與單獨加大盤的尺寸時情況不同。由于葉片與軸心的距離相對于輪盤與軸心的距離要大。增加葉片長度時，隨著葉片質量的增加，轉動慣量的增量要比輪盤質量增加時轉動慣量的增加要大。因此，在增加葉片長度時，三維模型的臨界轉速變化不明顯。由表4可以看出，輪盤距離軸一端越近，轉軸旋轉變形后，輪盤與轉軸間的夾角越大，陀螺力矩越大，三維模型中盤及葉片受陀螺力矩影響而產生的變形越大。因此，當盤的位置越靠近軸一端時，三維模型與一維模型間的偏差越大。

由此可見，輪盤、葉片變形造成盤與公轉軸夾角的變化影響了陀螺力矩，從而影響系統(tǒng)的臨界轉速。輪盤葉片的變形三維模型能夠體現(xiàn)出來而一維模型無法體現(xiàn)，這是造成三維模型與一維模型間誤差的主要原因。如果能夠修正一維模型中質量單元的參數(shù)，使一維模型的陀螺力矩變化趨勢與三維模型變形引起的陀螺力矩變化趨勢相同，將會減小一維模型與三維模型之間的誤差。同時，三維模型的變形也與葉片、輪盤的形狀有關，不容易變形的葉片、輪盤結構更加接近于剛體，與一維模型的處理更加相近，這樣的三維模型與一維模型間的誤差會相對較小。

2 轉子一維模型的修正

為了減小三維模型與一維模型臨界轉速的偏差，可以通過調整一維模型中Mass21單元的質量和轉動慣量來實現(xiàn)。由上述分析可知，三維模型變形后輪盤與轉軸的夾角發(fā)生變化，從而影響陀螺力矩，最終影響系統(tǒng)的臨界轉速，這是三維模型與一維模型之間的主要偏差。Mass21單元中的質量變化能夠影響系統(tǒng)的固有頻率，調整Mass21單元的質量會改變系統(tǒng)的固有頻率，通過改變固有頻率來調整臨界轉速不合理，因此，不能通過調整Mass21單元中質量系數(shù)來減小誤差。極轉動慣量是影響陀螺力矩的因素，修正Mass21單元的極轉動慣量將會引起陀螺力矩的變化，雖然不能通過一維模型表現(xiàn)出三維模型變形后夾角的變化，但是可以通過改變極轉動慣量來實現(xiàn)一維模型的陀螺力矩與三維模型變形后的陀螺力矩相一致。因此本文采用修正Mass21單元的極轉動慣量的方法來減小一維模型與三維模型間的誤差。

2.1 單盤轉子的一維模型修正

建立如圖1所示單盤單軸結構的三維模型以及一維模型，固定盤在距軸一端10 cm位置處，計算臨界轉速，調整一維模型的極轉動慣量，使一維模型的臨界轉速與三維模型一致。得到修正后的極轉動慣量后，分別找出不同盤尺寸及葉片尺寸模型修正后的極轉動慣量，得到相應的修正系數(shù)(修正系數(shù)=修正后的極轉動慣量/模型實際的極轉動慣量)，結果如表5所示。此方法得到的修正系數(shù)只適用于輪盤在距軸左端10 cm的位置，如果對在轉軸上其他位置的輪盤進行修正，則要固定轉盤在轉軸的其他位置，用此方法找到修正系數(shù)。

表5 修正系數(shù)隨輪盤葉片尺寸變化 cm

由表5可以看出，隨著輪盤、葉片尺寸的增大輪盤葉片更加容易變形。轉子轉動時，變形更加劇烈，一維模型與三維模型間誤差更大，模型的輪盤、葉片尺寸越大，修正后的極轉動慣量越小，修正系數(shù)越小。建立如圖5所示的雙盤轉子結構的三維模型和一維模型，保持材料參數(shù)以及轉軸參數(shù)不變，兩個盤的位置在距軸一端10 cm的對稱位置上。

為了驗證這種修正方法的合理性，應用圖1中單盤結構得到的修正系數(shù)，將修正系數(shù)應用在圖5所示的雙盤結構上。選取3種輪盤葉片參數(shù)建立雙盤結構修正后的一維模型，分別計算3種模型一階正進動型臨界轉速以及相對于三維模型的轉速差和計算結果百分比誤差。對比結果如表6所示。

