球面三角形法在數字天頂儀中的應用

劉先一 周召發(fā) 張志利 張新帥

1 第二炮兵工程大學，西安市同心路2號，710025

數字天頂儀是一種高精度的天文定位儀器。通過對獲取的星圖進行處理，再結合GPS測得的大地坐標，可以快速精確地實現對測站點的定位。Halicioglu等［1－2］對切平面法在天文定位中的運用進行研究，孫榮煜等［3］對切平面法進行改進。但以上方法都會因恒星質心的測量誤差、定位星匹配錯誤等導致定位精度降低，并且在數據處理過程中存在迭代次數較多、數據收斂速度較慢等問題。本文采用球面三角形法，充分運用恒星的坐標信息，使用最小二乘平差法和迭代法，減小了恒星質心測量誤差對解算結果的影響，提高了解算結果的精度和數據的收斂速度。

1 數字天頂儀定位原理

通過對CCD 獲取的恒星影像進行處理，可以得到相應的CCD 坐標。運用星表對所得恒星進行匹配，得出恒星的切平面坐標。通過像坐標、切平面坐標和天文坐標的高精度轉換，可以對測站點進行精確定位。

將恒星赤道坐標系投影到與天球相切的切平面上，建立切平面坐標系o－ξη（圖1）。其中η指向天球正北方向，ξ指向天球正東方向。以GPS測得的（α0，δ0）作為測站點初始概略天文坐標值，并以此點為原點作切平面，天球上任意恒星（α，δ）在切平面上的投影坐標可表示為（ξ，η）。則有：

圖1 切平面示意圖Fig.1 Sketch map of tangent plane

建立天球切平面坐標（ξ，η）與影像坐標（x，y）之間的映射關系，則有：

通過最小二乘法求解相應的系數，在影像坐標系中求得光軸中心的影像坐標（x0，y0），通過映射關系可以求出光軸中心的切平面坐標（ξz，ηz），從而得出光軸的天球赤道坐標（αz，δz）：

2 球面三角形法定位原理

在測站點上使數字天頂儀的光軸垂直指向天頂，獲取恒星的影像。恒星的天球赤道坐標是已知的，計算出恒星影像坐標的理論值，并測量恒星影像坐標的實際值，通過最小二乘平差法，獲得測站天頂的天球赤道坐標。

以CCD 面陣的一角為原點，兩邊為坐標軸，建立成像面量測坐標系O－XY。CCD 的理想坐標系O′－NE的坐標平面與數字天頂儀的主光軸垂直，并與以數字天頂儀焦距f為半徑的球面相切，切點即為O′，N軸指向正北，E軸指向正東。兩坐標系之間的夾角為θ（圖2）。

圖2 恒星投影原理Fig.2 The principle of a star projection

由天球的北極P、測站點和任意一顆恒星構成球面三角形。由投影關系，可以得出恒星在量測坐標系中的理論坐標為：

式中，xc、yc為O′在O－XY中的坐標，焦距f的單位為mm，兩者均為已知量；pix 為CCD 像元尺寸，單位為mm；α0、δ0為測站點的天球赤道經緯度，α、δ為恒星的赤經赤緯。

以GPS測得的經緯度（αa，δa）作為測站點初始概略天文坐標值，對于任意一顆恒星的影像，測量坐標的誤差方程為：

在VTWV＝min的條件下可得：

式中，W為權系數矩陣，此處權系數相同。

首先根據初始值用式（8）、（9）計算出一顆恒星的理論坐標，結合實際測量坐標值，代入式（12）、（13）計算出B、f。把B、f代入式（11），計算3個未知量的偏差ΔX。把此偏差疊加到初始值中求逼近的解，再把求得的結果當作初始值，重復上面的過程。經過數次重復計算后，就可以得出非常精確的解，從而求出測站點的天文經緯度。

3 數據仿真及分析

數字天頂儀中的CCD 像素為4 096×4 096，視場角大小為3°×3°。運用Matlab對數據進行仿真。設測站點精確天文赤道坐標為（109.12，34.30），取初始概略天文赤道坐標為（108.00，34.50），在視場中取15顆星對目標定位。表1給出了部分仿真恒星的位置坐標。

表1 部分識別恒星的數據Tab.1 Part of the recognized star data

由球面三角形法可以解算出測站點的天球坐標，如圖3所示。當給定的概略位置坐標與精確位置坐標分別相差5°、3°和1°時，由切平面法和球面三角形法分別解算測站點位置坐標時需要迭代的次數，如圖4所示。

從圖4可知，由球面三角形法解算出來的天文經緯度精度較高。在數據迭代過程中，當概略位置與精確位置相差較多時，球面三角形法迭代次數較少；當概略位置坐標與精確位置坐標相差較少時，兩種算法的迭代次數接近。就總體的迭代次數而言，球面三角形法解算數據的收斂速度要快于切平面法。

4 結 語

傳統的切平面法在解算天文經緯度時對數據的處理存在一定的誤差，精度較低。本文在傳統的切平面定位方法的基礎上引進球面三角形法，運用迭代和最小二乘平差法對數據進行較好的處理，提高了定位精度。實驗表明，球面三角形法的求解精度要高于切平面法，并且在迭代過程中數據收斂速度較快。

圖3 精度的比較Fig.3 Comparision of precision

圖4 不同差值時的迭代次數比較Fig.4 Comparision of iteration number in different D－vaule

［1］Halicioglu K，Deniz R，Ozener H.Digital Zenith Camera System for Astro－Geodetic Applications in Turkey［J］.Journal of Geodesy and Geoinformation，2012，1（2）：115－120

［2］Hirt C，Bürki B，Somieski A，et al.Modern Determintaion of Vertical Deflections Using Digital Zenith Cameras［J］.Journal of Surveying Engineering，2010，136（1）：1－12

［3］孫榮煜，趙長印，侯永剛.加權最小二乘在精密天文定位中的應用［C］.第四屆中國衛(wèi)星導航學術年會，武漢，2013（Sun Rongyu，Zhao Changyin，Hou Yonggang.Using Weighted Least Square Method for High Precision Astronomical Calibration［C］.The 4th China Statellite Navigation Conference，Wuhan，2013）

［4］房建成，寧曉琳.天文導航原理及應用［M］.北京：北京航空航天大學出版社，2006（Fang Jiancheng，Ning Xiaolin.The Theory and Application of Astronomy Orientation［M］.Beijing：Beihang University Press，2006）

［5］曾志雄，胡曉東，高立民.天頂攝影儀軸系誤差對垂線偏差測量精度的影響及其修正方法［J］.光學精密工程，2001，12（1）：6－10（Zeng Zhixiong，Hu Xiaodong，Gao Limin.Effect of Digital Zenith Camera Axis Error on Measurement Precision of Vertical Deflection and Its Correction［J］.Optics and Precision Engineering，2001，12（1）：6－10）

［6］Hirt C，Seeber G.Accuracy Analysis of Vertical Deflection Data Observed with the Hannover Digital Zenith Camera System TZK2－D［J］.Journal of Geodesy，2008，82（6）：347－356

［7］Schoebel R，Hein G W，Eissfeller B.Renaissance of Astrogeodetic Levelling Using GPS／CCD Zenith Camera［C］.The IAIN World Congress and the 56th Annual Meeting of the Institute of Navigation，Institute of Navigation（ION），San Diego，2000