由表6可以看出，未經修正的一維模型臨界轉速與實際三維模型的臨界轉速偏差較大，修正后的一維模型臨界轉速與三維實體模型的臨界轉速計算結果偏差較小。

圖5 雙盤轉子模型示意圖

2.2 雙盤轉子的二階臨界轉速修正

圖5所示的雙盤結構由輪盤引起的臨界轉速有兩階，對于第二階臨界轉速的修正方法采用如下方案：將雙盤模型從轉軸中間位置截斷，將截面中心節(jié)點位移全約束，不限制其扭轉，左側支撐保持不變，結構簡圖如圖6所示。圖6所示的一階彎曲臨界轉速的振型與圖5所示左半部分二階彎曲臨界轉速振型一致。將圖6一階臨界轉速修正系數(shù)作為圖5雙盤結構左側盤的修正系數(shù)，由于算例模型是軸對稱的，因而右側盤的修正系數(shù)與左側盤一致。

表6 不同尺寸模型一階正進動臨界轉速對比

圖6 一端簡支一端固支轉子模型示意圖

將圖6中得到的修正系數(shù)應用到圖5結構中來驗證修正方法的合理性。選取3種輪盤葉片參數(shù)建立如圖5所示雙盤結構一維模型、三維模型以及應用修正系數(shù)修正后的一維模型，分別計算三種模型二階正進動型臨界轉速，對比結果如表7所示。

由表7可以看出，未經修正的一維模型臨界轉速與實際三維模型的臨界轉速偏差較大，修正后的一維模型臨界轉速與三維實體模型的臨界轉速計算結果偏差較小。

3 結論

由于離心力及陀螺力矩的作用，三維模型葉片以及盤在轉動過程會發(fā)生變形，這種變形一維模型無法體現(xiàn)，輪盤葉片發(fā)生變形后相當于盤與公轉軸的夾角發(fā)生變化，從而使陀螺力矩發(fā)生變化，影響到臨界轉速，這是一維模型與三維模型的誤差主要來源。

(1)隨著輪盤與葉片尺寸的加大，三維模型與一維模型間的偏差加大，隨著輪盤位置向軸一端靠近，三維模型與一維模型間的偏差加大。當盤與葉片尺寸較大并且靠近軸一端時直接將轉子模型簡化成一維模型，得到的結果誤差會很大。

(2)從計算可知，直接將輪盤以及葉片簡化成質量單元進行建模，計算結果與三維模型相比一階臨界轉速最大偏差達到96%，二階臨界轉速偏差達到50%，計算結果非常不合理。

(3)采用修正極轉動慣量方法對模型進行簡化與對三維模型直接進行一維簡化相比，采用修正極轉動慣量的方法簡化模型計算出的臨界轉速誤差較小，一階臨界轉速最大偏差降低至5%，二階臨界轉速最大偏差降低至0.7%。

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(責任編輯：宋麗萍 英文審校：劉敬鈺)

Study on the correction method of one-dimensional model for rotor critical speed calculation

WANG Tian-yin，WANG Ke-ming,QU Mei-jiao,XIN Gui-yu,ZHENG Xi-yang

(Faculty of Aerospace Engineering,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China)

By finite element method,critical speed of a rotor system is calculated using one-dimensional model and three-dimensional model respectively.Based on the error analysis of the calculation results,a correction method of the one-dimensional model is proposed.This method is used to construct the one-dimensional model with the moment of inertia and then calculate critical speed.The comparison of the calculation results shows that the computation outcome of the one-dimensional model without correction is higher than that of the three-dimensional model.In extreme condition,the first critical speed can be 96% higher,and the second critical speed can be 50% higher.After modifying the moment of inertia of the one-dimensional model,the maximum deviations of the first and the second critical speeds reduce to 5% and 0.7% respectively.The calculation results of modified one-dimensional model are close to results of the three-dimensional model.

rotor system;critical speed;FEM;one-dimensional model;model correction

2014-12-01

王天胤(1987-)，男，遼寧沈陽人，碩士研究生，主要研究方向：航空發(fā)動機強度、振動及噪聲，E-mail：wangtianyin0711@163.com；王克明(1954-)，男，遼寧沈陽人，教授，主要研究方向：航空發(fā)動機強度、振動及噪聲，E-mail：wkm308@126.com。

2095-1248(2015)03-0006-06

V211

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2015.03.002